1 / 66

Chapter 5 Sets, Relations, and Functions

Chapter 5 Sets, Relations, and Functions. ทฤษฎีเซต. เซต( set ) ใช้แทนกลุ่มของวัตถุหรือสิ่งของที่แตกต่างกัน โดยสมาชิกของเซตอาจมีศูนย์หรือมากกว่าศูนย์ชิ้นก็ได้ และลำดับการเขียนสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพ์ใหญ่แทนเซตใดๆ เช่น A, B เป็นต้น

farrah
Download Presentation

Chapter 5 Sets, Relations, and Functions

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Chapter 5Sets, Relations, and Functions Fuculty of Informatics, BUU

  2. ทฤษฎีเซต • เซต(set)ใช้แทนกลุ่มของวัตถุหรือสิ่งของที่แตกต่างกัน โดยสมาชิกของเซตอาจมีศูนย์หรือมากกว่าศูนย์ชิ้นก็ได้ และลำดับการเขียนสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพ์ใหญ่แทนเซตใดๆ เช่น A, B เป็นต้น • aA“a เป็นสมาชิกของ A”aA“a ไม่เป็นสมาชิกของ A” • กำหนดให้A = {a1, a2, …, an} “A มีสมาชิก a1, …, an” • ลำดับของสมาชิกไม่มีความแตกต่าง เช่น{a, b, c} = {a, c, b} • สมาชิกที่เหมือนกัน ถือว่าเป็นสมาชิกตัวเดียวกัน เช่น {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c} Fuculty of Informatics, BUU

  3. ตัวอย่างของเซต • A =  = {} “เซตว่าง” หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก • A = {z} zA • A = {{b, c}, {c, x, d}} เซตของเซต • A = {x | P(x)} “เซตของ x ทุกตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง” P(x) เป็นฟังก์ชั่นสมาชิก(membership function)ของเซต A x (P(x)  xA) • A = {x | x N x > 7} = {8, 9, 10, …}“เป็นการนิยามเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกภายในเซต(set builder notation)” Fuculty of Informatics, BUU

  4. เซตอนันต์(Infinite Sets) • เซตอาจมีจำนวนสมาชิกไม่จำกัดเรียกว่า เซตอนันต์(infinite) • สัญลักษณ์ของเซตอนันต์ เช่น: • Q = {a/b | aZ  bZ+} เซตของจำนวนตรรกยะ N = {0, 1, 2, …} เซตของจำนวนนับZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} เซตของจำนวนเต็มR = เซตของจำนวนจริง เช่น{-0.15, 3.67,30, 74.18284719818125…} • นิยมเขียนเป็นตัวพิมพ์ใหญ่และเข้มหรือเขียนด้วยเส้นคู่เช่น ℕ, ℤ, ℝ • เซตอนันต์แต่ละเซตอาจมีจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกัน! Fuculty of Informatics, BUU

  5. ตัวอย่างของเซต เซต “มาตรฐาน”: • จำนวนนับ(Natural numbers)N = {0, 1, 2, 3, …} • จำนวนเต็ม(Integers)Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} • จำนวนเต็มบวก(Positive Integers)Z+ = {1, 2, 3, 4, …} • จำนวนจริง(Real Numbers)R = {47.3, -12, , …} • จำนวนตรรกยะ(Rational Numbers)Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} Fuculty of Informatics, BUU

  6. การเท่ากันของเซต • เซต A และ B เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกที่เหมือนกันทุกตัว เช่น: • A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, กระรอก, หมา} : A  B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, หมา, หมา} : A = B • A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | xเป็นจำนวนเต็ม โดยที่x>0 และx<5 }: A = B Fuculty of Informatics, BUU

  7. เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset)เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset) • ST (“Sเป็นเซตย่อยของT”) หมายถึง สมาชิกทุกตัวของ Sเป็นสมาชิกของT ด้วย • ST  x (xS  xT) • S (เซตว่างจะเป็นเซตย่อยของเซตใดๆเสมอ) • SS (เซตใดๆจะเป็นเซตย่อยของตัวเองเสมอ) • ST (“Sเป็นซุปเปอร์เซตของT”) หมายถึงTS • ข้อสังเกต :S=T  ST ST • หมายถึง (ST), นั่นคือ x(xS  xT) Fuculty of Informatics, BUU

