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Licence d’informatique Algorithmique des graphes

Licence d’informatique Algorithmique des graphes. Cours 7 : Graphes valués Chemins de valeur optimale Algorithme de Bellmann-Kalaba. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation.

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  1. Licence d’informatiqueAlgorithmique des graphes Cours 7 : Graphes valués Chemins de valeur optimale Algorithme de Bellmann-Kalaba Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.

  2. Relation avec les arcs : Une valeur spécifique indique l’absence d’arc. Graphes valués Chemins de valeur optimale E : ensemble de valeurs (numériques ou autres) Chaque couple de sommets (x, y) est muni d’une valeur v(x, y)

  3. E={vrai, faux}  = faux Exemple 1 valeurs d’existence des arcs

  4.  = + Exemple 2 valeurs numériques des arcs

  5.  = - Exemple 3 valeurs numériques des arcs

  6.  = 0 Exemple 4 probabilité d’existence (fiabilité) des arcs

  7. aveccomme élément absorbant : Valeurs des chemins où  est une loi de composition sur E, • associative

  8. Exemple 1 valeurs d’existence des arcs E={vrai, faux}  = faux

  9. Exemple 2 valeurs numériques des arcs  = +

  10. Exemple 3 valeurs numériques des arcs  = -

  11. Exemple 4 probabilité d’existence (fiabilité) des arcs  = 0

  12. Comparaison des valeurs de chemins Relation d’ordre (« meilleur que ») telle que l’élément absorbant est le pire (maximal):

  13. Exemple 1 valeurs d’existence des arcs E={vrai, faux}  = faux

  14. Exemple 2 CHEMINS DE VALEUR ADDITIVE MINIMALE  = +

  15. Exemple 3 CHEMINS DE VALEUR ADDITIVE MAXIMALE  = -

  16. Exemple 4 CHEMINS DE FIABILITE MAXIMALE  = 0

  17. Donnée : un graphe valué 3 types de problèmes :  Problèmes 1-1 (x et y donnés)  Problèmes 1-* (x donné, tout y)  Problèmes *-* (tout x, tout y) Chemins de valeur optimale But : calculer la « valeur »« optimale » des chemins du sommet x au sommet y

  18. Chemins de valeur optimale Ils ne peuvent pas être résolus sans résoudre un pb 1-* 3 types de problèmes :  Problèmes 1-1 (x et y donnés)  Problèmes 1-* (x donné, tout y)  Problèmes *-* (tout x, tout y)

  19. Chemins de valeur optimale x donné. Pour tout y, calculer y= valeur optimale des chemins de x à y 3 types de problèmes :  Problèmes 1-1 (x et y donnés)  Problèmes 1-* (x donné, tout y)  Problèmes *-* (tout x, tout y)

  20. Chemins de valeur optimale Pour tout x et tout y, calculer xy= valeur optimale des chemins de x à y 3 types de problèmes :  Problèmes 1-1 (x et y donnés)  Problèmes 1-* (x donné, tout y)  Problèmes *-* (tout x, tout y)

  21. 1 predi i chemin de valeur   i Chemins de valeur optimale issus d’un sommet donné Sommet initial x =1. i= valeur optimale des chemins de 1 à i predi = prédécesseur optimal de i chemin de valeur  i

  22. Réciproquement: v()=<0b i 1 Chemins de valeur optimale issus d’un sommet donné Résultat d’existence Les valeurs i sont définies  il n’y a pas de circuit de valeur < 0 dans la descendance du sommet 1  v=a Valeurs non minorées v=a +  < a v=a + 2 < a +  < a

  23. i 1 Chemins de valeur optimale issus d’un sommet donné Résultat d’existence Les valeurs i sont définies  il n’y a pas de circuit de valeur < 0 dans la descendance du sommet 1  Réciproquement: donc valeurs minorées par celles des chemins élémentaires CQFD tout circuit de valeur est de longueur  0 ensemble FINI

  24. Chemins de valeur optimale issus d’un sommet donné CARACTERISATION Les valeurs i constituent LA solution MAXIMALE du système d ’équations 

  25. 2 2 2 1 1 a f e d c b 1 4 -2 0 2 (2) (4) (0) (2) (4) (2) a = 0 b = a +2 c = min(a +4, b +1, d +2, f +2) d = min(b +2, e +1) e = min(c -2, d +1) f = e 0 = 0 2 = 0 + 2 FAUX! 4 =min(0+4, 2+1, 4+2, 2+2) FAUX! 4 = min(2+2, 2+1) 2 = min(4-2, 4+1) 2 = 2 SYSTEME NON VERIFIE : VALEURS TROP GRANDES

  26. 2 2 2 1 1 a f e d c b 1 4 -2 0 2 (2) (1) (0) (0) (2) (0) a = 0 b = a +2 c = min(a +4, b +1, d +2, f +2) d = min(b +2, e +1) e = min(c -2, d +1) f = e 0 = 0 2 = 0 + 2 VRAI! 2 =min(0+4, 2+1, 1+2, 0+2) VRAI! 1 = min(2+2, 0+1) 0 = min(2-2, 1+1) 0 = 0

  27. a f e d c b (2) (1) 2 2 2 1 1 (0) 1 4 -2 (0) (2) 0 2 (0) a = 0 b = a +2 c = min(a +4, b +1, d +2, f +2) d = min(b +2, e +1) e = min(c -2, d +1) f = e 0 = 0 2 = 0 + 2 2 =min(0+4, 2+1, 1+2, 0+2) SYSTEME VERIFIE 1 = min(2+2, 0+1) 0 = min(2-2, 1+1) 0 = 0 VALEURS TROP PETITES Pas de chemin de valeur x de a à tout x. Le sommet a n’est pas racine du sous-graphe minimal.

