L gica de descri o x l gica modal
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Lógica de Descrição x Lógica modal. Everton Guerra Marques. Roteiro. Introdução à lógica Modal Saul Kripke Lógica modal K Lógica de Descrição x Lógica modal K Conclusão Referências. Introdução à lógica modal. Principais contribuidores da lógica modal

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Lógica de Descrição x Lógica modal

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L gica de descri o x l gica modal

Lógica de Descrição x Lógica modal

Everton Guerra Marques


Roteiro

Roteiro

  • Introdução à lógica Modal

  • Saul Kripke

  • Lógica modal K

  • Lógica de Descrição x Lógica modal K

  • Conclusão

  • Referências


Introdu o l gica modal

Introdução à lógica modal

  • Principais contribuidores da lógica modal

    • Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática.

    • Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou SemanticalConsiderationson Modal Logic em 1963, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.

    • Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica temporal.

    • Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de lógica dinâmica

    • Arthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e contribuiu com a lógica intencional.


Introdu o l gica modal1

Introdução à lógica modal

  • A Lógica Modal faz parte da pesquisa atual em diversas áreas da ciência da computação.

  • Encontram-se algumas aplicações na área de:

    • Inteligência artificial

    • Representação do conhecimento e dedução automática

    • Especificação formal de sistemas

    • Engenharia de software e lingüística computacional.


Introdu o l gica modal2

Introdução à lógica modal

  • A Lógica Modal pode ser encarada como uma extensão da Lógica Proposicional.

  • Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K.

  • A lógica K leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição.

  • A Lógica Modal é bastante utilizada na análise semântica, visto que as representações dos conectivos modais permitem expressar advérbios, dentre os quais a Lógica Clássica não pode representar.


Introdu o l gica modal3

Introdução à lógica modal

  • Uma compreensão da Lógica Modal é particularmente valiosa na análise formal de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas.

  • Trata-se da lógica do "é necessário que" (representado por “") e do é "possível que" (representado por “◊”).

  • Portanto, não considera apenas a veracidade e a falsidade das proposições como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes.


Introdu o l gica modal4

Introdução à lógica modal

  • Como um operador pode ser derivado do outro, pode-se manter uma representação de apenas um deles e fazer uma transformação na expressão trabalhada sempre que se encontra o outro.

  • Há algumas variações de lógica modal, dependendo de quais axiomas são incluídos no conjunto de axiomas básicos (da lógica proposicional).


Introdu o l gica modal5

Introdução à lógica modal

  • Há outros operadores lógicos que podem ser derivados dos já definidos (os quatro da lógica proposicional, mas os dois acima citados).

  • Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter uma notação padrão, é comum representá-lo por f1 f2 .

  • A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1f2 é falsa. Caso contrário é verdadeiro.


Introdu o l gica modal6

Introdução à lógica modal

  • Esta lógica permite analisar não só o que dizem as coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível.

  • Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por asserções neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação contra-fatual que não aconteceu, mas poderia ter acontecido.

  • Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todos os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.


Introdu o l gica modal7

Introdução à lógica modal

  • Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):


Introdu o l gica modal8

Introdução à lógica modal

  • Linguagem das lógicas modais:

  • Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos proposicionais (P).

  • Linguagem: é menor conjunto que:

    • então

    • então com

    • então


Introdu o l gica modal9

Introdução à lógica modal

  • Aplicações

    • Solução de problemas de sentenças proposicionais

    • Análise formal de argumento filosófico

    • Estudo da inteligência artificial


Saul kripke

Saul Kripke

  • Saul Aaron Kripke:

    • nascido em 1940 em Omaha, Nebraska.

    • É amplamente reconhecido como um dos filósofos vivos mais importantes. Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem.

    • Ele é professor emérito em Princeton e professor de filosofia na City UniversityofNew York (CUNY).

    • Boa parte da sua obra é inédita, e circula na forma de gravações de áudio e cópias de manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock em Lógica e Filosofia.


Saul kripke1

Saul Kripke

  • Kripke é conhecido principalmente por quatro contribuições para a filosofia:

    • uma semântica para a lógica modal e outras lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha menos de vinte anos de idade;

    • suas conferências Naming and necessity, proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em 1972 e 1980);

    • uma interpretação controversa de Wittgenstein;

    • sua teoria da verdade;


Saul kripke2

Saul Kripke

  • Dois dos primeiros trabalhos de Kripke (A Completeness Theorem in Modal Logic e Considerations on Modal Logic) influenciaram amplamente a lógica modal.

