Vortrag über Fraktale
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Vortrag über Fraktale. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan. Inhalt: Was ist ein Fraktal? Einige Dimensionsbegriffe Iterierte Funktionensysteme L-Systeme Strange Attractors Julia-Mengen Die Mandelbrotmenge. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan.

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Presentation Transcript


Vortrag ber fraktale erik m ller sommerakademie ftan

Vortrag über Fraktale

Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan


Vortrag ber fraktale erik m ller sommerakademie ftan

  • Inhalt:

  • Was ist ein Fraktal?

  • Einige Dimensionsbegriffe

  • Iterierte Funktionensysteme

  • L-Systeme

  • Strange Attractors

  • Julia-Mengen

  • Die Mandelbrotmenge

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1 – Was ist ein Fraktal?

Benoit Mandelbrot:

Ein fragmentiertes geometrisches Gebilde, das in Teile zerlegt werden kann, die (nahezu) eine kleine Kopie des ganzen Gebildes sind.

Oder:

Eine Menge von Punkten heißt Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension ihre topologische übertrifft.

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1 – Was ist ein Fraktal?

Mathematischere Formulierung der Idee von Mandelbrot:

Ein Fraktal ist Attraktor eines iterierten Funktionensystems (IFS).

Beispiel:

Sierpinski-Dreieck zeichnen

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2 – Dimensionsbegriffe

2.1 Minkowski-Dimension

2.2 Box-Dimension

2.3 Hausdorff-Dimension

2.4 Packing-Dimension

2.5 Selbstähnlichkeitsdimension

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2 – Dimensionsbegriffe – Minkowski-Dimension

  • Vorteile:

  • leicht anschaulich zu verstehen

  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs

  • Nachteile:

  • Nicht immer eindeutige Dimensionszuweisung

  • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

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2 – Dimensionsbegriffe – Box-Dimension

  • Vorteile:

  • leicht anschaulich zu verstehen

  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs

  • Nachteile:

  • Keine eindeutige Dimensionszuweisung

  • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

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2 – Dimensionsbegriffe – Hausdorff-Dimension

  • Vorteile:

  • Eindeutige Dimensionszuweisung

  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs

  • Abzählbare Stabilitätseigenschaft

  • Nachteile:

  • I.A. sehr schwer zu berechnen

  • Bemerkung: Es gilt

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2 – Dimensionsbegriffe – Packing-Dimension

  • Vorteile:

  • Eindeutige Dimensionszuweisung

  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs

  • Abzählbare Stabilitätseigenschaft

  • Nachteile:

  • I.A. sehr schwer zu berechnen

  • Bemerkung: Es gilt

  • Weiterhin:

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2 – Dimensionsbegriffe – Selbstähnlichkeitsdimension

  • Vorteile:

  • Eindeutige Dimensionszuweisung

  • Verallgemeinerter normaler Dimensionsbegriff

  • Einfachste Berechnung

  • Nachteile:

  • I.A. keine sehr große Aussagekraft

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3 – Iterierte Funktionensysteme

  • Satz: Zu jedem IFS existiert genau ein nicht-leerer kompakter Attraktor.

  • Dieser lässt sich sich durch folgende Algorithmen zeichnen:

  • Der Mehrfachverkleinerungskopiermaschine

  • Das Chaos Game

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3 – Iterierte Funktionensysteme

  • Die Mehrfachverkleinerungskopiermaschine:

  • Man starte mit beliebiger nicht-leerer Teilmenge V(0)

  • .

  • Bei hinreichender Genauigkeit stoppe man.

  • Nachteile:

  • - Nahezu nur rekursiv vernünftig programmierbar

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3 – Iterierte Funktionensysteme

  • Das Chaos-Game:

  • Man starte mit beliebigem Punkt

  • Man wähle unter den Zahlen 1,..,n unter Gleichverteilung unabhängig von den bisherigen Wahlen eine Zahl aus.