  28. a f e d c b (2) (2) 2 VALEURS CORRECTES 2 2 1 1 (0) 1 4 -2 (1) (3) 0 2 (1) a = 0 b = a +2 c = min(a +4, b +1, d +2, f +2) d = min(b +2, e +1) e = min(c -2, d +1) f = e 0 = 0 2 = 0 + 2 SYSTEME VERIFIE 3 =min(0+4, 2+1, 2+2, 1+2) 2 = min(2+2, 1+1) 1 = min(3-2, 2+1) 1 = 1 Il y a un chemin de valeur x de a à tout x. Le sommet aest racine du sous-graphe minimal.

  29. Algorithme de Bellmann-Kalaba Résolution du système par approximations successives (initialisation avec la première ligne de la matrice)

  30. Algorithme de Bellmann-Kalaba Proposition Démonstration: Par récurrence sur k

  31. Algorithme de Bellmann-Kalaba Proposition Démonstration: Par récurrence sur k vrai pour k=1, par construction

  32. 1 i j lg =1 lg  k Algorithme de Bellmann-Kalaba Proposition Démonstration: vrai pour kvrai pour k+1

  33. Proposition Algorithme de Bellmann-Kalaba Si pas de circuits de valeur < 0 alors cette proposition est vérifiée pour laplus grande longueur k de chemin élémentaire  valeurs min obtenues Corollaire:  existence de circuits de valeur < 0

  34. (2) a a (3) (-1) a -2 -5 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 f 3 -2 h c -1 -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b 6 CHEMINS DE LONGUEUR 1 BELLMAN-KALABA : PRINCIPE

  35. (2) (0) a a (3) (3) (7) (-1) (1) (4) a -2 -5 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 f 3 -2 h c -1 -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b 6 CHEMINS DE LONGUEUR <= 2

  36. (2) (0) (4) a a (3) (3) (7) (-1) (0) (1) (4) a -2 -5 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 f 3 -2 h c -1 -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b 6 CHEMINS DE LONGUEUR <= 3

  37. (-1) (2) (0) (4) a a (3) (3) (7) (-1) (0) (1) (4) a -2 -5 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 f 3 -2 h c -1 -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b 6 CHEMINS DE LONGUEUR <= 4

  38. (1) (2) (0) (4) a a (3) (3) (7) (-1) (0) (1) (4) a (-1) -2 -5 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 f 3 -2 h c -1 -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b 6 CHEMINS DE LONGUEUR <= 5

  39. (1) (2) (4) a a (3) (6) (-1) (0) a (-1) -2 -5 (0) 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 (3) f 3 -2 h c -1 (7) -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b (1) 6 (4) CHEMINS DE LONGUEUR <= 6

  40. (1) (2) (4) a a (3) (6) (-1) (0) a (-1) -2 -5 (0) 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 (3) f 3 -2 h c -1 (7) -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b (1) 6 (4) CHEMINS DE LONGUEUR <= 7 AUCUNE REMISE EN CAUSE : MINIMA OBTENUS

  41. (1) (2) (4) a a (3) (6) (-1) (0) a (-1) -2 -5 (0) 4 i g k l 2 7 4 -1 5 2 1 2 (3) f 3 -2 h c -1 (7) -3 4 (0) 1 e 2 -4 6 j d b (1) 6 (4) GRAPHE MINIMAL (chemins issus de a)

  42. a b c d e f a 2 2 -5 -5 3 3 0 (a) (a) (a) b c d e f d f c b e a -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6 a b c d e f 0 l(1) -3 4 4 3 3 4 2 5 -7 6 BELLMAN-KALABA : EXEMPLE D’EXECUTION SUR LA MATRICE

  43. a b c d e f a 2 2 -5 -5 3 3 (a) (a) (a) b c d e f a d f e c b -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6 a b c d e f 0 0 Courant : 0 l(1)  -3 4 Minimum : 0 0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6

  44. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 c (a) d e f b f c e a d -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6 a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant : 2 l(1)  (a) (a) (a) -3 4 Minimum : 2 (a) 0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6

  45. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 -5 c (a) (a) d e f a d b c f e -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6 a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant : -5 l(1) -1  (a) (a) (a) -3 4 Minimum : -5 (a) 0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6

  46. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 -5 -1 c (a) (a) (c) d e f f c b d a e a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant :  l(1) -1  (a) (a) (a) -3 -1 (c) 4 Minimum :  0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6 -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6

  47. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 -5 -1 6 c (a) (a) (c) (b) d e f c b a e d f a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant :  l(1) 6  9 (a) (a) (a) -3 6 (b) 4 Minimum :  0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6 -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6

  48. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 -5 -1 6 -2 c (a) (a) (c) (b) (c) d e f d a f e c b a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant : 3 l(1)  -2  (a) (a) (a) -3 4 Minimum : 3 (a) -2 (c) 0 4 3 l(2) 3 4 2 5 -7 6 -3 -5 4 2 4 4 3 3 5 2 -7 3 6

  49. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 -5 -1 6 -2 c (a) (a) (c) (b) (c) d e f a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant : 0 l(1)  2  (a) (a) (a) -3 4 Minimum : 0 (a) 0 4 3 l(2) 3 4 2 0 5 -7 l(3) 6

  50. a b c d e f a 2 -5 3 b 2 2 -5 -1 6 -2 c (a) (a) (a) (c) (b) (c) d e f a b c d e f 0 0 2 -5 3 Courant : 2 l(1)  3  (a) (a) (a) -3 4 Minimum : 2 (a) 0 4 3 l(2) 3 4 2 0 5 -7 l(3) 6

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