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数字电子技术基础

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数字电子技术基础. 广州大学信息与控制工程系. 数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心,是计算机和数字通信的硬件基础。 数字电子建立在模拟电子之上,没有模电就没有数电。 相对来说,数电比模电好学。. 第一章 逻辑代数基础. 本章重点 逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的基本定理 逻辑函数的各种表示方法及相互转换 逻辑函数的简化方法 约束项、任意项、无关项的概念以及无关项在化简逻辑函数中的应用. §1.1 概述-基础知识. 数字电路的基本概念 数制和码制 算术运算和逻辑运算. 一、数字电路的基本概念. 模拟信号

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数字电子技术基础

广州大学信息与控制工程系

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数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心,是计算机和数字通信的硬件基础。数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心,是计算机和数字通信的硬件基础。

数字电子建立在模拟电子之上,没有模电就没有数电。

相对来说,数电比模电好学。

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第一章 逻辑代数基础
  • 本章重点
  • 逻辑代数的基本公式和常用公式
  • 逻辑代数的基本定理
  • 逻辑函数的各种表示方法及相互转换
  • 逻辑函数的简化方法
  • 约束项、任意项、无关项的概念以及无关项在化简逻辑函数中的应用
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§1.1 概述-基础知识
  • 数字电路的基本概念
  • 数制和码制
  • 算术运算和逻辑运算
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一、数字电路的基本概念
  • 模拟信号

在时间和数量上的变化都是连续的物理量

  • 数字信号(满足以下条件的物理量):

①在时间和数量上的变化都是离散的

②数值大小和和每次增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍

典型的数字信号

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一、数字电路的基本概念
  • 正逻辑和负逻辑

如:电压等于5V为高电平,电压等于0V为低电平,分别表示两个逻辑。

(1)正逻辑:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0。

(2)负逻辑:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0。

正逻辑

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一、数字电路的基本概念
  • 数字电路

传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。

数字电路与模拟电路相比主要有下列优点:

(1)由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的,只有0和1两个基本数字,易于用电路来实现,比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1。

(2)由数字电路组成的数字系统工作可靠,精度较高,抗干扰能力强。它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰,还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。

(3)数字电路不仅能完成数值运算,而且能进行逻辑判断和运算,这在控制系统中是不可缺少的。

(4)数字信息便于长期保存,比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。

(5)数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。

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二、数制和码制
  • 数制

任意进制(N进制)数展开式普遍形式:

--第i位的权

1.十进制(Decimal)

2.二进制(Binary)

3.十六进制(Hexademical)

在数字电路中应用最广

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二、数制和码制
  • 数制转换

1.二-十转换

2.十-二转换

整数:“除2取余法”

小数:“乘2取整法”

3.二-十六转换

“四位合一位法”

4. 十六-二转换

5.十六-十转换

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二、数制和码制

例1.1 将二进制数10011.101转换成十进制数。

解:将每一位二进制数乘以位权,然后相加,可得

(10011.101)B=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

=(19.625)D

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二、数制和码制
  • 例1.2 将十进制数23转换成二进制数。解: 用“除2取余法” 转换:

故(23)D =(10111)B

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二、数制和码制
  • 例1.3 将十进制数0.39转换成二进制数,保留小数点后4位。

解:用“乘2取整法”转换:

0.39×2=0.78 … …0 … …b-1

0.78×2=1.56 … …1 … …b-2

0.56×2=1.12 … …1 … …b-3

0.12×2=0.24 … …0 … …b-4

0.24×2=0.48 … …0 … …b-5

故(0.39)D=(0.0110)B

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二、数制和码制
  • 码制

代码:表示不同事物的数码

码制:编制代码时遵循的规则

  • 几种常见二-十进制(BCD码)代码:

8421码

余3码

2421码

5211码

余3循环码

最常见

返回

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三、算术运算和逻辑运算
  • 算术运算

加、减、乘、除

原码(true form)

最高位为符号位,其余为数值位。

反码(one’s complement)

整数的反码和原码相同;负数反码的符号位和负数原码的符号位相同,数值位是它的数值位按位取反。

补码(two’s complement)

整数的补码是它本身(原码),负数的补码是原码逐位取反加1。

  • 逻辑运算

§1.2内容

使计算机的加减运算更简单

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§1.2 逻辑代数中的三种基本运算
  • 逻辑代数-二值代数

任何逻辑变量只有0和1两种取值。

  • 基本运算

与(逻辑乘) 或(逻辑加) 非(逻辑求反)

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基本运算

实现相应运算的电路称为x门(如与门、或门、非门)

真值表:用0和1表示的变量与函数的逻辑关系的表格。

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复合逻辑运算

小圆圈表示非运算

若A、B不同,则Y=1

若A、B相

同,则Y=1

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复合逻辑运算

异或、同或互为反运算

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§1.3逻辑代数的基本公式和常用公式
  • 一、基本公式

重叠律

互补律、交换律、结合律

分配律

德·摩根定理(反演律)

反演律

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二、几个常用公式(吸收律)

(1)

A、B可代表一项,如(1)式中将A替换成AB,B替换成C+D,则:

