A  RETA
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A RETA. Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983. E STUDO DA R ETA. “Determinação de uma reta no plano”. B(x,y). A(x,y).

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A RETA

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Presentation Transcript


A reta

A RETA

Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.


A reta

ESTUDO DA RETA

“Determinação de uma reta no plano”.

B(x,y)

A(x,y)

Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.


A reta

ESTUDO DA RETA

“Equação geral da reta no plano cartesiano”.

B(x,y)

C(x,y)

A(x,y)

Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)


A reta

ESTUDO DA RETA

Equação geral da reta, determinada por dois pontos

Desenvolvendo o determinante obtemos:

a equação : ax + by + c = 0   que é chamada equação geral da reta r


A reta

ESTUDO DA RETA

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

Desenvolvendo o determinante obtemos:

a equação : 1x -1y + 2 = 0   que é chamada equação geral da reta r


A reta

ESTUDO DA RETA

“Equação reduzida da reta”.

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde mé o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).


A reta

ESTUDO DA RETA

“Exemplo de equação reduzida da reta”.

6x-3y-12=0

Da equação geral

- 4

Y=

2.x

obtemos a equação reduzida da reta:

Cuja representação gráfica é

Onde:

c.a =2

m=2

c.l =- 4

- 4


A reta

ESTUDO DA RETA

Equação segmentária da reta

ax+by+c=0

Da equação geral

obtemos a equação segmentária da reta:

+by/c=

c/c

ax/c

x/p + y/q=1

Graficamente temos:

p

q


A reta

ESTUDO DA RETA

Exemplo de equação segmentária da reta”.

6x-3y-12=0

Da equação geral

6x-3y= 12

obtemos a equação segmentária da reta:

- 3y/12=

12/12

6x/12

x/2 + y/ - 4=1

Graficamente temos:

2

- 4


A reta

ESTUDO DA RETA

“Equação paramétrica da reta”.

  • Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.

  • Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau.

  • Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .


A reta

ESTUDO DA RETA

“Exemplo de equação paramétrica da reta”.

e

Y= t+3

Dados os pontos

X= 2.t+1

Coordenadas do ponto P(x,y)

t = y- 3

Isolando “t” em y temos:

Substituindo “t” em x temos:

x = 2.(y- 3)+1

Organizando, obtemos a equação geral

x-2y+5=0

Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica


A reta

ESTUDO DA RETA

“Equação fundamental da reta”.

Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m

P(x,y)

()


A reta

ESTUDO DA RETA

“Equação fundamental da reta”.

  • A equação y – yo =m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta


A reta

ESTUDO DA RETA

Exemplo aplicação da equação fundamental da reta

e

A equação da reta que passa por P(2,3)

Tem coeficiente angular m =-2

é

y- 3=-2(x- 2)

3

m =-2

2

Equação geral:2.x+y-7=0


A reta

ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

  • O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que:

  • m= a = tg 

  • São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:


A reta

ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

 é agudo a > 0

Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.


A reta

ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

 é obtuso a < 0

Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.


A reta

ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

 = 0º ou 180º a = 0

 = 90º a não existe

Neste caso a reta tem um coeficiente zero.

Neste caso a reta não tem coeficiente angular


A reta

Determinação do Coeficiente angular na equação

ESTUDO DA RETA

Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão.

-a

  • Exemplo

m =

b

Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0

- 3

3

m =

m =

2

-2


A reta

Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos

ESTUDO DA RETA

Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por:

yb-ya

m =

xb-xa

Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10)

  • Exemplo

10 - 6

4

2

m =

m =

m =

2

5 - 3


A reta

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

ESTUDO DA RETA

Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares.

Veremos aqui a algumas delas ....

  • RETAS PARALELAS

  • RETAS CONCORRENTES

  • RETAS PERPENDICULARES


A reta

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

ESTUDO DA RETA

  • RETAS PARALELAS:

  • retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares

  • RETAS CONCORRENTES:

  • tem os coeficientes angulares diferentes.

  • RETAS PERPENDICULARES:

  • Formam entre si ângulo de 90º.


A reta

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

ESTUDO DA RETA

  • RETAS PARALELAS:

  • tem os coeficientes angulares iguais

  • (m1 = m2)

m2

m1


A reta

POSIÇÕES DAS RETAS

ESTUDO DA RETA

  • RETAS CONCORRENTES:

  • tem os coeficientes angulares diferentes

  • (m1diferente de m2)

m2

m1


A reta

POSIÇÕES DAS RETAS

ESTUDO DA RETA

  • RETAS PERPENDICULARES:

  • Formam entre si ângulo de 90º

  • O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)


A reta

ESTUDO DA RETA

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por:

dp,r

*

P(x,y)


A reta

Ângulo entreRetas

ESTUDO DA RETA

Ângulo formado por duas retas

Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :

r

s

mr

ms


A reta

BIBLIOGRÁFIA

Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva

www.net-rosas.com.br

www.unificado.com.br/matematica

Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.


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