Przewodzenie cieplne dla kuli

1. Przewodzenie cieplne dla kuli Przygotowali : Grzegorz Buturyn Maciej Matys

2. Prawo Fouriera Gęstość przewodzonego strumienia ciepła jest wprost proporcjonalna do natężenia pola temperatury E, określonego przez wielkość gradientu temperatury

3. Równanie przewodzenia ciepła

4. Równanie przewodzenia cieplnego we współrzędnych sferycznych

5. Rozpatrujemy przewodzenie w kuli przy symetrycznym polu temperatury ( T = T(r ,t) ) i przepływ ciepła jest jednowymiarowy opisany równaniem : Dla

6. Warunki brzegowe : • Warunki początkowe :

7. Stosujemy metodę rozdzielenia zmiennych do równania przewodności cieplnej : W wyniku tego otrzymujemy :

8. Dostajemy dwa równania : Z fizycznego punktu widzenia znak przy stałej λ musi być ujemny bo przy t - ∞ ciało dąży do stanu równowagi ustalając pewną skończoną temperaturę.

9. Rozwiązanie równań : Podstawiając do równania : Otrzymujemy :

10. Rozwiązanie szczególne przedstawia funkcja : Przy założeniu, że , wartość temperatury T(0,t) jest skończona, więc rozwiązanie musi być w postaci ( D=0 )

11. Dla uproszczenia zakładamy : Z warunku brzegowe otrzymujemy :

12. Otrzymujemy dla tego założenia równanie charakterystyczne : które spełnia ciąg nieskończony : Ogólne rozwiązanie przedstawia funkcja :

13. Wykorzystując warunek początkowy do ogólnego rozwiązania otrzymujemy :

14. Wymnażając obustronnie równanie przez i całkując w przedziałach od 0 do R otrzymujemy:

15. Def. Ciąg funkcyjny (fn) całkowalnych w [a,b] nazywamy • ortogonalnym jeśli : oraz • Def. Jeśli (fn) jest ciągiem ortogonalnym w [a,b],a to szereg jest szeregiem ortogonalnym w [a,b]

16. Dla dostajemy : • Dla n = m dostajemy :

17. Po wykorzystaniu ortogonalności funkcji sinus przy warunku dostajemy : Tak więc ogólne rozwiązanie przyjmuje postać

18. W przypadku jednorodnego rozkładu temperatury dla t = 0 gdy f(r) = T0 = const stąd

19. Natomiast gdy Tα≠ 0 otrzymujemy równanie :

20. Zależność temperatury od pola powierzchni i objętości Wstawiając otrzymujemy zależność od pola powierzchni S=4πR2

21. Zależność od objętości : V -

23. Koniec