即1.4节代入定理

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§1.4 逻辑代数基本定理
  • 一、代入定理

在任何一个包含变量A的逻辑等式中,若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置,则等式仍然成立。

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二、反演定理
  • 又称为Shannon’s Theorem,规律为:

+ → · · → +

0 → 1 1 → 0

且保持先后顺序不变(先括号、然后乘、最后加)

*不是一个变量上的反号不能变动

【例1.4】求下列函数的反函数

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三、对偶定理
  • 若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。
  • 对偶式变化规律:

+ → · · → +

0 → 1 1 → 0

与反演规则的区别是:函数中的原变量、反变量不进行变换。

【例1.5】求下列函数的对偶式Y’

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§1.5 逻辑函数及其表示方法
  • 一、逻辑函数

Y=F(A,B,C,···)

输入输出间是一种函数关系。

例如举重裁判电路:

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二、逻辑函数的表示方法
  • 常用方法

逻辑真值表(真值表)

如表1.5.1

逻辑函数式(逻辑式、函数式)

逻辑图

卡诺图(§1.7)

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二、逻辑函数的表示方法
  • 逻辑图

用图形符号表示函数关系

返回

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二、逻辑函数的表示方法
  • 各种表示方法间的相互转换

真值表

逻辑式

逻辑图

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二、逻辑函数的表示方法
  • 真值表 逻辑式

例如书例1.5.1

找出使Y=1的输入变量

取值的组合

每个组合对应一个乘积项

1-写入原变量

0-写入反变量

将乘积项相加,得Y

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三、逻辑函数的两种标准形式
  • 最大项和最小项的概念
  • 最小项

定义:在n变量逻辑函数中,若m为包含n个因子的乘积项,且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次,则称m为该组变量的最小项。

n变量的最小项有2n个,记为mi(i=0,1,···,n-1)

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三、逻辑函数的两种标准形式
  • 最小项的性质:(重要)

①在输入变量的任何取值下必有一个最小项,且仅有一个最小项的值为1。

②全体最小项之和为1。

③任意两个最小项乘积为0。

④具有相邻性的两最小项之和可合并成一项并消去一对因子。

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三、逻辑函数的两种标准形式
  • 最大项

定义:在n变量逻辑函数中,若M为n个变量之和,且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次,则称M为该组变量的最大项。

n变量的最大项有2n个,记为Mi(i=0,1,···,n-1)

性质和最小项的性质相对应。

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三、逻辑函数的两种标准形式
  • 最小项之和形式

例1.6:

例1.7:

“最小项”和“任一逻辑函数都可以化为最小项之和的形式”是两个非常重要的概念,在逻辑函数的化简和变换中经常用到。

较常用

=m7+m6+m3+m5=∑m(3,5,6,7)

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三、逻辑函数的两种标准形式
  • 最大项之积形式(很少用)

最大项之积与最小项之和的关系:

若 ,因为 ,所以

结论:若 ,则Y必能化成编号为i以外的那些最大项之积。

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§1.6 逻辑函数的公式化简法
  • 一、逻辑函数的最简形式

逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互相转换。例如:

最简 x x 式:

如最简与或式,指包含的乘积项最少,且每个乘积项里的因子也不能再少。

最简 x x 式变换成其它形式的逻辑式时,结果不一定最简。

常用

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二、常用的公式化简方法

公式化简法需熟练掌握公式,并需一定技巧和经验。多做习题。

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三、公式化简法例题
  • 例1.8

(1)并项法

运用 ,将两项合并为一项,消去一个变量。如:

(2)吸收法

运用吸收律A+AB=A,消去多余的与项。如:

(3)消因子法

运用吸收律 消去多余因子。如:

(4)配项法

先通过乘以 或加上 ,增加必要的乘积项。如:

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三、公式化简法例题

在化简时,要灵活运用上述方法。

  • 例1.9 化简逻辑函数

解:

(利用 )

(利用A+AB=A)

(利用 )

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三、公式化简法例题
  • 例1.10 化简逻辑函数

解:

(利用反演律 )

(利用 )

(利用A+AB=A)

(配项法)

(利用A+AB=A)

(利用 )

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三、公式化简法例题

解法1:同书例1.6.8

  • 例1.11 化简逻辑函数

解法2:

可见,逻辑函数的化简结果不一定唯一。

公式化简法的优点是:不受变量数目的限制。

缺点是:没有固定的步骤可循;需要熟练运用各种公式和定理;在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验;有时很难判定化简结果是否最简。

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例1.12 试将函数

分别写成最小项之和 和最大项之积 的形式

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§1.7 逻辑函数的卡诺图化简法
  • 一、逻辑函数的卡诺图表示法
  • 相邻性

如果两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称这两个最小项为逻辑相邻,简称相邻项。

例如,最小项ABC和 就是相邻最小项。

如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中,可以合并为一项,同时消去互为反变量的那个量。

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一、逻辑函数的卡诺图表示法
  • 卡诺图

用小方格来表示最小项,一个小方格代表一个最小项,然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。

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一、逻辑函数的卡诺图表示法

仔细观察可以发现,卡诺图具有很强的相邻性:

