Fazna promena u k gd sat problemu
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 29

Fazna promena u k -GD-SAT problemu PowerPoint PPT Presentation


  • 82 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Fazna promena u k -GD-SAT problemu. Vesna Pavlović p rof . Predrag Jani čić. SAT problem i fazna promena. L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti

Download Presentation

Fazna promena u k -GD-SAT problemu

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Fazna promena u k gd sat problemu

Fazna promena u k-GD-SAT problemu

Vesna Pavlović

prof. Predrag Janičić


Sat problem i fazna promena

SAT problem i fazna promena

  • L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti

  • Eksperimenti sugerišu da postoji fazna promena izmedju zadovoljivosti i nezadovoljivosti kako količnik L/N raste

  • Tačka fazne promene c0:


K sat model

k-SAT model

  • Na slučajan način generiše se L klauza dužine k

  • Svaka klauza se dobija slučajnim odabirom k različitih promenljivih iz skupa od N promenljivih, negiranjem svake sa verovatnoćom 0.5

  • NP-kompletan problem za k >2


K gd sat model

k-GD-SAT model

  • Dužina klauze ima geometrijsku raspodelu

  • Klauze se generišu na osnovu sledeće stohastičke kontekstno-slobodne gramatike sa parametrom 0<p≤1

  • Verovatnoća generisanja klauze dužine l je p(1-p)l-k

  • Očekivanje dužine klauza u ovom modelu je k-1+1/p


Gornje granice za ta ku fazne promene

Gornje granice za tačku fazne promene

  • Ako fiksiramo valuaciju (jednu od 2N mogućih), verovatnoća da je proizvoljna k-GD-SAT klauza njom zadovoljena je:

  • Stoga je očekivanje broja zadovoljivih valuacija za formulu sa L klauza i N promenljivih:


Gornje granice za ta ku fazne promene1

Gornje granice za tačku fazne promene

  • Postavljanjem uslova da je formula nezadovoljiva, tj. da je očekivani broj zadovoljivih valuacija o(1) dobijamo gornju granicu za tačku fazne promene:

  • Za k-SAT je pokazano da je gornja granica dobijena ovim metodom asimptotski bliska tački fazne promene, pa su naša očekivanja da tako nešto važi i za k-GD-SAT


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  • Pokazali smo da važi:

  • Cilj nam je da pokažemo da je rk asimptotski blisko rk*

  • X –slučajna promenljiva definisana za formulu Fk(n,rn)tako da X > 0 daje S  

  • Ako za dato r važi: tada je: rk≥r

  • X – broj zadovoljavajućih valuacija za F,

    gde je 0 <  < 1, H(,F) broj zadovoljenih literala u F valuacijom minus broj nezadovoljenih literala u F valuacijom, a S(F) je skup zadovoljavajućih valuacija za formulu F


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama1

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama2

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  • Lema: Neka je  realna, pozitivna, dva puta diferencijabilna funkcija na intervalu [0,1] i neka važi:

    Definišemo g na [0,1] kao:

    Ako postoji max  (0,1) tako da je g(max)gmax>g()za svako  max i g’’(max)<0 onda postoje konstante B,C>0 tako da za dovoljno veliko n važi:


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama3

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  • Ako obeležimo sa:

  • Ono što je nama cilj jeste da nadjemo vrednost 0 za koju važi:

  • Nismo uspeli da nađemo vrednost za 0 kao funkciju parametra p za koju bi važila prethodna jednakost.

  • Za k-SAT ta vrednost je 0= ½

  • Za k-GD-SAT vrednost za 0nije konstantna za različite vrednosti za r i takođe zavisi od p


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama4

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti p (za k = 10 i r = 10, r = 50)


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene pomo u sheme sa te inama5

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti r (za k = 10 i p = 0.2, p = 0.5, p = 0.8)


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene za nae k gd sat

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT

  • Formula F je NAE-zadovoljiva akko za valuaciju  važi da svaka klauza ima barem jedan literal koji je zadovoljen datom valuacijom i barem jedan literal koji nije zadovoljen datom valuacijom

    • Ovo zapisujemo kao   F

  • X – broj NAE-zadovoljivih valuacija za formulu F


Poku aj utvr ivanja donjih granica za ta ku fazne promene za nae k gd sat1

Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT

  • Kod k-SAT problema imali smo da važi E[X]2 = N(1/2)n, ali

  • kod k-GD-SAT-a važi E[X]2 = N(1/2,p)n samo za p = 1

  • Vrednost  za koju funkcija N(1/2,p)dostiže svoj pik zavisi od p

  • p/2, 1-p/2


O tar prag za k gd sat

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Fk,p(n,l) – k-GD-SAT formula, sa parametrom p, sa l klauza nad n promenljivih

