3 장 제어시스템의 성능 및 안정도 3.1 서론 ● 제어시스템을 설계하는 목적 - 동적 시스템의 성능을 보다 향상 ==> 피드백 제어시스템을 사용 시스템에 가해지는 입력에 대하여 바람직한

1. 3장  제어시스템의 성능 및 안정도 3.1 서론 ●  제어시스템을 설계하는 목적 - 동적 시스템의 성능을 보다 향상 ==> 피드백 제어시스템을 사용    시스템에 가해지는 입력에 대하여 바람직한 시스템 성능을 얻고자 함 - 성능-강인성(performance- robustness)을 유지하나 설계시    항상 안정도 문제를 고려해야 한다. ● 피드백 제어시스템의 성능과 안정도  ▶제어시스템의 성능: 주파수 및/또는 시간 역에서 해석 - 시스템의 주파수응답: 주파수에 따른 피드백 제어시스템의 성능을 알 수 있다.  - 시간역에서의 시스템 성능: 시험입력 신호를 사용하여 시스템의 과도응답과 정상상태응답을 조사하여 실시간에서 제어시스템의 성능을 시각적으로 예측할 수 있다.

2.  ▶제어시스템의 안정도: 폐루프 시스템이 절대적으로 안정해야 한다. - 공칭안정도(nominal stability),  절대안정도(absolute stability) 시스템의 수학적 모델에 대해 안정한지 불안정한지를 논함 ==> 시스템의 특성방정식의 근을 직접 조사하는 방법,        Routh 안정도 판별법(Routh's stability criterion) 근궤적법, Nyquist 안정도 판별법(Nyquist stability criterion) - 상대안정도(relative stability) : 상대적으로 어느 정도 더 안정한지를 논함 ==> 모델의 불확실성에 대해서도 안정도-강인성을 유지 - MATLAB을 이용, 제어시스템의 성능과 안정도를 평가하고 SIMULINK를 활용하여 제어시스템의 시간응답을 시뮬레이션

3. 3.2 제어시스템의 기본 정의 시스템 입력: 기준입력 r(s), 외란 d(s),  센서잡음 n(s) 플랜트의 출력: y(s) G(s): 플랜트 전달함수,   K(s):  제어기 전달함수 그림 3.1    일반적인 피드백 제어시스템

4. 출력 y(s)는 (3.1) • 루프(loop) 전달함수: G(s)K(s) • - 귀환차(return difference) 전달함수: 1+G(s)K(s) • - 감도(sensitivity) 전달함수: (3.2) • - 여감도(complementary sensitivity) 혹은 폐루프 전달함수: • (3.3)

5. - 실제 추적오차(tracking error) e(s):                                                                                            (3.4) (3.5) 혹은,                         (3.6) 다음 구속조건이 만족되어야 하므로 동시에 S(s) = 0, T(s) = 0은 불가능하다.                               (3.7) - 기준입력 r(s)와 외란 d(s)는 저주파에서 에너지를 가짐 ==> 저주파에서는 감도 전달함수 S(s)를 작게함 - 센서잡음 n(s)는 고주파에서 에너지를 가짐 ==> 고주파에서는 여감도 전달함수 T(s)를 작게함

6. 3.3 제어시스템의 감도 - 피드백 제어의 큰 장점은 플랜트 모델의 불확실성이나 변화가 존재하더라도 시스템의 성능 변화를 작게 유지 ==>시스템의 감도함수(sensitivity function)로 정량화 - 각 시스템 파라미터 값의 변동에 따른 피드백 제어시스템의 단위스텝응답의 변화를 살펴보기로 한다. 그림 3.2(a)에 표시된 공칭시스템(nominal system)의 전달함수 (3.8) 그림 3.2 (b)와 (c)는 플랜트 파라미터에 섭동(perturbation)이 있는 경우이며, (d)는 센서 게인에 섭동이 있는 경우이다.