  8. เซตย่อยแท้และซุปเปอร์เซต(Proper Subsets & Supersets) • ST (“Sเป็นเซตย่อยแท้ของT”) หมายถึงST แต่ • ตัวอย่าง:ถ้า A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 1}, C = {3} • ดังนั้น B = A, C  A, C  B • ตัวอย่าง: ถ้า U = 1, 2, 3,  , 11, 12 และ T = 1, 2, 3, 6 • ดังนั้นT  U และ T  U Fuculty of Informatics, BUU

  9. ขนาดของเซต(Cardinality) • |S| (อ่านว่า “ขนาดของS”) แสดงจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตS • เช่น, ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ • ถ้า |S|N, แล้ว กล่าวได้ว่าSเป็นเซตจำกัด(finite)กรณีอื่น เรากล่าวได้ว่าSเป็นเซตอนันต์(infinite) 2 D = { xN | x  7000 } |D| = 7001 E = { xN | x  7000 } E เป็นเซตอนันต์ Fuculty of Informatics, BUU

  10. เซตกำลัง(Power Set) • เซตกำลัง P(S) ของเซตSคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตSP(S) :≡ {x | xS} • เช่น P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}} • A = , P(A) = {}, ดังนั้น: |A| = 0, |P(A)| = 1 • ถ้าS เป็นเซตจำกัด, |P(S)| = 2|S| • ดังนั้นS:|P(S)|>|S|, เช่น|P(N)| > |N| Fuculty of Informatics, BUU

  11. ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต • สำหรับเซตA, B, ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product)AB : {(a, b) | aA  bB }. • A = , A =  • ตัวอย่าง เช่น: A = {x, y}, B = {a, b, c}AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} • สังเกตุว่า (x, a)  (a, x)  (a, x, x) • กรณีที่เซต A และ B ไม่ใช่เซตว่าง: AB  AB  BA • สำหรับเซตจำกัดA, B จะได้ว่า, |AB|=|A||B| Fuculty of Informatics, BUU

  12. 2 5 3 7 Required Form ตัวดำเนินการผลรวม(Union Operator) • กำหนดเซตA, B, ผลรวม(nion)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในA, หรืออยู่ในB (หรืออยู่ในทั้งสองเซต) • เขียนได้ว่า, A,B:AB = {x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นซุปเปอร์เซต ของทั้งเซตAและเซตB A, B: (AB  A)  (AB  B) {a,b,c,2,3} • {a,b,c}{2,3} =__________ • {2,3,5}{3,5,7} =___________ {2,3,5,3,5,7} = {2,3,5,7} Fuculty of Informatics, BUU

  13. 3 2 4 6 5 ตัวดำเนินการส่วนตัด(Intersection Operator) • กำหนดเซตA, B, ส่วนตัด(intersection)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซตA และ(“”) ในเซตB • เขียนได้ว่า, A,B:AB={x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นเซตย่อย ของทั้งเซต A และ B:A, B: (AB  A)  (AB  B)  • {a,b,c}{2,3} = ___ • {2,4,6}{3,4,5} = ______ {4} Fuculty of Informatics, BUU

  14. Inclusion-Exclusion Principle • จำนวนสมาชิกของAB เท่ากับเท่าไร?|AB| = |A|  |B|  |AB| • ตัวอย่าง: จำนวนนิสิตในห้องนี้ที่อยู่ในรายการเมล์(Mailing List)มีกี่คน? พิจารณา เซตE  I  M, I = {s | sส่งข้อมูลผ่านแบบฟอร์มกระดาษ}M = {s | s ส่งข้อมูลผ่านอีเมล์} • นิสิตบางคนทำทั้งสองอย่าง!|E| = |IM| = |I|  |M|  |IM| Fuculty of Informatics, BUU

  15. SetAB ส่วนต่างของเซต(Set Difference) • กำหนดเซตA, B, ส่วนต่างของ A และ B, เขียนแทนด้วยAB, คือเซตของสมาชิกทั้งหมดในเซตAแต่ไม่อยู่ในBเขียนได้ว่า: A  B : x  xA  xB: x  xA  xB  • จำนวนสมาชิกของเซต: |A-B| = |A| - |AB| A−Bคือ เซตของสมาชิกของ A ที่เหลือจากการตัดสมาชิกของB ออกไปแล้ว Set A Set B Fuculty of Informatics, BUU

