1 / 19

Mapa conceptual de Álgebra II

Mapa conceptual de Álgebra II. Problema a resolver al final del curso. Se tiene un terreno rectangular y se quiere construir una pileta en forma de elipse cuyo eje no sea paralelo los lados del terreno. Parte del Mapa Conceptual de Álgebra I. Espacios vectoriales .Definición.

eve
Download Presentation

Mapa conceptual de Álgebra II

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Mapa conceptual de Álgebra II

  2. Problema a resolver al final del curso • Se tiene un terreno rectangular y se quiere construir una pileta en forma de elipse cuyo eje no sea paralelo los lados del terreno

  3. Parte del Mapa Conceptual de Álgebra I

  4. Espacios vectoriales .Definición Sea V un conjunto cuyos elementos se llamarán vectores Se definen dos operaciones : Suma de vectores → cada par de vectores u,vle corresponde otro vector u +v Producto de un vector por un escalar → Dado k (nro.real o complejo) y un vector u le corresponde otro vector k.u

  5. Propiedades de la suma • S1 ) Si u є V , v є V → u+v є V ( cerrada ) • S2) u + v = v+u , para todo u,v є V ( conmut.) • S3 ) (u +v) +w = u+(v+w) (asociativa) • S4) Existe elemento neutro para la suma o sea existe 0 єV , tal que 0+u=u para todo u є V • S5) Para todo u є V existe el vector inverso designado por -u que cumple u+ (-u) =0

  6. P1) Para todo perteneciente a V k. Propiedades del producto • P1) Para todo uєV → k.u є V (cerrada) • P2) Para todo u є V →1.u =u • P3) (k1.k2 ).u = k1.(k2 .u ) (asociativa) • P4 ) (k1+k2 ).u = k1.u+k2.u (distributiva) • P5) k.(u+v) = k.u+k.v (distributiva)

  7. Proposiciones • a)El 0 ,elelemnto neutro para la suma es único • b) Dado 0  R y dado cualquier uV , se cumple que 0.u =0v • c) Dado 0v el elemento neutro de un e.v. V y dado cualquier a R , se cumple a.0v = 0v • d) Para todo u V , -1.u = -u

  8. Subespacio . Definición • Un subconjunto S no vacío de V es un subespacio de V → la suma y el producto definidas en V estructuran también a S como un espacio vectorial .

  9. Propiedades necesarias para que S V (e.v.) sea subespacio • a) Si c) 0v S

  10. Definiciones • Combinación lineal : Un vector v  V es combinación lineal de los vectores v1,v2,…vk si existen escalares 1,.. ..k tal que v = 1v1+ …..kvk • Sistema de Generadores : Un conjunto de vectores M = {v1 ,….vn } tal que vi  V (e.v.) genera al espacio V si y sólo si para todo xV , x = 1v1+ …..nvn

  11. 3 . Conjunto de vectores linealmente dependiente o linealmente independiente Sea M ={ v1,v2 ,….vk } un conjunto de vectores tal que vi V (e.v.) y sea v11+ ….vkk = 0 (una com-binación lineal de dichos vectores igualada a 0) entonces nos queda formado un sistema de ecuaciones homogéneo que puede tener  soluciones  M es un conjunto linealmente dependiente solución única  M es un conjunto linealmente independiente .

  12. 4. Sea V e.v. y B= { vi } i=1..n / viV para todo i. Decimos B es una base de V si cumple dos condiciones : a) B es un conjunto l.i. b) B es un sistema de generadores de V Ejemplo : Base canónica • Rn : (1,0,…0) , (0,1,0…),(0,…1) • Rnxm (por ejemplo 2x3) ……… • Pn ………………

  13. 5. Coordenadas de un vector respecto de una base : Sea B = { ei } i=1…n una base de V e.v. y un vector x V , entonces a los escalares i / x= 1e1+….. nen se los llama coordenadas de un vector respecto de la base B.

  14. Proposiciones • Para todo x V e.v. existen coordenadas respecto de una base b)Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas c) Si un espacio vectorial tiene una base de n elementos , entonces cualquier conjunto de n+1 elementos es un conjuno l.d. d) Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos

  15. Definición 6. Dimensión de un espacio vectorial V : Es el número de elementos que contiene una base de V

  16. Proposiciones e) En un e.v. V / dim V =n , n vectores l.i. pertenecientes a V determinan una base de V f) En un e.v. V / dim V =n si n vectores pertenecientes a V son un S.G. de V , entonces son una base de V

  17. Definiciones Dados dos subespacios S y T de V e.v. podemos definir : • Intersección  S T= { x V / xS y x T} • Unión  ST={ xV / xS ó xT } • Suma  S+T = { xV / x=a+b con aS,bT } • Suma directa  S T = S+T con S T={ 0 }

  18. Proposiciones • Teorema de la dimensión de suma de subespacios : Si S y T son subespacios de V e.v. ,tal que dimV es un número finito ,entonces dim(S+T) = dim(S) + dim( T) –dim (S T)

More Related