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第二章 矩阵

第二章 矩阵. § 1 矩阵及其运算. 一、 矩阵的概念 二、矩阵的运算. 目的地. A B C D. √. A B C D. 其中 √ 表示有航班. √. 始发地. √. √. √. 一、矩阵的概念. 1 、矩阵概念的引入. B. 例 某航空公司在 A 、 B 、 C 、 D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地. C. A. 城市间的航班图情况常用表格来表示 :. D. √. √.

evan
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Presentation Transcript

  1. 第二章 矩阵

  2. §1矩阵及其运算 一、矩阵的概念 二、矩阵的运算

  3. 目的地 A B C D √ A B C D 其中√ 表示有航班 √ 始发地 √ √ √ 一、矩阵的概念 1、矩阵概念的引入 B 例某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地. C A 城市间的航班图情况常用表格来表示: D √ √

  4. A B C D √ √ A B C D √ √ √ √ √ 为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表： 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.

  5. 例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为： 其中aij表示工厂向第i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1表示第i 种货物的单价， bi 2表示第i 种货物的单件重量．

  6. 2、矩阵的定义 定义1由m×n个数 排成的m行n列的数表 称为m 行n 列矩阵，简称m×n 矩阵． 记作

  7. 简记为 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

  8. 行列式 矩阵 • 行数等于列数 • 共有n2个元素 • 行数不等于列数 • 共有m×n个元素 • 本质上就是一个数表

  9. 3、特殊的矩阵 • 行数与列数都等于n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 . • 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . • 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . • 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O. 例如：

  10. 形如 的方阵称为对角阵． • 特别的，方阵 称为单位阵． 记作 记作 ．

  11. 同型矩阵与矩阵相等的概念 • 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 例如 为同型矩阵. • 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 • 素相等，即 • 则称矩阵 A与B相等，记作 A = B.

  12. 对应 例 线性变换 称为恒等变换. 单位阵En

  13. 对应 对应 例2阶方阵 例2阶方阵 投影变换 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换

  14. 二、矩阵的运算 引例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示： 其中aij表示上半年工厂向第i 家 商店发送第j 种货物的数量． 其中cij表示工厂下半年向第i 家 商店发送第 j种货物的数量． 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．

  15. 解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量

  16. 1、矩阵的加法 定义2 设有两个m×n矩阵A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵A 与B 的和记作A＋B，规定为 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

  17. 知识点比较

  18. 矩阵加法的运算规律 设A、B、C 是同型矩阵 设矩阵A = (aij) ，记－A= (－aij)，称为矩阵A 的 负矩阵．显然

  19. 引例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：引例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表： 其中bi 1表示第i 种货物的单价， bi 2表示第i 种货物的单件重量． 设工厂向某家商店发送四种货物各l 件，试求：工厂向该商 店发送第j 种货物的总值及总重量．

  20. 解：工厂向该商店发送第j 种货物的总值及总重量 其中bi 1表示第i 种货物的单价， bi 2表示第i 种货物的单件重量．

  21. 2、数与矩阵相乘 定义3 数l 与矩阵A的乘积记作l A或Al，规定为

  22. 数乘矩阵的运算规律 设A、B是同型矩阵， l,m是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为 矩阵的线性运算.

  23. 知识点比较

  24. 引例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物引例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为： 其中aij表示工厂向第i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1表示第i 种货物的单价， bi 2表示第i 种货物的单件重量． 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．

  25. 解： 其中bi 1表示第i 种货物的单价， bi 2表示第i 种货物的单件重量． 其中aij表示工厂向第i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 以ci1， ci2分别表示工厂向第i 家商店所发货物的总值及 总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是

  26. 一般地， 可用矩阵表示为

  27. 3、矩阵与矩阵相乘 定义4 设 ， ，那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个m×n 矩阵 ，其中 并把此乘积记作 C = AB．

  28. 求AB. 例1 设 解：

  29. 知识点比较 有意义. 只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 没有意义.

  30. 例2 求AB和BA. • 结论： • 矩阵乘法不一定满足交换律. • 矩阵 ，却有 ， • 从而不能由 得出 或 的结论．

  31. 矩阵乘法的运算规律 (1)乘法结合律 (2)数乘和乘法的结合律（其中l是数） (3)乘法对加法的分配律 (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即 纯量阵不同于对角阵 推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的.

  32. (5)矩阵的幂若 A 是 n 阶方阵，定义 显然 思考：下列等式在什么时候成立？ A、B可交换时成立

  33. 4、矩阵的转置 定义5 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT. 例3

  34. 转置矩阵的运算性质

  35. 解法1 例4 已知

  36. 解法2

  37. 定义 设 A为 n阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称阵. 如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵

  38. 例5 设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn)T满足 X TX = 1，E为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明H 是对称阵，且 HHT = E. 证明： 从而H 是对称阵．

  39. 5、方阵的行列式 定义6 由n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作|A|或detA. 运算性质

  40. 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 定义7 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵 称为矩阵A 的伴随矩阵. 定理1

  41. 定理1 证明

  42. 6、共轭矩阵 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记　　　　， 称为 的共轭矩阵. 运算性质 （设A，B为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：

  43. 作 业 P21 1.（2）; 2.（2）; 4.（2）；

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