  16. Set Difference Examples • {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ • Z  N  {… , −1, 0, 1, 2, … }  {0, 1, … } = {x | xเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนนับ} = {x | xเป็นจำนวนเต็มลบ} = {… , −3, −2, −1} {1,4,6} Fuculty of Informatics, BUU

  17. ส่วนเติมเต็มของเซต(Set Complements) • เซตของเอกภพสัมพัทธ์(universe of discourse)แทนด้วยU คือเซตที่แสดงขอบเขตของเซตที่กำลังศึกษา • เซตA ใดๆที่AU,ส่วนเติมเต็มของ A(complement)แทนด้วย , เรากล่าวว่า และ เป็นส่วนเติมเต็มของAเมื่อเทียบกับU, นั่นคือ= UA • เช่น, ถ้าU=N, Fuculty of Informatics, BUU

  18. Set Identities • เอกลักษณ์(Identity) : A = A = AU • ครอบคลุม(Domination): AU = U , A =  • สะท้อน(Idempotent): AA = A = AA • ส่วนเติมเต็มซ้อน(Double complement): • สลับที่(Commutative): AB = BA , AB = BA • กระจาย(Distributive):A(BC) = (AB)(AC) • เปลี่ยนกลุ่ม(Associative): A(BC)=(AB)C ,A(BC)=(AB)C • ซึมซับ(Absorption):A(AB) = A, A(AB) = A • ส่วนเติมเต็ม(Complement):A = U, A =  Fuculty of Informatics, BUU

  19. ใช้นิยามของเซต และตัวดำเนินการต่างๆ ช่วยในการพิสูจน์ ตัวอย่าง เช่น: ทฤษฎีย่อย:จงพิสูจน์กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการรวม(Unions) (AB )C = A(B C ) พิสูจน์: (AB )C = {x | x  A B  x  C }(จากนิยาม) = {x |(x  A  x  B )  x  C } (จากนิยาม) = {x | x  A  ( x  B  x  C ) } (กฎการเปลี่ยนกลุ่ม) = {x | x  A  (x  B  C ) } (จากนิยาม) = {x | x  A(B C ) } (จากนิยาม) = A(B C ) (จากนิยาม) การพิสูจน์การเท่ากันของเซต Fuculty of Informatics, BUU

  20. ตัวอย่าง 2 • จงพิสูจน์การเท่ากันของเซตที่กำหนดโดยใช้ set builder notation และ logical equivalence • Proof: Fuculty of Informatics, BUU

  21. แบบฝึกหัด • จงพิสูจน์ว่า (AB)B = AB • นักเรียนห้องหนึ่งมี 180 คน ทุกคนชอบเล่นกีฬา จากการสำรวจพบว่า มีนักเรียนที่ชอบเล่นปิงปอง 100 คน นักเรียนที่ชอบว่ายน้ำ 92 คน นักเรียนที่ชอบเล่นตะกร้อ 115 คน นักเรียนที่ชอบทั้งเล่นปิงปองและว่ายน้ำมี 52 คน นักเรียนที่ชอบทั้งว่ายน้ำและเล่นตะกร้อมี 57 คน นักเรียนที่ชอบเล่นทั้งปิงปองและตะกร้อมี 43 คน • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นกีฬาทั้งสามประเภท • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบว่ายน้ำอย่างเดียว • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นปิงปองอย่างเดียว Fuculty of Informatics, BUU

  22. Relations Fuculty of Informatics, BUU

  23. ความสัมพันธ์(Relations) • หากเราต้องการเขียนความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซต 2 เซต คือเซต A และ B, สามารถใช้คู่อันดับ(ordered pairs)โดยสมาชิกตัวแรกมาจากเซต A และสมาชิกตัวที่สองมาจากเซต B โดยความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต จะเรียกว่า ความสัมพันธ์ทวิภาค(binary relation) • นิยาม:ให้ A และ B เป็นเซต binary relation จาก A ไป B คือเซตย่อยของ AB • หรือกล่าวได้ว่า binary relation R ใดๆ, R  AB เราใช้สัญลักษณ์ aRb เพื่อแทน (a, b)R และเขียน a R b เพื่อแทน (a, b)R ตัวอย่าง ให้ A = {0, 1, 2} และ B = {a, b} ดังนั้น R = {( 0, a) , ( 0, b) , ( 1, a) , ( 0, b) }เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B Fuculty of Informatics, BUU