  • Em Semantical Considerations on Modal Logic, publicado em 1963, Kripke responde a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.

  • Toda a motivação para a abordagem relativa a mundos era refletir a idéia que objetos existentes em um mundo podem não existir em outro.


Saul kripke3

Saul Kripke

  • Todavia, se as regras de quantificação padrão são utilizadas, cada termo deve referir a algo que existe em todos os mundos possíveis.

  • Isso parece incompatível com nossa prática comum de usar termos para nos referirmos a coisas que existem apenas contigentemente, não necessariamente.

  • A resposta de Kripke a essa dificuldade foi eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma interpretação relativa a um mundo que preserva as regras clássicas.

  • Todavia, o custo para a solução do problema foi caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida artificialmente. Segundo, as regras para a lógica modal proposicional devem ser enfraquecidas.


L gica modal k

Lógica Modal K

  • Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição.

  • Um modelo de Kripke é uma tripla m = <Wm,Rm,hm> tal que:

    • Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis de m;

    • Rm C Wm x Wm representa a relação de acessibilidade de m;

    • hm : ν → ρ(Wm) é uma função que estabelece um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica da linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas.


L gica modal k1

Lógica Modal K

  • Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima (K)

    • Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

    • Axiomas

      • A0) Todas as tautologias clássicas

      • K)


L gica modal k2

Lógica Modal K

  • Regras de Inferência

    • Modus Ponens:

    • Necessitação:

    • Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado A, não é sempre verdade que


L gica modal k3

Lógica modal K

  • Estrutura de Krypke

    • Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R) onde:

      • W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis

      • é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

  • Modelo de Krypke

    • μ = (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente se:

      • (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.


L gica modal k4

Lógica modal K

  • No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W = {s1;s2; s3; s4; s5} e a relação de acessibilidade é R = {(s1; s2); (s1; s3); (s3; s3); (s3; s4); (s2; s4); (s2; s5);(s4; s1); (s4; s5); (s5; s5)g. O frame é F = (W;R).


L gica modal k5

Lógica Modal K

  • No exemplo da figura 2 o frame é o mesmo da figura 1 e a função V é:

  • V (p) = {s3; s4; s5}

  • V (q) = {s1; s5}

  • V (r) = {s1}


L gica modal k6

Lógica modal K

  • Uma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma classe Kr de modelos de Kripke.

  • O sistema K é o menor dos sistemas modais normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios:

    • se trata de um sistema de lógica modal, visto que se trata de um conjunto de axiomas e regras de inferência que representam formalmente o raciocínio válido;

    • é fechado para modus ponens e necessitação, isto é, se A é uma tese então  A é uma tese;


L gica modal k7

Lógica modal K

  • contém os axiomas K e Df ◊:

    • K: ((A → B)) →(( A) → ( B));

    • Df◊: (◊ A) ↔ (¬( ¬A));

  • Uma assinatura é uma família C = {Cn}{n∈N} tal que cada Cn é um conjunto, sendo que Cn ∩ Cm = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto Cn são chamados conectivos n-ários. Em particular, os elementos de C0 são chamados constantes. O domínio de C é o conjunto |C| = ∪{Cn : Cn ∈ N }


L gica modal k8

Lógica modal K

  • Uma assinatura modal é uma assinatura C tal que C1 = {¬,◊, ,}; C2 = {→,↔,∧,∨}; Cn = ø se n ≠ 1, n ≠ 2.

  • É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke.


L gica de descri o x l gica modal k

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Lógica de Descrição

    • Descende das redes de heranças estruturadas

    • Tentou resolver ambigüidades em redes semânticas e frames que eram herança da falta de uma semântica formal.

    • Restrição a um pequeno conjunto de operadores “adequadamente epistemológicos” para conceitos definidos (Classes).

    • Importância de procedimentos de inferência básicos bem definidos.

    • Primeira implementação: KL-ONE.

    • Primeira aplicação: Processamento de linguagens naturais. Agora é aplicado em outros domínios.


