Chapter 5 part i
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Chapter 5 隨機變數 Part I PowerPoint PPT Presentation


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Chapter 5 隨機變數 Part I. 隨機變數. 5-1 隨機變數的定義 5-2 累積分布函數 5-3 隨機變數的分類 5-4 期望值與變異數 5-5 常用離散機率分布 5-6 常用連續機率分布 5-7 二項分布的常態近似. 5-1 隨機變數的定義. 樣本空間之樣本點可能是 數值 ,亦可能為 質的敘述 ( 質化 ) ,例如 S={ 良品、不良品 } 。

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Chapter 5 隨機變數 Part I

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Presentation Transcript


Chapter 5 part i

Chapter 5 隨機變數 Part I


Chapter 5 part i

隨機變數

  • 5-1 隨機變數的定義

  • 5-2 累積分布函數

  • 5-3 隨機變數的分類

  • 5-4 期望值與變異數

  • 5-5 常用離散機率分布

  • 5-6 常用連續機率分布

  • 5-7 二項分布的常態近似


Chapter 5 part i

5-1 隨機變數的定義

  • 樣本空間之樣本點可能是數值,亦可能為質的敘述(質化),例如S={良品、不良品}。

  • 通常對一個試驗,所關切的不是樣本點的敘述,而是一個出象的數值意義,例如三個產品的結果,若以A代表良品,B代表不良品,則樣本空間為{AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA}。

  • 故必須透過某種函數將原有樣本空間對應到不良品數{0,1,2,3},這種函數即稱為隨機變數(random variable)。


Chapter 5 part i

5-1

5-1 隨機變數的定義

  • 設 S 為隨機試驗的樣本空間。對於每一個樣本點 s  S 皆對應一個實數 X(s) 的函數 X,稱為隨機變數。所有隨機變數 X 可能對應數值的集合,稱為值域(range space)。以符號 Rx表示。


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Ex. 1

  • 檢驗三種產品的結果可表成

    S={AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA}

    若隨機變數X代表不良品個數,則

    X(AAA)=0

    X(ABA)=X(BAA)=X(AAB)=1

    X(ABB)=X(BAB)=X(BBA)=2

    X(BBB)=3

    Rx={0,1,2,3}


Chapter 5 part i

Ex. 2

  • 若原有的樣本空間S以具有所要的數值時,可取X(s)=s。例如投擲一骰子一次所得的樣本空間為S={1,2,3,4,5,6},若只關心點數是多少,則取X(1)=1, X(2)=2, …, X(6)=6等。但若關心點數呈現奇數或偶數時,則可先以0代表奇數,1代表偶數,再定義隨機變數X

    X(1)=X(3)=X(5)=0

    X(2)=X(4)=X(6)=1

如何利用隨機變數,從原來樣本空間引出所需要訊息


Chapter 5 part i

5-2

5-1 隨機變數的定義

  • 設 B 為 Rx 中的一個事件,若

    A = { s  S | X(s)  B }

    則定義事件 B的機率 P (B) 為 P (A)。


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Ex. 3

  • 在Ex.1中,樣本空間S裡的出象皆具有相同機率,即

    P(AAA)=P(AAB)=P(ABA)=P(ABB)

    =P(BAA)=P(BAB)=P(BBA)=P(BBB)=1/8

    Rx中事件{X=1}的機率,由定義,為

    P(X=1)=P({ABA,BAA,AAB)}=3/8

    而P(X=0)=P(AAA)=1/8

    P(X=2)=P({ABB,BAB,BBA})=3/8

    P(X=3)=P(BBB)=1/8


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5-3

5-2 累積分布函數

  • 為了便於描述隨機變數之機率特性,定義隨機變數之累積分布函數(Cumulative distribution function)

  • 設 X 為隨機變數,對於任意實數 x,函數

    F (x) = P (X x)

    稱為 X 的累積分布函數。常簡寫成 c. d. f。


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Ex. 4

  • 在Ex. 3中,隨機變數X之累積分布函數為:

1

7/8

4/8

1/8

x

1

2

3


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5-2 累積分布函數

  • 由Ex. 4,可了解累積分布函數具備下面特性

    (1) 0  F(x)  1。

    (2) F 為單調非遞減函數,即若 x1 < x2,則 F (x1) F (x2)。

    (3)

    (4)對於每一個 x,F (x) 為右邊連續(continuous to the right)。且當 x = a,函數 F 具有跳距(jump)時,P (X = a) = F (a)  F(a) > 0,其中 F (a) 為 F 在 x = a 的左極限。

    又當 F 在 x = a 為連續時,P (X = a) = 0。


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5-2 累積分布函數

(5)若 x1 < x2,則(a, b為單點機率)


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5-3 隨機變數的分類

  • 依據累積分布函數之第四個特性:若F在x=a為連續,則P(X=a)=0,若F在x=a不連續,則P(X=a)>0,可將隨機變數區分為離散(discrete random variable)與連續隨機變數(continuous random variable)兩大類。