  24. ความสัมพันธ์(Relations) • เมื่อ (a, b) อยู่ในความสัมพันธ์ R กล่าวได้ว่า a สัมพันธ์กับ b ด้วย R • ตัวอย่าง:ให้ P เป็นเซตของคน, C เป็นเซตของยี่ห้อรถ, และ D เป็นความสัมพันธ์ที่ใช้อธิบายว่าคนขับรถยี่ห้อใด • P = {สมร, สุรีย์, พีระ, อาภา}, • C = {ฮอนด้า, บีเอ็มดับบลิว, โตโยต้า} • D = {(สมร, ฮอนด้า), (สุรีย์, ฮอนด้า), (สุรีย์, บีเอ็มดับบลิว), (พีระ, โตโยต้า)} • จากความสัมพันธ์ที่กำหนดแสดงว่า สมรขับรถฮอนด้า สุรีย์ขับรถฮอนด้าและบีเอ็มดับบลิว พีระขับรถโตโยต้า ส่วนอาภาไม่ได้ขับรถยี่ห้อใดเลย Fuculty of Informatics, BUU

  25. 1 1 2 2 3 3 4 4 ความสัมพันธ์บนเซต • ความสัมพันธ์จากเซตAไปยังตัวมันเองเรียกว่า ความสัมพันธ์บนเซตA • เช่น ความสัมพันธ์ “<” เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนนับN • ความสัมพันธ์เอกลักษณ์(identity relation)IAบนเซตAคือเซต{(a,a)|aA} • ตัวอย่าง:กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} จงหาคู่อันดับในความสัมพันธ์R = {(a, b) | a < b} ? • Solution:R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (1, 3), (3, 4)} (2, 4), Fuculty of Informatics, BUU

  26. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ • นิยาม:ความสัมพันธ์ R บนเซต A เป็นความสัมพันธ์สะท้อน(reflexive)ถ้า (a, a)R สำหรับ สมาชิกทุกตัว aA • หมายเหตุ ถ้า U =  แล้วประโยคข้างต้นเป็นจริง • ตัวอย่าง เช่น: • ความสัมพันธ์<ไม่เป็น reflexive เนื่องจากx < xไม่จริง, ดังนั้น (x, x) R • ความสัมพันธ์≥ :≡ {(a,b) | a≥b}เป็น reflexive เนื่องจาก (x, x) R • ความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น reflexive หรือไม่? • R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Yes • R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} No • นิยาม:ความสัมพันธ์บนเซต A เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน(irreflexive)ถ้า (a, a)R สำหรับสมาชิกทุกตัวaA ตัวอย่าง เช่น: <เป็น irreflexive Fuculty of Informatics, BUU

  27. Symmetry & Antisymmetry • ความสัมพันธ์RบนเซตAเป็นความสัมพันธ์สมมาตร(symmetric) ก็ต่อเมื่อR = R−1,นั่นคือ ถ้า(a,b)R↔ (b,a)R • เช่น, = (เท่ากับ) เป็น symmetric เพราะถ้าx = yแล้ว y = xสำหรับทุกๆxและyแต่ความสัมพันธ์<ไม่เป็น symmetric • “แต่งงานกับ” เป็น symmetric, “ชอบ” ไม่เป็น • ความสัมพันธ์Rเป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร(antisymmetric) ถ้าa≠b, (a,b)R→ (b,a)R • ตัวอย่าง เช่น : <เป็น antisymmetric, “ชอบ” ไม่เป็น • ความสัมพันธ์RบนเซตAเป็นความสัมพันธ์ไม่สมมาตร(asymmetric) ถ้าa,bA, (a,b)R →(b,a)R Fuculty of Informatics, BUU

  28. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ • ความสัมพันธ์บนเซต{1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น symmetric, antisymmetric, หรือ asymmetric? • R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} symmetric • R = {(1, 1)} sym. and antisym. • R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisym. and asym. • R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisym. Fuculty of Informatics, BUU

