1 / 29

Fazna promena u k -GD-SAT problemu

Fazna promena u k -GD-SAT problemu. Vesna Pavlović p rof . Predrag Jani čić. SAT problem i fazna promena. L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti

faith
Download Presentation

Fazna promena u k -GD-SAT problemu

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Fazna promena u k-GD-SAT problemu Vesna Pavlović prof. Predrag Janičić

  2. SAT problem i fazna promena • L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti • Eksperimenti sugerišu da postoji fazna promena izmedju zadovoljivosti i nezadovoljivosti kako količnik L/N raste • Tačka fazne promene c0:

  3. k-SAT model • Na slučajan način generiše se L klauza dužine k • Svaka klauza se dobija slučajnim odabirom k različitih promenljivih iz skupa od N promenljivih, negiranjem svake sa verovatnoćom 0.5 • NP-kompletan problem za k >2

  4. k-GD-SAT model • Dužina klauze ima geometrijsku raspodelu • Klauze se generišu na osnovu sledeće stohastičke kontekstno-slobodne gramatike sa parametrom 0<p≤1 • Verovatnoća generisanja klauze dužine l je p(1-p)l-k • Očekivanje dužine klauza u ovom modelu je k-1+1/p

  5. Gornje granice za tačku fazne promene • Ako fiksiramo valuaciju (jednu od 2N mogućih), verovatnoća da je proizvoljna k-GD-SAT klauza njom zadovoljena je: • Stoga je očekivanje broja zadovoljivih valuacija za formulu sa L klauza i N promenljivih:

  6. Gornje granice za tačku fazne promene • Postavljanjem uslova da je formula nezadovoljiva, tj. da je očekivani broj zadovoljivih valuacija o(1) dobijamo gornju granicu za tačku fazne promene: • Za k-SAT je pokazano da je gornja granica dobijena ovim metodom asimptotski bliska tački fazne promene, pa su naša očekivanja da tako nešto važi i za k-GD-SAT

  7. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Pokazali smo da važi: • Cilj nam je da pokažemo da je rk asimptotski blisko rk* • X –slučajna promenljiva definisana za formulu Fk(n,rn)tako da X > 0 daje S   • Ako za dato r važi: tada je: rk≥r • X – broj zadovoljavajućih valuacija za F, gde je 0 <  < 1, H(,F) broj zadovoljenih literala u F valuacijom minus broj nezadovoljenih literala u F valuacijom, a S(F) je skup zadovoljavajućih valuacija za formulu F

  8. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

  9. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Lema: Neka je  realna, pozitivna, dva puta diferencijabilna funkcija na intervalu [0,1] i neka važi: Definišemo g na [0,1] kao: Ako postoji max  (0,1) tako da je g(max)gmax>g()za svako  max i g’’(max)<0 onda postoje konstante B,C>0 tako da za dovoljno veliko n važi:

  10. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Ako obeležimo sa: • Ono što je nama cilj jeste da nadjemo vrednost 0 za koju važi: • Nismo uspeli da nađemo vrednost za 0 kao funkciju parametra p za koju bi važila prethodna jednakost. • Za k-SAT ta vrednost je 0= ½ • Za k-GD-SAT vrednost za 0nije konstantna za različite vrednosti za r i takođe zavisi od p

  11. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti p (za k = 10 i r = 10, r = 50)

  12. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti r (za k = 10 i p = 0.2, p = 0.5, p = 0.8)

  13. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT • Formula F je NAE-zadovoljiva akko za valuaciju  važi da svaka klauza ima barem jedan literal koji je zadovoljen datom valuacijom i barem jedan literal koji nije zadovoljen datom valuacijom • Ovo zapisujemo kao   F • X – broj NAE-zadovoljivih valuacija za formulu F

  14. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT • Kod k-SAT problema imali smo da važi E[X]2 = N(1/2)n, ali • kod k-GD-SAT-a važi E[X]2 = N(1/2,p)n samo za p = 1 • Vrednost  za koju funkcija N(1/2,p)dostiže svoj pik zavisi od p • p/2, 1-p/2

  15. Oštar prag za k-GD-SAT • Fk,p(n,l) – k-GD-SAT formula, sa parametrom p, sa l klauza nad n promenljivih • i-klauza – klauza dužine i • Verovatnoća generisanja i-klauze je p(1-p)i-k • gk,p(n,r) – verovatnoća da je formula Fk,p(n,l) zadovoljiva • Teorema (Friedgut): Za svako k ≥ 2 postoji niz rk(n) tako da za svako  > 0 važi: • Teorema: Za svaku vrednost p [0,1] i za svako k ≥ 2 postoji niz rk,p(n) tako da za svako  > 0 važi:

  16. Oštar prag za k-GD-SAT • Dvostruka modifikacija modela: • Ograničiti dužinu klauza • Definisati odgovarajući prostor verovatnoće • km-GD-SAT model • Fmk,p(n,l) – za k  i  k+m i-klauza se bira sa verovatnoćom p(1-p)i-km+k+1-klauza se bira sa verovatnoćom (1-p)m+1 • gpm(n,r) – verovatnoća da je formula Fmk,p(n,rn) zadovoljiva • kḿ-GD-SAT model • Sve klauze se biraju sa jednakom verovatnoćom, pravimo kopije klauza • Tmk,p(n,l)– ukupan broj klauza • Hmk,p(n,l) – svaku od klauza biramo sa verovatnoćom l / Tmk,p(n,l) • Za k  i  k+m imaćemo q(p,i) kopija i-klauza, samo jedna kopija m+k+1-klauza, vrednosti q(p,i) biramo tako da je raspodela dužina klauza ista za formulu Fmk,p(n,l) i Hmk,p(n,l)

  17. Oštar prag za k-GD-SAT • Treba da važi: • Dobijamo: • Naš cilj je dokazati da: • 1. kḿ-GD-SAT ima oštri prag • 2. km-GD-SAT ima oštri prag • 3. k-GD-SAT ima oštri prag

  18. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema1: kḿ-GD-SAT ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: • Dokaz: Trebalo bi da ide slično dokazu za k-SAT.

  19. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema2: km-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: Dodatno, postoji konstanta M tako da za svako k, n i m važi da je • Dokaz: Imamo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako da za n > n0 važi: Dokažimo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako daza n > n0 važi: hk,pm,l – verovatnoća da je formula Hk,pm,l zadovoljiva pod uslovom da ima l klauza Važi:

  20. Oštar prag za k-GD-SAT • Označimo sa P(i) verovatnoću da formula Hk,pm(n,rn) ima i klauza; tada važi:Tada za za dovoljno veliko n važi :

  21. Oštar prag za k-GD-SAT

  22. Oštar prag za k-GD-SAT • Važi:Obzirom da važi da je rn-1 < T/2, važi i P < ½ i time je dokaz završen. • Ovim postupkom smo mogli da pokažemo i da važi: Greška?- moguće je da se nizovi r(n) ne poklapaju za ova dva modela • Drugi deo tvrdjenja sledi iz toga da je tačka fazne promene manja ili jednaka od

  23. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema3: k-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: • Dokaz: - verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m- verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m- verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m - verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m

  24. Oštar prag za k-GD-SAT • Klauze dužine i, k i k+m se biraju sa istim verovatnoćama i u formuli Fk,p(n,l) i u Fmk,p(n,l), stoga važi: Takodje važi: Biramo proizvoljno  > 0; n0 biramo tako da za n > n0važi sledeće: • Važi sledeći niz nejednakosti:

  25. Oštar prag za k-GD-SAT

  26. Oštar prag za k-GD-SAT • Neka je m dovoljno veliko tako da važi: • Ono što želimo da dokažemo je: • Imamo da važi: • Znači dovoljno je da pokažemo: ‚tj.

  27. Oštar prag za k-GD-SAT • Važi:što smo i hteli da pokažemo. • Pokazali smo da za proizvoljno  > 0 postoji n0 tako da ako važi n > n0 onda je i: • Analogno se pokazuje i:

  28. Literatura • Achlioptas, D., Peres, Y., The Threshold for Random k-SAT is 2klog2- O(k), Journal of the American Mathematical Society, Volume 17, Number 4, 947-973, 2004. • Friedgut, E., Bourgain, J., Sharp Thresholds of Graph Properties, and the k-SAT problem, Journal of the American Mathematical Society, Volume 12, Number 4, 1017-1054, 1999. • Achlioptas, D., Moore, C., Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold, SIAM Journal of Computing, Volume 36, Number 3, 740-762, 2006. • Achlioptas, D., Kirousis, M., Kranakis, E., Krizanc, D., Rigorous results for random 2+p-SAT, Theoretical Computer Science, 265, 109-129, 2001.

  29. Hvala na pažnji!

More Related