L gica de descri o x l gica modal k1

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Família de formalismos de representação de conhecimento baseado em lógica apropriada para “representação de” e “explicação sobre”:

    • Conhecimento terminológico

    • Configurações

    • Ontologias

    • Esquema de Banco de Dados


L gica de descri o x l gica modal k2

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Sistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura


L gica de descri o x l gica modal k3

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Sistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura


L gica de descri o x l gica modal k4

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Linguagem de descrição (DL ALC)


L gica de descri o x l gica modal k5

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Uma lógica de descrição (DL ALC)

    • Comumente caracterizada por um conjunto de construtores que permitem a construção de conceitos e papéis complexos através de itens atômicos

    • Conceitos correspondem a classes / São interpretados como um conjunto de objetos

    • Papéis correspondem a relações / São interpretados como relações binárias sobre objetos

    • Exemplo: Pai feliz em DL ALC


L gica de descri o x l gica modal k6

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Semântica formal – Baseado em interpretação assim como em predicados lógicos


L gica de descri o x l gica modal k7

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Sintaxe e Semântica de ALC

  • Semântica dada por significados de uma interpretação


L gica de descri o x l gica modal k8

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Antigamente, lógicas de descrição não pareciam ser nada mais do que uma notação para falar sobre conhecimento estruturado.

  • Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e semântica próprias, modelos e teorias de prova, em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se possível relacionar lógicas de descrição com outras áreas da lógica.

  • Em particular, a conexão entre lógicas de descrição de um lado e lógicas modais do outro lado receberam atenção especial.


L gica de descri o x l gica modal k9

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Schild (1991) foi o primeiro a fazer explicitamente a conexão entre a lógica de descrição e a lógica modal.

  • Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas de descrição e lógicas dinâmicas proposicionais, que são lógicas desenvolvidas para raciocínio sobre programas.

  • Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini identificaram a correspondência entre lógicas de descrição e a lógica multi-modal K.

  • A seguir, segue o mapeamento entre lógica de descrição e a lógica modal K.


L gica de descri o x l gica modal k10

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K


L gica de descri o x l gica modal k11

Lógica de Descrição X Lógica Modal K

  • Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K


Conclus o

Conclusão

  • Schild (1991) mostrou que algumas lógicas de descrição são variantes notacionais de certas lógicas modais.

  • Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na lógica modal, chamada de versão multi-modal da lógica K.

  • Atualmente conceitos ALC e fórmulas em multi-modal K podem imediatamente serem traduzidas de uma para outra.

  • Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e somente se a fórmula K correspondente for satisfatível.


Conclus o1

Conclusão

  • Pesquisas sobre a complexidade do problema da satisfatibilidade para lógicas proposicionais modais foram iniciadas pouco tempo antes da complexidade das lógicas de descrição ser investigada.

  • Conseqüentemente, essa relação tornou possível pegar emprestado da lógica modal resultados complexos, técnicas de raciocínio e construtores de linguagens que não eram considerados anteriormente em Lógicas de Descrição.


Conclus o2

Conclusão

  • Por outro lado, existem características da lógica de descrição, que não tiveram contrapartidas na lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias extensões ad hoc das técnicas de raciocínio desenvolvias para a lógica modal.

  • Em particular, restrições de números, bem como o tratamento de indivíduos no ABox, exigiram tratamentos específicos baseado na idéia de reificação, o que equivale a expressar as extensões através de um tipo especial de axioma dentro da lógica.


Refer ncias

Referências

  • Wikipédia – Lógica modal

    • http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

  • Wikipédia – Saul Kripke

    • http://pt.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke

  • Lógica formal – Meu TG

    • http://www.cin.ufpe.br/~tg/2007-2/egm2.pdf

  • Modal Logics And Description Logics

    • Rijke, M. Modal Logics And Description Logics. IILC, University of Amsterdam


Refer ncias1

Referências

  • An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics

    • Baader, F.; Sattler, U. An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics. LuFG Theoretical Computer Science, RWTH Aachen, Germany

  • AnIntroduction to DescriptionLogics

    • Nardi, D. ; Branchman, R. AnIntroduction to DescriptionLogics.

  • NonstandardInferences in DescriptionLogics

    • Baader, F. NonstandardInferences in DescriptionLogics. TheoreticalComputerScience. RWTH Aachen. Germany.Workshop


Refer ncias2

Referências

  • Descriptionlogic

    • Baader, F.; Cartzen, L. Descriptionlogic. E-book

  • Description Logics - Basics, Applications, and More

  • Horrocks, I. Description Logics-Basics, Applications, and More. Information Management Group. Universityof Manchester, UK. Workshop

  • Tableau Algorithms for Description Logics

  • Baader, F. Tableau Algorithms for Description Logics. TheoreticalComputerScience. RWTH Aachen. Germany.Workshop


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