  29. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ นิยาม:ความสัมพันธ์Rเป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด(transitive)ก็ต่อเมื่อ(a,b,c) (a,b)R  (b,c)R→ (a,c)R • ความสัมพันธ์จะเป็นความสัมพันธ์ไม่ถ่ายทอดintransitiveก็ต่อเมื่อไม่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดตัวอย่าง เช่น: • “เป็นบรรพบุรุษ” เป็น transitive • “ชอบ” ระหว่างคนเป็น intransitive • ความสัมพันธ์ = < >   เป็น transitive • ความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น transitive หรือไม่? • R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} Yes • R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} No • R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} No Fuculty of Informatics, BUU

  30. Exercise • ให้ A={1,2,3,4} และ R,S,T,U เป็นความสัมพันธ์บนเซต A • R={(1,3), (3,4)} • S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)} • T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)} • U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4), (4,2), (1,2),(1,3)} Fuculty of Informatics, BUU

  31. Answer • R มีคุณสมบัติIrreflexive, Antisymmetric และAsymmetric • S มีคุณสมบัติTransitive • T มีคุณสมบัติReflexive, Symmetric, และTransitive • U ไม่มีคุณสมบัติใดเลย Fuculty of Informatics, BUU

  32. ความสัมพันธ์สมมูล(Equivalence Relations) • ความสัมพันธ์สมมูลใช้เชื่อมโยงสิ่งที่มีคุณสมบัติบางอย่างเหมือนกันไว้ด้วยกัน • นิยาม:ความสัมพันธ์บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์สมมูล ถ้าความสัมพันธ์นั้นเป็นความสัมพันธ์สะท้อน(Reflexive) สมมาตร(Symmetric)และถ่ายทอด(Transitive) • สมาชิกสองตัวใดๆที่ถูกเชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์สมมูล R จะกล่าวได้ว่าสมาชิกทั้งสองตัวนั้นสมมูลกัน Fuculty of Informatics, BUU

  33. ความสัมพันธ์สมมูล(Equivalence Relations) • ตัวอย่าง:สมมติR เป็นความสัมพันธ์บนเซตของข้อความภาษาอังกฤษโดย aRb ก็ต่อเมื่อ l(a) = l(b), ซึ่งl(x) แทนความยาวของข้อความ x จงพิจารณาว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่? • ตอบ: • R เป็นความสัมพันธ์สะท้อน เพราะ l(a) = l(a) ดังนั้น aRa สำหรับข้อความ a ใดๆ • R เป็นความสัมพันธ์สมมาตร เพราะถ้า l(a) = l(b) แล้ว l(b) = l(a) ดังนั้นถ้า aRb แล้ว bRa • R เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดเพราะถ้า l(a) = l(b) และ l(b) = l(c), แล้ว l(a) = l(c), ดังนั้นถ้า aRb และ bRc แล้ว aRc • ดังนั้น R เป็นความสัมพันธ์สมมูล Fuculty of Informatics, BUU

  34. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • นิยาม:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A เซตของสมาชิกทุกตัวที่สัมพันธ์กับสมาชิกaของเซต A จะเรียกว่าชั้นสมมูลของa • ชั้นสมมูลของaภายใต้ความสัมพันธ์ R แทนด้วยสัญลักษณ์[a]Rโดย [a]R :≡ { b | aRb } • ในกรณีที่พิจารณาชั้นสมมูลภายใต้ความสัมพันธ์เพียงความสัมพันธ์เดียว อาจแทนชั้นสมมูลของ aสั้นๆด้วย[a] ก็ได้ • ถ้าb[a]R, bเรียกว่า ตัวแทน(representative)ของชั้นสมมูลนี้ Fuculty of Informatics, BUU

  35. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) ตัวอย่าง:จากตัวอย่างของข้อความที่มีความยาวเท่ากัน จงหาชั้นสมมูลของคำว่า mouse, โดยแทนด้วยสัญลักษณ์ [mouse] ? ตอบ: [mouse] คือเซตของคำที่มีความยาวเท่ากับ 5 ตัวอักษร [mouse]={horse, table, white,…} จะเห็นว่า‘horse’จัดเป็นตัวแทนตัวหนึ่งของชั้นสมมูลนี้ Fuculty of Informatics, BUU