7. 제어기 플랜트 센서 (a) 공칭시스템                 (b)시스템 파라미터의 섭동 (c) 또 다른 시스템 파라미터의 섭동       (d) 센서 게인의 섭동 그림 3.2 피드백 제어시스템의 파라미터 변화 효과

8. ▶ 시스템의 감도함수 특정 파라미터 a의 변화에 대한 전달함수 T의 변화 (3.15) 예) 파라미터 a(공칭값 2)와 피드백 경로에 있는 파라미터 b(공칭값 1) 에 대한 시스템의 감도함수? 그림 3.3 정밀 위치 제어시스템

9. 먼저, 피드백 경로에 있는 파라미터 b를 공칭값 1로 고정하면 (3.16) (3.17) (3.18) 이 때, 감도함수       는 다음과 같다

10. 따라서, 파라미터 a의 공칭값 2에 대한 감도함수는, (3.19) 시스템 파라미터의 변동이 공칭값에 비해 상당히 작은 경우에는 (3.20) 따라서 제어시스템의 정상상태응답 변화는 (3.21) 이와 같이 폐루프 전달함수 T(s)의 DC 게인, 즉 s ＝ 0에서의 게인은 플랜트 파라미터의 변동     가 존재하더라도 거의 변화가 없다.

11. ▶ 외란에 대한 감도   피드백 제어를 수행함으로써 외란제거 성능을 향상시킬 수 있다. 1) 개루프 제어 시스템에서의 외란 d(s)에 대한 전달함수 Td(s)는,  (3.27) 플랜트 플랜트 제어기 (a)개루프 제어 시스템              (b) 피드백 제어시스템 그림 3.4 외란을 고려한 개루프 및 피드백 제어 시스템.

12. 따라서, 단위스텝외란(d(s)=1/s)에 대한 시스템 출력의 최종값 y(∞) 는 (3.28) 식 (3.28)에서 알 수 있듯이 개루프 제어입력으로는 출력의 최종값을 변화시킬 수 없다. 2)  피드백 제어시스템의 경우, 외란에 대한 전달함수 Td(s)는 (3.29) (3.20) 식 (3.30)에서 알 수 있듯이 제어기의 게인 K를 증가시키면, 외란에 대한 시스템의 영향을 줄일 수 있다. 이와 같이 피드백 제어를 수행하여 외란제거 성능을 향상시킬 수 있음을 보였다.

13. 3.4 제어시스템의 주파수역 성능 ▶ 피드백 제어시스템의 주파수역 성능   명령추종 성능을 좋게 하기 위해서는 (3.31) 여기서, Ωr는 기준입력이 에너지를 갖는 주파수역이다. 명령추종 성능을 조사하기 위하여 식 (3.5)에서 기준입력 r(s)에 대한 영향만을 고려하면 (3.32) ▶  외란제거 성능     추적오차식 (3.5)에서 외란 d(s)에 대한 영향만을 고려하면 (3.33)

14. ▶ 센서잡음에 대한 저감도   추적오차식 (3.5)에서 센서잡음 n(s)에 대한 영향만을 고려하면 (3.34) . 그림 3.5  일반적인 제어시스템의 루프 형상

15. ▶ 개루프 제어시스템과 폐루프 제어시스템의 성능-강인성 비교 1) 개루프 제어시스템의 성능-강인성     개루프 제어시스템의 공칭 출력 y(s)는 (3.35) 이 때, 실제 출력 yA(s)는 다음과 같이 표현될 수 있다. (3.37) 개루프 제어시스템의 성능-강인성 식을 (3.39)

16. 2) 폐루프 제어시스템의 성능-강인성  폐루프 제어시스템의  공칭 출력 y(s)는 (3.40) 또한,  실제 출력 yA(s)는 (3.41) 위의 두 식에서 r(s)를 소거함으로써 폐루프 제어시스템의 성능-강인성 식은 (3.42)