  • i-klauza – klauza dužine i

  • Verovatnoća generisanja i-klauze je p(1-p)i-k

  • gk,p(n,r) – verovatnoća da je formula Fk,p(n,l) zadovoljiva

  • Teorema (Friedgut): Za svako k ≥ 2 postoji niz rk(n) tako da za svako  > 0 važi:

  • Teorema: Za svaku vrednost p [0,1] i za svako k ≥ 2 postoji niz rk,p(n) tako da za svako  > 0 važi:


O tar prag za k gd sat1

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Dvostruka modifikacija modela:

    • Ograničiti dužinu klauza

    • Definisati odgovarajući prostor verovatnoće

  • km-GD-SAT model

    • Fmk,p(n,l) – za k  i  k+m i-klauza se bira sa verovatnoćom p(1-p)i-km+k+1-klauza se bira sa verovatnoćom (1-p)m+1

    • gpm(n,r) – verovatnoća da je formula Fmk,p(n,rn) zadovoljiva

  • kḿ-GD-SAT model

    • Sve klauze se biraju sa jednakom verovatnoćom, pravimo kopije klauza

    • Tmk,p(n,l)– ukupan broj klauza

    • Hmk,p(n,l) – svaku od klauza biramo sa verovatnoćom l / Tmk,p(n,l)

    • Za k  i  k+m imaćemo q(p,i) kopija i-klauza, samo jedna kopija m+k+1-klauza, vrednosti q(p,i) biramo tako da je raspodela dužina klauza ista za formulu Fmk,p(n,l) i Hmk,p(n,l)


O tar prag za k gd sat2

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Treba da važi:

  • Dobijamo:

  • Naš cilj je dokazati da:

    • 1. kḿ-GD-SAT ima oštri prag

    • 2. km-GD-SAT ima oštri prag

    • 3. k-GD-SAT ima oštri prag


O tar prag za k gd sat3

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Lema1: kḿ-GD-SAT ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi:

  • Dokaz: Trebalo bi da ide slično dokazu za k-SAT.


O tar prag za k gd sat4

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Lema2: km-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: Dodatno, postoji konstanta M tako da za svako k, n i m važi da je

  • Dokaz: Imamo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako da za n > n0 važi: Dokažimo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako daza n > n0 važi: hk,pm,l – verovatnoća da je formula Hk,pm,l zadovoljiva pod uslovom da ima l klauza Važi:


O tar prag za k gd sat5

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Označimo sa P(i) verovatnoću da formula Hk,pm(n,rn) ima i klauza; tada važi:Tada za za dovoljno veliko n važi :


O tar prag za k gd sat6

Oštar prag za k-GD-SAT


O tar prag za k gd sat7

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Važi:Obzirom da važi da je rn-1 < T/2, važi i P < ½ i time je dokaz završen.

  • Ovim postupkom smo mogli da pokažemo i da važi: Greška?- moguće je da se nizovi r(n) ne poklapaju za ova dva modela

  • Drugi deo tvrdjenja sledi iz toga da je tačka fazne promene manja ili jednaka od


O tar prag za k gd sat8

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Lema3: k-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi:

  • Dokaz: - verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljivaako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m- verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljivaako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m- verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljivaako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m- verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljivaako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m


O tar prag za k gd sat9

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Klauze dužine i, k i k+m se biraju sa istim verovatnoćama i u formuli Fk,p(n,l) i u Fmk,p(n,l), stoga važi:

    Takodje važi:

    Biramo proizvoljno  > 0; n0 biramo tako da za n > n0važi sledeće:

  • Važi sledeći niz nejednakosti:


O tar prag za k gd sat10

Oštar prag za k-GD-SAT


O tar prag za k gd sat11

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Neka je m dovoljno veliko tako da važi:

  • Ono što želimo da dokažemo je:

  • Imamo da važi:

  • Znači dovoljno je da pokažemo: ‚tj.


O tar prag za k gd sat12

Oštar prag za k-GD-SAT

  • Važi:što smo i hteli da pokažemo.

  • Pokazali smo da za proizvoljno  > 0 postoji n0 tako da ako važi n > n0 onda je i:

  • Analogno se pokazuje i:


Literatura

Literatura

  • Achlioptas, D., Peres, Y., The Threshold for Random k-SAT is 2klog2- O(k), Journal of the American Mathematical Society, Volume 17, Number 4, 947-973, 2004.

  • Friedgut, E., Bourgain, J., Sharp Thresholds of Graph Properties, and the k-SAT problem, Journal of the American Mathematical Society, Volume 12, Number 4, 1017-1054, 1999.

  • Achlioptas, D., Moore, C., Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold, SIAM Journal of Computing, Volume 36, Number 3, 740-762, 2006.

  • Achlioptas, D., Kirousis, M., Kranakis, E., Krizanc, D., Rigorous results for random 2+p-SAT, Theoretical Computer Science, 265, 109-129, 2001.


Fazna promena u k gd sat problemu

Hvala na pažnji!


  • Login