  36. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) ทฤษฎีบท:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A ประโยคต่อไปนี้สมมูลกัน: • aRb • [a] = [b] • [a]  [b]   นิยาม:ผลแบ่งกั้น(partition)ของเซต S คือกลุ่มของเซตย่อยของ S ที่ไม่ใช่เซตว่าง และไม่มีสมาชิกร่วมกันโดยเมื่อนำเซตย่อยทั้งหมดมารวม(union) กันจะเท่ากับเซต S หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มของเซตย่อย Ai โดย iI ทำให้เกิดการแบ่งส่วนของ S ก็ต่อเมื่อ(i) Ai   โดย iI (ii) Ai  Aj = , ถ้า i  j (iii) iI Ai = S Fuculty of Informatics, BUU

  37. ผลแบ่งกั้น(Partition) • ตัวอย่าง:กำหนดให้Sเป็นเซต{u, m, b, r, o, c, k, s}เซตต่อไปนี้เป็นผลแบ่งกั้น(partition)ของเซตSหรือไม่? {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} yes {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} no (ไม่มี k) {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} no (t ไม่เป็นสมาชิกของ S) {{u, m, b, r, o, c, k, s}} yes {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} yes ({b,o,o,k} = {b,o,k}) {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, } no (เป็น  ไม่ได้) Fuculty of Informatics, BUU

  38. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ทฤษฎีบท:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต S ดังนั้นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ R จะทำให้เกิดผลแบ่งกั้น(partition)ของเซต S และ หากกำหนดผลแบ่งกั้น {Ai | iI} ของเซต S มาให้ จะมีความสัมพันธ์สมมูล R ซึ่งมีเซต Ai, iI, เป็นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์นั้น • ชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูล R ใดๆที่นิยามบนเซต S จะทำให้เกิดผลแบ่งกั้นของเซต S เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต S ถูกกำหนดให้อยู่ในชั้นสมมูลได้เพียงชั้นเดียวเท่านั้น Fuculty of Informatics, BUU

  39. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ตัวอย่าง:สมมติแฟรงก์, ซูซานและจอร์จอาศัยในเมืองบอสตัน, สเตฟานีและแมค อาศัยอยู่ในเมืองเบอลิน เจนนิเฟอร์อาศัยอยู่ในเมืองซิดนีย์ • ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูล {(a, b) | a และ b อาศัยอยู่ในเมืองเดียวกัน} บนเซต P = {แฟรงก์, ซูซาน, จอร์จ, สเตฟานี, แมค, เจนนิเฟอร์} ดังนั้น R = {(แฟรงก์, แฟรงก์), (แฟรงก์, ซูซาน), (แฟรงก์, จอร์จ), (ซูซาน, แฟรงก์), (ซูซาน, ซูซาน), (ซูซาน, จอร์จ), (จอร์จ, แฟรงก์), (จอร์จ, ซูซาน), (จอร์จ, จอร์จ), (สเตฟานี,สเตฟานี), (สเตฟานี, แมค), (แมค, สเตฟานี), (แมค, แมค), (เจนนิเฟอร์, เจนนิเฟอร์)} • ดังนั้นชั้นสมมูล ของ R คือ: {{แฟรงก์, ซูซาน , จอร์จ}, {สเตฟานี, แมค}, {เจนนิเฟอร์}} ซึ่งเป็นผลแบ่งกั้น(partition) ของ P Fuculty of Informatics, BUU

  40. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ตัวอย่าง:กำหนดให้R เป็นความสัมพันธ์{(a, b) | a  b (mod 3)} บนเซตของจำนวนเต็ม หรือกล่าวได้ว่า R เป็นความสัมพันธ์ { (a, b) | a-b แล้วหารด้วย 3 ลงตัว} • ความสัมพันธ์R เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่? • เป็น เพราะ R เป็นความสัมพันธ์สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด (ให้เหตุผล เป็นแบบฝึกหัด) • จงหาชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ R ? Ans {{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}} Fuculty of Informatics, BUU

  41. Functions Fuculty of Informatics, BUU

  42. นิยามของฟังก์ชั่น นิยาม ให้ A และB เป็นเซตใด ๆ และ f เป็นสับเซตของ AB f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B(f: AB) ก็ต่อเมื่อ f มีคุณสมบัติดังนี้ “แต่ละสมาชิก x ใน A จะมีสมาชิก y ใน B มาจับคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น” หรือ 1. ทุก ๆ x  A มี y  B ซึ่ง (x, y) f 2. ทุก ๆ x  A และ y, z  B ถ้า (x, y) f และ (x, z) f แล้ว y = z Fuculty of Informatics, BUU