17. 3.5 제어시스템의 시간역 성능 3.5.1  과도응답 ▶ 표준 시험 입력신호: 임펄스함수, 스텝함수, 램프함수, 가속도함수, 정현파함수 등 1) 임펄스응답

18. 2) 스텝응답    동적 시스템의 성능시험에 주로 사용되고 있다. 그림 3.6제어시스템의 전형적인 단위스텝응답

19. 퍼센트 오버슈트 P.O. : 최대값시간 tp,  최대 오버슈트량 Mp • (3.48) • 2. 지연시간 td :  정상상태응답 yss의 50%에 도달하는 데 소요되는  •                    시간으로 정의한다. • 3. 상승시간 tr :  • 과감쇠(overdamped) 시스템:  정상상태응답 yss의 10%에서 90% • 경감쇠(underdamped) 시스템:  정상상태응답 yss의 0%에서 100% • 4. 정착시간 ts : 출력의 크기가 1%, 2%, 또는 5% 내에서 안정하는데 • 소요되는 시간

20. ▶ 유한 영점이 없는 단순 2차 시스템의 해석     단순 2차 시스템의 일반형은 다음과 같다. (3.49) 단위스텝입력 (u(s) = 1/s)을 가했을 때의 출력 y(s)는 다음과 같다 (3.50) 그리고, 위 식을 역 Laplace 변환하여 단위스텝응답 y(t)를 구하면 (3.51) 시정수 T: 감쇠 정도를 나타내는 지수함수 가 이 되는 시간, 즉, T = 1/ζωn으로 정의된다.

21. 그림 3.8 감쇠비 ζ값에 따른 단순 2차 시스템의 극점 변화 그림 3.7 감쇠고유주파수       와 각     의 표시

22. 그림 3.9 ζ값에 따른 단순 2차 시스템의 단위스텝응답

23. ▶  단순 2차 시스템의 과도응답에 관한 사양 계산 • 1) 최대값시간 tp • 2) 상승시간 tr • 또는 • 3) 정착시간 ts : •   2% 정착시간 ts는 감쇠비 ζ값에 거의 무관하게 • 5% 정착시간 ts는 시스템의 시정수 T의 3배가 된다.

24. 그림 3.10감쇠비 ζ값에 따른 정착시간 ts

25.  ==> 시스템의 감쇠비 ζ는 0.4와 0.8 사이에 있는 것이 바람직 그림 3.11  단순 2차 시스템에서 감쇠비 ζ값에 따른 퍼센트 오버슈터와 최대값 시간

26. ● 시스템의 영점의 위치에 따른 과도응답 특성

27. ▶ 시스템의 대표극점(dominant pole) • 시스템 극점들 중에서 과도응답이 가장 오래 지속되어 시스템 응답에 지배적인 역할을 하는 극점이다. 대표극점은 일반적으로 s-평면상에서 가장 허수축에 가까이 있는 극점이 된다. • * 대표극점에 의한 응답이 시스템의 나머지의 극점들에 의한 응답보다 적어도 3배 이상 느리면 단순 2차 시스템에 대한 시간응답 특성을 고차 시스템에 대해서도 근사적으로 사용할 수 있다.  • 유수의 크기는 시스템의 극점 및 영점의 위치에 따라 결정된다. 시스템의 극점과 영점의 위치가 근접할수록 유수는 작아지게 된다. • ▶ 고차 시스템 G(s)에 대한 단위스텝응답의 일반적인 해 • (3.63)

28. 단위스텝입력(u(s)=1/s)을 가했을 때 출력 y(s)는 (3.64) 위 식을 역 Laplace 변환하여 시간역에서 출력 y(t)를 구하면 (3.65) 그림 3.13  고차 시스템에 대한 스텝응답의 예

