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Permutaciones alternantes y gráficas completas

Permutaciones alternantes y gráficas completas. Criel Merino. El polinomio de Tutte. Para H=( V,A ),  (A) es el número de componentes conexas de H. Para G= ( V,E ), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista como. r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.

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Permutaciones alternantes y gráficas completas

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Presentation Transcript

  1. Permutaciones alternantes y gráficas completas Criel Merino

  2. El polinomio de Tutte Para H=(V,A), (A) es el número de componentes conexas de H. Para G=(V,E), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista como r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.

  3. El polinomio de Tutte El polinomio de 2 variables es conocido como el polinomio de Tutte. Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)

  4. F. G. aristas monocromáticas bG(q,j)= número de q-coloraciones de G con j aristas monocromáticas. b()=conjunto de aristas monocromáticas en la coloración . BG(q,) = q5 + (2q2 – 2q)3 + (4q2 – 4q)2 + (5q3 – 14q2+ 9q) + (q4 – 5q3 + 8q2 – 4q)

  5. F. G. aristas monocromáticas

  6. TG y BG

  7. TG y BG

  8. Tn(x,y)

  9. Tn(x,y)

  10. Tn(x,y)

  11. Tn(x,y) Teorema (Tutte 67)

  12. Tn(x,-1)

  13. Tn(1,-1) Teorema (Mallows and Riordan ‘68)

  14. Tn(1,-1) F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…

  15. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Teorema. Para n0, Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1).

  16. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Derivando dos veces

  17. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

  18. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Como T0(2,-1)=1, basta igualar coeficientes.

  19. Tn,m(x,y)

  20. Tn,m(x,y)

  21. Tn,m(x,y)

  22. Tn,m(1,-1)

  23. Tn(1,-1) F(t,u) es la F.G.E. de la sucesión 1, 1, 1, 1, 1, 1,… 1,-1, 1,-1,1,-1,… 1, 1, 1, 1, 1, 1,…

  24. Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1). Teorema. Para n,m 0 Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1).

  25. Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1).

  26. Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1). Diferenciando en t y luego en u

  27. Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

  28. Tn+1,m+1(1,-1)=Tn,m(2,-1). Basta igualar coeficientes.

  29. Otros ejemplos. Gráficas “Threshold”

  30. TG(1,y) x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V|-(A)= |V|-(E), o sea, H=(V,A) es conexo.

  31. Tn(1,y)

  32. Tn(1,y)

  33. Tn(1,y) 1 H=({1,..,n},D) C k n B A |D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1

  34. C Tn(1,y) Variando A, B y C B A

  35. Permutaciones alternantes Una permutación Sn es alternate (o updown) si (1)<(2)>(3)<…. .Denotamos por Altn a las permutaciones alternates en Sn. Definimos a0=1 y an=|Altn|, o sea, a1=1,a2=1, a3=2,a4=5. Ejemplo n = 4: (3412) (2413) (2314) (1324) (1423) 4 3 2 1

  36. Permutaciones alternantes Lema 1: aj-1 an-j (1)<(2)>… >(j-1) <n> (j+1)< (j+2)>…< (n)

  37. Permutaciones alternantes Proposición : Lema 1 sumando sobre j impar.

  38. Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘83)

  39. Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘83)

  40. Permutaciones alternantes CorolarioPara n0,

  41. Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Basta derivar la F.G.E. de Tn(1,-1) y hacer el cambio de variables -2t=u

  42. FIN

  43. Permutaciones alternantes Lema1: aj-1 an-j (1)<(2)>… <(j-1) > 1< (j+1)> (j+2)<…> (n) n-(j+1)<n- (j+2)>…<n-(n) ’(1)<’(2)>… <’(n-j)

  44. Permutaciones alternantes Proposición: Lema 1 sumando sobre j impar Lema 2 sumando sobre j par

  45. Polinomio de inversión Para un árbol A de Kn con raíz en r, una inversión es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A. 1 Inv(A)= 3 5 2 4 3

  46. Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los árboles generadores Fn de Kn con raíz en 1.

  47. Polinomio de inversión

  48. Polinomio de inversión Sea Gn el conjunto de árboles generadores deKn con raíz en r, 1rn.

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