Introdução à solução de equações diferenciais ordinárias

1. Introdução à solução de equações diferenciais ordinárias Pontos mais importantes: - motivação, classificação de equações diferenciais - método de Euler - métodos de Runge-Kutta de segunda ordem (Huen e “Midpoint”) - método de Runge-Kutta de quarta ordem - caso especial: método de Crank-Nicolson 1

2. As leis fundamentais da natureza são baseadas em observações e são expressas por equações diferenciais. Exemplo: segunda lei de Newton: A equação anterior chama-se equação diferencial porque é composta por uma variável dependentee a respectiva derivativa em função da variável independente. Para obter v, a equação tem que ser integrada! 2

3. . T Ts=T . . . . ms = me me Qint Qext Te . Y = = f (t , T ) outro exemplo: depósito com entrada e saída de massa (igual caudal), podendo haver trocas de energia com o ext. e fontes int. Y= T( t )

4. -ordem da equação diferencial: -primeira ordem -segunda ordem -linearidade: -linear (Poisson) -não linear Só em casos simples podemos resolver equações diferenciais não lineares analiticamente! 4

5. sabe-se y’ = f (x, y) , conds. iniciais: (xo , yo ) ou (xo , y’o ) pretende-se y = F (x) conj. pontos (xi , yi ) solução y=F(x) Solução: yi+1=yi+fxx=xi+1-xi Nova estimativa = estimativa anterior + declive  passo 5

6. y y = F(x) yi+1 e yi x xi xi+1 Dx Método de Euler • método de 1ªordem (1 estimativa • f em cada passo) • o erro local é da ordem de Dx2 do desenvolvimento em série de Taylor : 6 • o erro global vai-se acumulando ( ~ x)

7. 3 l/min T T V=100 l 3 l/min 20ºC exemplo : Solução analítica: Método de Euler(t=4 min): 7

8. Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem -aplicando a expansão de Taylor (sem prova), obtemos: f=(a1k1+a2k2) então, yi+1=yi+(a1k1+a2k2)×x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+p1 x, yi+q11k1 x) Três equações 4 incógnitas um grupo de métodos -constantes a1, a2, p1 e q11 são para determinar Uma constante (a2) é escolhida “arbitrariamente”. 8

9. y = F(x) y yi+1 xi+1 yi x xi Método de Heun (Euler melhorado) (a2=0,5) yi+1=yi+(0.5k1+0.5k2)×x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+x, yi+k1x) declive médio das tangentes em xi e xi+1 • método 2ªordem (2 estimativas f /passo) Nota: idêntico à solução de Euler • o erro local é da ordem de Dx3 9

10. 3 l/min T T V=100 l 3 l/min 20ºC exemplo : Solução Heun : Método de Heun (t=4 min):

11. y = F(x) yi+1 y xi+1 xi+Dx/2 yi x xi Método de “Midpoint” (Euler modificado) (a2=1) yi+1=yi+k2x onde, k1=f(xi, yi) k2=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k1x) declive da tangente no ponto médio • método 2ªordem (2 estimativas f /passo) • o erro é da ordem de Dx3 11

12. 3 l/min T T V=100 l 3 l/min 20ºC exemplo : Solução “Midpoint” : Método de Midpoint (t=4 min): 12

13. Métodos de Runge-Kutta de quarta ordem (4 avaliações da f/passo) yi+1=yi+1/6(k1+2k2 +2k3 +k4)x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+0.5x, yi+0.5 k1x) k3=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k2x) k4=f(xi+ x, yi+k3x) 13

14. 3 l/min T T V=100 l 3 l/min 20ºC exemplo : Solução RK4 : t=4 min: 14

15. y = F(x) yi+1 y yi+yi+1 2 xi+1 yi x xi Caso especial: método de Crank-Nicolson se y’ = f ( y ) ex: dT/dt = f (T) declive da tangente para y médio semi-implícito • método 1ªordem com precisão equivalente a 2ª 15

16. 3 l/min T T V=100 l 3 l/min 20ºC Solução Crank-Nicolson : t=4 min): 16

17. Comparação dos métodos 17