29. 그림 3.14  s-평면상에서 극점의 위치에 따른 임펄스응답 그림 3.15 스텝응답 특성

30. 그림 3.15와 같은 경우의 시간응답은 지수함수의 합으로 표현될 수 있다. (3.66) 여기서, 는 최종 출력값을 의미하고, 라고 가정한다. 식 (3.66)에서 각 계수 A, B, C 와 를 구하기 위하여 우선 시스템의 과도응답에서 지배적인 역할을 하는 항 와 정상상태응답 만을 고려하고, 나머지 항들은 무시하기로 한다. 즉, (3.67) 혹은 (3.68)

31. 3.5.2  정상상태응답 폐루프 제어시스템의 오차신호 e(s)는 폐루프 제어시스템이 안정하다는 가정 아래서 최종값 정리(final value theorem)를 이용하여. 표 3.2  시스템 형태에 따른 정상상태오차

32. [예제 3.2] 다음 그림과 같은 비-단위 피드백 제어시스템에 대해 시스템의 형태(type)를 결정하고 적절한 정적오차상수와 단위스텝입력에 대한 피드백 제어시스템에 대한 정상상태오차를 구하기로 한다. 그림 3.21 비-단위 피드백 제어시스템 Sol)  이 시스템은 비-단위 피드백 제어시스템이므로 우선 그림 2.12와 같이 등가의 단위 피드백 제어시스템으로 변환한다. 이 때 등가의 플랜트 전달함수 Ge(s)는 다음과 같다.

33. 여기서, 따라서, 등가의 플랜트 전달함수 Ge(s)의 위치오차상수 Kp는 따라서 단위스텝입력에 대한 피드백 제어시스템의 정상상태오차 ess는

34. 3.6  특성방정식과 안정도 ▶ Lyapunov 방법: 선형 및 비선형 시스템에 대한 안정도 조사 ▶ 선형 시스템의 경우: 특성방정식의 근을 직접 조사하거나 특성방정식 의 근 중에서 양의 실수부를 갖는 근이 존재하는지를 판정하는 방법을 이용하여 시스템의 안정도를 조사하고 있다. ▶ 시스템의 안정도를 판별하기 위하여 전달함수 G(s)를 고려 (3.80) 단위스텝입력(r(s) = 1/s)을 가했을 때의 출력 y(s)를 생각하기로 한다 (3.81) 또한,  식 (3.81)을 다음과 같이 부분분수로 전개한다 (3.82)

35. 위 식을 역 Laplace 변환하면 출력 y(t)는 다음과 같다. (3.83) 여기서, us(t)는 단위스텝함수이다. 시스템의 안정도는 시스템의 극점, 즉 전달함수의 분모다항식 D(s)를 0으로 한 특성방정식의 근의 상태에 따라 결정된다는 것을 알 수 있다. (3.84) 결론적으로 시스템이 안정하기 위해서는 특성방정식의 근의 실수부가 모두 음수이어야 한다. 그림 3.23 σ 값에 따른 과도응답

36. 3.7 Routh 안정도 판별법 1)  우선 시스템이 안정하기 위한 필요조건인 특성방정식의 모든 계수  an, an-1, an-2, ⋯, a0가 같은 부호인지를 조사한다. 2)  Routh 배열을 정리해 배열의 첫 번째 열의 모든 계수가 같은 부호가 되어야 시스템이 안정하다는 필요충분조건을 만족   특성방정식 (3.84)의 계수 an, an-1, an-2, ..., a0에 대해 먼저,                 1행  an,  an-2,  an-4, ⋯                 2행  an-1, an-3,  an-5, ⋯ 으로 표시되는 배열을 만들고 다음의 계수들을 계산한다.

37. 이와 같이 b1, b2, b3, ⋯를 계산하여 이것을 3행으로 한다. 1행an an-2 an-4⋯ 2행an-1 an-3 an-5⋯ 3행b1 b2 b3 ⋯ 이 배열의 2행과 3행으로부터 를 계산하여 4행으로 한다. 이와 같은 방법으로 새로운 행을 계속 만들어 나간다. 새로 만들어진 행의 전부가 0이 될 때까지 일반적으로 n+1행까지 계산하여 다음과 같은 Routh 배열을 만든다.

