REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y

1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONESPARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y CONTÍNUAS Enrique Chicurel-Uziel

2. J. W. Gibbs 1839-1903 MOTIVACIÓN Cuando una funcióndiscontínua se expande en seriesdeFourier, aparecen oscilacionesespurias en lospuntos de discontinuidad introduciendo un error de 9% queno disminuye por más que se aumente el número de términos de la serie. Esto se conoce como el fenómeno de Gibbs. J. Fourier 1768-1830

3. Sin embargo… 1913, L. Fejér, desarrolla su método de promedios. 1913 a la fecha, Muchos investigadores proponen una gran variedad de métodos que van disminuyendo la gravedad de los efectos del fenómeno de Gibbs. 1942,G. C. Danielson, C. Lanczos, método de factores σ, muy citado por investigadores posteriores. Hacia 1990 surge un grupo encabezado por D. Gottlieb en la Universidad de Brown que, entre otros métodos, propone uno que utiliza los polinomios de Gegenbauer. 2003, Aparece el artículo: B. D. Shizgal, Jae-Hun Jung, Towards the resolution of the Gibbs Phenomena, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 161, No. 1, 2003, pp. 41-65. que utiliza el método inverso de los polinomios de Gegenbauer. Durante un tiempo se consideró que el problema del fenómeno de Gibbs había quedado totalmente resuelto por este método. 2005, Aparece el artículo: J.P. Boyd, Trouble with the Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs´ phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial approximations, Journal of Computational Physics, Vol.204, No.1, 2005, pp. 253-264 que señala serias limitaciones del método de los polinomios de Gegenbauer

4. En todos los métodos anteriores primero se establece la serie de Fourier y después, la misma, se reconstruye. Es decir que se trata de un post procesamiento. En este trabajo se utiliza un enfoquetotalmente diferente.

5. Si el problema es la discontinuidad, eliminémosla pero, sin alterar las características básicas de la función

6. Escalón unitario de Heaviside O. Heaviside 1850-1925 h(x,a) = 0 x < a h(x,a) = 1 x ≥ a h(x,a) se utilizará como un “switch” para prender o apagar funciones

7. Ejemplo: funciónDISCONTíNUA y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2 3 ≤ x<7 y(x) = 4 7 ≤ x < 11 Se puede representar con una sola ecuación: y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)

8. Vínculos Para darle existenciaanalítica a losvínculos recurrimos a la PARAMETRIZACIÓN

9. El parámetro ues ladistancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas: desplazamientosen x de las funcionescomponentes más desplazamientos en y de los vínculos ° u=6 u=10 . u=2 u=6 u=0

10. Establecimiento gráfico de las funciones paramétricas Coordenada vs parámetro, C vs P x(u) Función vinculada e f y(x) c d u=6 a b 2 6 12 16 y(u) u=16 c u=12 u=2 u=6 e d u=20 b a f 2 6 16 12 Funciones paramétricas CONTÍNUAS

11. Graficación de las ecuacionesparamétricas para checar la validez de las mismas Establecimiento analítico de las ecuaciones paramétricas ECUACIONES PARAMÉTRICAS CONTíNUAS obtenidas a partir de las gráficas C vs P Gráficas de Coordenadas vs. parámetro, C vs P Se obtiene la función vinculada, por lo tanto,las ecuacionesparamétricas están correctas.

12. Expansión directa en series de Fourier 10 términos 30 términos 100 términos Viciada por el fenómeno de Gibbs, i.e.,oscilacionesespurias en los brincos Error = 9% por más términos que tenga la serie Expansión paramétrica en series de Fourier No hay oscilacionesespurias, i. e., no hay fenómeno deGibbs Convergencia más rápida Ascenso y descenso verticales

13. Con la parametrización,primero se modifica la función original, después se establece la serie de Fourier. Se trata de un preprocesamiento. El fenómeno de Gibbs no se eliminó, sino que, simplemente, nunca surgió.

14. Se agradecen las revisiones de la presentación por parte de: Carlos Gómez Paco Godínez

15. estoica Gracias por su atención.