  • Man setze und zeichne:

  • Man stoppe bei vorher festgelegter Schranke

  • Bemerkungen:

  • Man sollte erst ab einer Schranke anfangen zu zeichnen

  • Anstelle der Gleichverteilung kann man irgendeine Verteilung nehmen, die allerdings die ganze Menge als Träger haben muss

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3 – Iterierte Funktionensysteme

  • Fazit:

  • Attraktoren von IFS sind fraktale Strukturen, deren Informationen sämtlich in den Funktionen gespeichert sind

  • Bemerkung:

  • Erfüllt das IFS die offene Menge Bedingung, dann gilt für den Attraktor C des IFS und für die Ähnlichkeitsdimension s: s = dim C.

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4 – L-Systeme

  • L-Systeme bestehen aus einem Urahn und Axiomen, was sich aus diesen im nächsten Zeitschritt entwickelt (siehe etwa die MVKM).

  • Beispiel (Cantorsche Menge):

  • Reduktion der Information auf Urahn und Axiome.

  • Baumstruktur  Baumfraktale

  • Möglichkeit der stochastischen Auswahl der angewandten Vererbungsregeln

  • Möglichkeit der sukzessiven Erschaffung von komplexen Gebilden: (Büschen, Landschaften)

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5 – Strange Attractors

  • Versuch einer Definition:

  • Eine beschränkte Menge A ist ein chaotischer und seltsamer Attraktor der Transformation T, wenn eine Menge R mit den folgenden Eigenschaften existiert:

  • R ist eine Umgebung von A. R ist ein Gefangenenbereich. A ist in R attraktiv.

  • Bahnen in R hängen sensitiv von den Daten ab

  • A hat eine fraktale Struktur

  • A kann nicht in zwei verschiedene Attraktoren aufgespalten werden, d.h. es gibt Anfangspunkte aus R, deren Bahnen jedem Punkt von A beliebig nahe kommen.

  • Probleme:

  • Definition kaum beweisbar für spezielle Strukturen

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5 – Strange Attractors

  • Beispiele für diskretes Erzeugungsgesetz:

  • Newton-Approximation der Nullstellen im Komplexen von

  • Henon-Attraktor

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5 – Strange Attractors

  • Beispiel für stetiges Erzeugungsgesetz:

  • Lorenz-Attraktor:

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6 – Julia Mengen

Definition: Eine Julia-Menge J im weiteren Sinne zu einer Funktion

Ist definiert durch:

Definition: Eine Julia-Menge J(c) ist eine Julia-Menge i.w.S. für:

Man kann zeigen, dass es bei Julia-Mengen genügt zu zeigen, dass gilt:

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6 – Julia Mengen

  • Julia-Mengen sind entweder zusammenhängend oder Punktwolken

  • Möglichkeit der schrittweisen Einkreisung der Gefangenenmenge

  • Auch den Rand der Gefangenenmenge nennt man Julia-Menge

  • Die Invertierung von f liefert für den Rand oft ein IFS, so dass der Attraktor des IFS eben die Julia-Menge darstellt

  • Ist 0 in der Gefangenenmenge der Julia-Menge, dann ist J zusammenhängend

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7 – Die Mandelbrotmenge

  • Definition: Mandelbrotmenge M

  • Man kann die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis sehen, d.h. die Struktur der zugehörigen Juliamenge wird im gewissen Maße induziert von der Lage des Punktes in der Mandelbrotmenge

  • Man kann Mandelbrotmengen natürlich im weiteren Sinne für andere f in Abhängigkeit von einem komplexen Parameter c definieren.

Starte Fractint

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Quellen

  • An introduction to fractals, Paul Bourke, 1991, http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro

  • Fractal Geometry, Paul Mörters, Basierend auf Vorlesung WS 2000/2001, http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/fract.ps

  • Bausteine des Chaos: Fraktale, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1992

  • Chaos: Bausteine der Ordnung, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1994

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