38. Routh 배열 : 시스템이 안정하기 위해서는 특성방정식의 계수 an, an-1, an-2, ⋯, a0가 전부 같은 부호가 되어야 하고, 또한 완성된 Routh 배열에서 첫 번째 열의 계수 an, an-1, b1, c1, ⋯ 등이 전부 같은 부호가 되어야 한다.

39. [예제 3.4] Routh 안정도 판별법을 이용하여 다음 특성방정식의 안정도를 조사하기로 한다 Routh 배열:   Routh 배열의 첫 번째 열에서 부호의 변화가 두 번 있으므로, 특성방정식에서 두 개의 근이 양의 실수부를 갖게 되어 시스템은  불안정하다.

40. [예제 3.6] 다음 특성방정식의 안정도를 조사하기로 한다.  Routh 배열:  Routh 배열에서 s3 행의 모든 요소가 0이다. 이러한 경우는 모두 0이 나타나는 행의 바로 위에 있는 다항식을 s로 미분한 다항식의 계수로 대치한다. 이 예제에서는 다항식 P(s)와 P(s)를 s로 미분한 다항식        가 각각 다음과 같다.

41. 의 계수들을 s3행에 배열하여 새로운 Routh 배열을 만든다. 새로운 Routh 배열: 새로운 Routh 배열의 첫 번째 열에서 부호의 변화가 한 번 있으므로 한 개의 극점이 양의 실수부를 갖게 되어 시스템은 불안정하다.

42. [예제 3.8] 다음 특성방정식에서 시스템이 안정하기 위한 파라미터의 범위를 선정하기로 한다.   Routh 배열:  Routh 안정도 판별조건에 의하면 특성방정식의 계수가 같은 부호가 되어야 하므로 우선 K> 0이어야 하고 Routh 배열의 첫 번째 열이 같은 부호가 되어야 하므로 이어야 한다. 따라서 시스템이 안정하기 위해서는 K > 0.528 이어야 한다.

43. 3.8 MATLAB을 이용한 제어시스템 성능 및 안정도 평가 MATLAB과 SIMULINK를 이용하여 시스템의 성능 및 안정도를 평가하고 또한  시스템의 응답 특성을 컴퓨터 시뮬레이션 하는 방법 [예제 3.9] 다음과 같은 전달함수 G(s)로 표현되는 시스템의 안정도와 시간역 성능을 평가하기로 한다. 이 시스템은 에 극점이 있다. 시스템의 모든 극점의 실수부가 음수이므로 시스템은 안정하다.

44. 그림 3.24 의 단위스텝응답

45. MATLAB 프로그램 3.2는 시스템의 시간역 성능을 나타내는 시간응답에 관한 지수인 최대값 시간( tp), 퍼센트 오버슈트( P.O), 상승시간( tr ), 2% 정착시간( ts), 정상상태오차( ess)를 구하는 프로그램이다.

46. [예제 3.11] 그림 3.26은 1/4-차량시스템 모델의 개략도이다. 1/4-차량시스템 모델은 자동차의 네 바퀴 중 한 바퀴에 대한 모델이다. 시스템 파라미터들의 값은 다음과 같다. 그림 3.26 1/4-차량시스템의 모델의 개략도

47. Newton의 제 2 법칙을 이용하여 1/4-차량시스템의 운동방정식을 유도 이 시스템은 4차 시스템이므로 다음과 같이 상태변수를 선정 이 때, 1/4-차량시스템의 상태방정식은 다음과 같이 유도된다.

48. 혹은, 여기서, 그리고,        이다. 시스템행렬 A에 주어진 시스템 파라미터들의 값을 대입하면,

49. 그림 3.27 MATLAB을 이용한 1/4-차량시스템의 임펄스응답 선도