  43. ตัวอย่าง • A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4} • ความสัมพันธ์ที่กำหนดต่อไปนี้ ข้อใดเป็นฟังก์ชั่นจาก A ไป B? • f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} • g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)} • h = {(1,4), (2,2), (3,0)} • f เป็นฟังก์ชั่น, แต่g และhไม่เป็นฟังก์ชั่น Fuculty of Informatics, BUU

  44. Function Terminology • ถ้ากำหนดฟังก์ชั่นf:AB, และf(a)=b (โดยที่aAและbB), ดังนั้น กล่าวได้ว่า: • Aคือ โดเมน(domain)ของf • Bคือ โคโดเมน(codomain)ของf • bคือ อิมเมจ(image)ของa ภายใต้f • aคือ พรีอิมเมจ(pre-image)ของbภายใต้f • สังเกตว่าbหนึ่งค่า อาจมีพรีอิมเมจได้มากกว่า 1 ตัว • พิสัย(range)RBของf คือR={b | af(a)=b } Fuculty of Informatics, BUU

  45. b เป็น image ของ 2 Domain and Codomain • ถ้า fเป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปยัง B, เรากล่าวว่า A คือโดเมน(domain) ของfและ B เป็นโคโดเมน(codomain) ของf • โคโดเมน(codomain)คือเซต ที่ฟังก์ชั่นนั้นถูกประกาศว่าแมปค่าในโดเมนไปยังค่าในเซตนั้น ตัวอย่างนี้ โคโดเมนคือ {a,b,c,d} • พิสัย(range) คือเซตของค่าในโคโดเมน ที่ฟังก์ชั่นแมปสมาชิกของโดเมนไปยังค่านั้นจริง โคโดเมนคือ {a,b,c} f a b c d 1 2345 2 เป็น pre-image ของ b =f(2) Fuculty of Informatics, BUU

  46. Functions Example ให้f : Z  Rที่กำหนดโดยf (x ) =x 2 Q1: จงหาโดเมน และโคโดเมนของฟังก์ชั่น? Q2: จงหาอิมเมจของ -3 ? Q3: จงหาพรีอิมเมจของ 3, 4? Q4: จงหาพิสัยของf (Z)? Fuculty of Informatics, BUU

  47. Functions Example. Basic-Terms. f : Z  Rที่กำหนดโดยf (x ) =x 2 A1: โดเมน คือZ, โคโดเมน คือR A2: อิมเมจของ -3 = f (-3) = 9 A3: พรีอิมเมจของ 3: ไม่มี เพราะ3 ไม่เป็นจำนวนเต็ม พรีอิมเมจของ 4: -2 และ 2 A4: พิสัยคือ เซตของเลขจำนวนเต็มยกกำลังสอง f (Z)= {0,1,4,9,16,25,…} Fuculty of Informatics, BUU

  48. Function Composition Operator • การประกอบกันของสองฟังก์ชั่นg:AB และf:BC, แทนด้วยf○g, นิยามโดย (f○ g)(a) = f(g(a)) หมายความว่า • หาค่าฟังก์ชั่นgโดยใช้ค่าสมาชิก aA แมปค่า a ผ่านฟังก์ชั่น g ไปยังสมาชิกของ B • จากนั้นหาค่าฟังก์ชั่นfโดยใช้ค่าสมาชิกของ B, แล้วแมปค่านั้นผ่านฟังก์ชั่น f ไปยังสมาชิกของ C • ดังนั้น ฟังก์ชั่นประกอบ แมปจาก A ไปยัง C Fuculty of Informatics, BUU

  49. Composition ตัวอย่าง ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยังเซต A ซึ่ง g(a) = b, g(b) = c, และ g(c) = a และ f เป็น ฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยัง B = {1, 2, 3 } ซึ่ง f(a) = 3, f(b) = 2, และ f(c) = 1 ดังนั้นสามารถหา fog ได้ fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 และ fog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1 fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3 แต่ gof หาไม่ได้เนื่องจาก พิสัยของ f ไม่เป็นสับเซตของโดเมนของ g Fuculty of Informatics, BUU

  50. Composition • ตัวอย่าง ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซต Z ไป Z ซึ่งกำหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา fog และ gof เราสามารถหา fog และ gof ได้ดังนี้ (fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7 (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11 Fuculty of Informatics, BUU

More Related