  • 機率函數 p(x) 具有下列特性

    (1)對於所有實數 x,0  p (x)。

    (2)。


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Ex. 5

  • 心理學家以某種動作以檢視猴子是否有所反應,假設每次試驗猴子有反應的機率為1/3,若試驗一直進行到猴子第一次有反應為止。以S表示有反應,F表示沒有反應,則樣本空間S為:{S, FS, FFS, FFFS,…}

    若令隨隨機變數為猴子第一次有反應為止的試驗次數,則可得X的機率函數如下:

    其一般式為

    亦可利用機率函數計算之,例如:

    P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(1/3+2/9)=4/9

    P(2≤X≤4)=p(2)+p(3)+p(4)=2/9+4/27+8/81/=38/81


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Ex. 6

試問當c為何值時,下述函數

方可代表一個機率函數。

解:為使p(k)≥0,c必須為正數

故c=1/2


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機率密度函數

  • 若X為連續隨機變數,則每一數值發生機率為0。因此無法像離散隨機變數可定義一個代表機率的函數。但是可以定義一個機率密度函數(probability density function, p.d.f),使得在曲線f下,介於任意值a、b間面積可代表機率值P(a≤X≤b},亦即

P(a≤X≤b}


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機率密度函數

因此可以得到P(X=0)=0的結論,因為

因此

由於F(x)=P(X≤x),累積分布函數與機率密度函數的關係為:

因對 F可微分的所有x點,

又因為F(x)為一非遞減函數,

故機率密度函數特性:


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Ex. 7

若函數

解:(1) 若f為一機率密度函數,則


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Ex. 7

(2) 當0≤x≤3時,


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Ex. 8

若隨機變數之累積分布函數為

  • 試求X的機率密度函數

  • 試求P(X>3)


Ex 8 answer

Ex. 8 answer

解:

f(x)

x


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Ex. 9

已知電唱機唱針壽命X的機率密度函數為:

  • 試問唱針至少可使用150小時的機率為何?

  • 若已知唱針已使用150小時,試問唱針在200小時內損壞的機率是多少?(條件機率)


Ex 9 answer

Ex. 9 answer


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5-5

5-4 期望值與變異數

  • 機率函數、機率密度函數、及累積分布函數可說包含隨機變數所有特性。但在許多情況下,只需要幾個適切數值已表示其特性就夠了。最常使用的兩個數值即為機率分布的期望值與變異數。

  • 設 X 為一離散隨機變數,其可能值為x1, x2,……,則稱

    為 X 的期望值(expectation, expected value)或平均數(mean)。


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5-4 期望值與變異數

設 X 為一連續隨機變數,其機率密度函數為 f (x),則稱

為 X 的期望值。通常 E (X) 也以符號 表示。


Ex 10

Ex. 10

投擲一公正骰子,設隨機變數X代表出現點數,則

p(1)=p(2)=…=p(6)=1/6

因此

E(X)=11/6+21/6+…61/6=3.5

此處E(X)=3.5並不是X的可能值,而期待表示當試驗重複很多次後,所得到的點數x1, x2, …,xn之平均值。


Ex 11

Ex. 11

剛滿44歲的李先生,向某壽險公司購買一年期金額為25,000元保單,而李先生在其初時需付保費100元給壽險公司,由生命表中可查知一個44歲的人可生存至45歲的機率為0.99681。若設隨機變數X為壽險公司在此次交易中的利潤。則S={100,-24900}

p(100)=0.99681,p(-24900)=0.00319

因此 E(X)=(100)(0.99681)+(-24900)(0.00319)

= 20.25

注意:μ=20.25元並不是壽險公司在此次交易的利潤,而是表示當一群年紀與身體狀況與李先生一般的人投保時,壽險公司在這些交易上平均每張保單上可獲得20.25元利益。


Ex 12

Ex. 12

設隨機變數X為某種電子零件的壽命(以小時計算),其機率密度函數為:

經常當在已知隨機變數X的機率分布時,卻希望預測到另一個隨機變數g(X)的期望值。例如:若X代表某公司產品每個月的銷售量,而Y=g(X)為銷售量函數,表示每個月利潤,因此常需計算隨機變數g(X)之期望值。


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5-1

5-4 期望值與變異數

  • 若 X 為一離散隨機變數,其機率函數為 p(x),則對於任意函數 g(X),

  • 若 X 為一連續隨機變數,其機率密度函數為 f (x),則對於任意函數 g(x),


Ex 13

Ex. 13

設隨機變數X的機率函數為

解:


Ex 14

Ex. 14

設隨機變數X的機率密度函數為

解:


Chapter 5 part i

5-2

5-6

5-4 期望值與變異數

  • 設 X 為隨機變數,a、b 為實數,則

    (1) E (aX + b) = aE(X) + b

    (2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X))

  • 設隨機變數 X 的期望值為 ,則

    稱為 X 的變異數。變異數也可用 2,V(X)表示。


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定理5-3


Ex 15

Ex. 15

設X為某產品每天銷售量,其機率函數為

試求V(X) 及標準差σ

解:

E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7


Ex 16

Ex. 16

設隨機變數X的機率密度函數為

解:


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