1. 直观相邻性,只要小方格在几何位置上相邻(不管上下左右),它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。

2. 对边相邻性,即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。

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一、逻辑函数的卡诺图表示法
  • 用卡诺图表示逻辑函数

任何逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。

1. 如果表达式为最小项表达式,则可直接填入卡诺图。

如:

2. 如表达式不是最小项表达式,但是“与或表达式”,可将其先化成最小项表达式,再填入卡诺图。也可直接填入。

例1.13 用卡诺图表示逻辑函数

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二、用卡诺图化简逻辑函数
  • 合并最小项的规则

基本原理:

合并规律:

2个相邻的小方块合并,消去1个取值不同的变量而合并为1项。

4个相邻的小方块合并,消去2个取值不同的变量而合并为1项。

8个相邻的小方块合并,消去3个取值不同的变量而合并为1项。 ………

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二、用卡诺图化简逻辑函数

用卡诺图合并最小项的原则(划圈原则):

1. 圈尽量少、尽量大。但每个圈内只能含有2n(n=0,1,2,3, ……)个相邻项,要特别注意对边相邻性和四角相邻性。

2. 组成函数的最小项必须被划到,即不能漏掉取值为1的最小项。

3. 每个圈内必须包含1个或1个以上新的最小项。

4. 最小项的小方块可以重复使用。

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二、用卡诺图化简逻辑函数

用卡诺图化简逻辑函数步骤:

(1) 将逻辑函数化为最小项之和形式

(2) 画出逻辑函数的卡诺图

(3) 合并最小项(按划圈规则)

(4) 写出最简式。每一个圈写一个最简与项,规则是,取值为l的变量用原变量表示,取值为0的变量用反变量表示,将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加,即得最简与—或表达式

化简结果不一定唯一。

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二、用卡诺图化简逻辑函数

书例1.7.3

此例说明:

一个逻辑函数的真值表是唯一的,卡诺图也是唯一的,但化

简结果有时不是唯一的。

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二、用卡诺图化简逻辑函数
  • 例1.14 将下列四变量函数化为最简与或式
  • 卡诺图化简法的
  • 优点:简单、直观、有一定步骤可循,易掌握,易避免差错。
    • 缺点:变量超过5个以上时,实用意义不大。
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§ 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简
  • 一、约束项、任意项、无关项
  • 约束项

某种制约关系的最小项,恒等于0。

将约束项写入逻辑式中不影响函数值。

  • 任意项

某些最小项等于1时,函数值是0是1无所谓。

  • 约束项和任意项统称为无关项。

表示方式:

表达式中: 表示无关项之和,卡诺图中:x表示。

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例如:在十字路口有红绿黄

三色交通信号灯,规定红灯

亮停,绿灯亮行,黄灯亮等

一等,试分析车行与三色信

号灯之间逻辑关系。

解:设红、绿、黄灯分别用

A、B、C表示,且灯亮为

1,灯灭为0。车用Y表示,

车行Y=1,车停Y=0。列出

该函数的真值。

显而易见,在这个函数中,有5个最小

项为无关项。

带有无关项的逻辑函数的最小项表达式

为:

Y=∑m( )+∑d( )

如本例函数可写成

Y=∑m(2)+∑d(0,3,5,6,7)

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二、无关项在化简逻辑函数中的应用
  • 卡诺图中,根据约束项的值可为1,可为0,尽量将圈画的少,画得大。使逻辑函数更简。画入圈中的约束项作为1,没画入的作0处理。

例1.15 Y(A,B,C,D)=∑m(1,4,5,6,7,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)

用卡诺图法化简该逻辑函数。

解:(1)画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1;

将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。

(2)合并最小项,如图(a)所示。注意,1方格不能漏。×方格根据需要,可以圈入,也可以放弃。

(3)写出逻辑函数的最简与—或表达式:

如果不考虑无关项,

如图(b)所示,写出

表达式为

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二、无关项在化简逻辑函数中的应用
  • 例1.16 将下列具有约束项的逻辑函数化简为最简与或式:
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由卡诺图也可得到其它形式的最简式

1. 化简为最简与或非式:

可考虑在卡诺图中先圈0,再将圈0所得的函数化为最简与或式,然后在此最简式上加反,即得最简与或非式。

例1.17将下式化简为最简与或非式

2. 化简为最简或与式:

步骤和画圈原则基本与最简与或式相同。不同的是与或式化简采用最小项的概念,而或与式采用最大项的概念。需注意的是,下标相同的最大项和最小项互补,即 ,比如0号小方块,写成最小项为 ,而写成最大项为

例1.18将下式化简为最简或与式

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卡诺图的应用

1. 化简函数为各种最简式

2. 检验函数化简结果是否为最简式

3. 判断函数间的逻辑关系

4. 直接对逻辑函数进行与、或、非、异或等逻辑运算

5. 利用卡诺图实现逻辑函数不同形式间的转换

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9月1日作业

P39

1.8

P40

1.10 (1) (3) (5)

1.11 (1) (3) (5)

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9月6日作业
  • P41

1.13

1.14 (1)-(4)

slide62
9月8日作业
  • P41

1.16 (1)-(3)

P42

1.20