מתמטיקה בדידה הרצאות 9+10 פרופסור מיכאל טרסי , ד"ר נועם סולומון, אוניברסיטת תל-אביב

1. מתמטיקה בדידההרצאות 9+10פרופסור מיכאל טרסי, ד"ר נועם סולומון,אוניברסיטת תל-אביב

2. פונקציות • יחס R מקבוצה A לקבוצה B ייקרא מלא אםם • יחס R מקבוצה A לקבוצה B ייקרא חד-ערכי (או פונקציה חלקית) אםם

3. האם היחס הזה חד-ערכי/מלא?

4. כן. גם וגם. • ומה לגבי:

5. מלא. לא חד ערכי.

6. דוגמא ליחס לא חד ערכי ולא מלא

7. בדומה גם יש דוגמאות ליחס שהוא כן חד ערכי ולא מלא.

8. אבחנות: • יחס מלא מ-A ל-Bאםם לכל איבר של A יש לפחות איבר אחד ב-B שמתאים לו. • יחס חד-ערכי (פונקציה חלקית) אםם לכל איבר של A יש לכל היותר איבד אחד ב-B שמתאים לו.

9. "דוגמאות מהחיים" • קבוצת בנות, A, הייתה במסיבה ובה קבוצת בנים, B. • בסוף המסיבה הגיע מנחה (מפוקפק משהו) וביקש מכל בחורה לסמן (או להצביע) על בחור אחד שמצא חן בעיניה ביותר מבין כל הבנים ב-B. • באיזה סוג יחס מדובר?

10. נשים לב שייתכן שהיו בחורות ב-A שאף בחור לא מצא חן בעיניהן. • (או לחילופין שיש להן חבר..). • אותן בחורות לא יצביעו על (ולא יסמנו) שום בחור. • לכן היחס אינו מלא. • האם היחס חד-ערכי?

11. כן, מכיוון שלבחורה ניתנה האפשרות להצביע על בחור יחיד.

12. דוגמא נוספת מהחיים • קבוצת אנשים A נמצאת בסופר-מרקט. • מתוך סל מוצרים B (ובו למשל ביצים, גבינות, לחם, חומוס וכדומה) כל אחד בוחר את רשימת המוצרים אותה הוא מתכוון לרכוש. • היחס שנקבל הוא יחס שאינו חד-ערכי. (שכן אדם אחד יכול לרכוש מספר מוצרים שונים). • מכיוון שאדם רשאי לצאת מהסופר-מרקט מבלי שרכש דבר (אם למשל, שכח את הארנק), היחס גם אינו בהכרח מלא.

13. טענה: • יהיו S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C. אזי • 1. אם R,S מלאים אז כך גם . • 2. אם R,S חד-ערכיים אז כך גם • הוכחה: • 1. מכך ש-S מלא נסיק

14. מכך ש-R יחס מלא נסיק • אנו רוצים להוכיח • אם כן, יהי כלשהוא.

15. לפי (*), קיים כך ש- . לפי (**) קיים כך ש- . • לפי הגדרת ההרכבה, נסיק כי , וזה מה שהיה להוכיח.

16. 2. מכך ש-S חד-ערכי נסיק כי • מכך ש-R חד-ערכי נסיק כי

17. יש להוכיח כי • יהיו, אם כן, כך שמתקיים • לפי הגדרת ההרכבה, קיימים כך שמתקיים

18. מ-(*) נובע ש- . מ-(**) נובע ש- . (מדוע?) • זה מה שהיה צריך להוכיח.

19. פונקציות • הגדרה: יחס חד-ערכי ומלאנקרא פונקציה. • ובכתיב מלא: יחס R מ-A ל-B נקרא פונקציה אםם • פונקציה מ-A ל-Bאםם לכל איבר של A יש בדיוקאיבר אחד ב-B שמתאים לו.

20. למשל, הפונקציה מקבוצת האנשים לקבוצת הגברים המתאימה לכל אדם את אביו. • למשל, פונקציה מקבוצת האנשים בישראל לקבוצת המספרים בני 10 ספרות עשרוניות, המתאימה לכל אדם את מספר תעודת הזהות שלו (כולל ספרת הביקורת).

21. תהי f פונקציה מ-A ל-B. • עבור איבר . לאיבר היחיד • המקיים נסמן ב- • ובכתיב מתמטי: • הקבוצה A תיקרא התחום של f, ותסומן • Dom(f). • הקבוצה B תיקרא טווח של f.

22. הערות: • ניתן להגדיר את התחום גם כך: • יכולים להיות הרבה טווחים ל-f . B הינו טווח ל-f אם מתקיים

23. התמונה של פונקציה • אם f היא פונקציה, אז התמונה שלה מוגדרת כך: • האם התמונה הינה טווח ל-f?

24. כן! ולא סתם טווח, היא הטווח המינימלי. • כלומר, B הוא טווח ל- fאםם מתקיים:

25. דוגמא: • נשים לב שכל קבוצה המכילה את {2,3,4} הינה טווח אפשרי ל-f.

26. דוגמאות • היא פונקציה מ-R ל-R. • מה לגבי? • ומה לגבי?

27. הערות • הסימון אינו מגדיר פונקציה. • ניתן להגדיר את הפונקציה f מ-R ל-R כך ש- • זו כתיבה מעט מסורבלת, אך חוקית מבחינה מתמטית.

28. ייצוגים: • אם נראה את המישור הממשי כמייצג זוגות של מספרים אז פונקציה מ-R ל-R היא מה שקראנו באינפי ובקורסים אחרים הגרף של הפונקציה.

29. האם הינה פונקציה? • אם כן, מהו התחום והתמונה שלה. • אם לא, הסבירו מדוע.

30. כן, זוהי פונקציה מ- ל- . • לכל איבר x ששונה מאפס, הפונקציה מתאימה את הערך . • מהי התמונה של פונקציה זו? • התמונה היא . הוכיחו זאת כתרגיל!

31. מתי שתי פונקציות שוות?עקרון האקסטנציונליות לפונקציות: • טענה: תהיינה פונקציות. אזי מתקיים: • הוכחה: נניח . אזי • כעת, יהי . אזי גם

32. ובנוסף מתקיים • ולכן מכך ש- חד-ערכית (כי היא פונקציה), נובע כי .

33. הכיוון ההפוך • נניח • יהי . אזי כאשר . מהנתון נובע כי כלומר ולכן . מסקנה . כנ"ל מראים גם ש- . מש"ל.

34. כתיב למדא ( ) • את הפונקציה • נגדיר כך • זהו אופרטור קשירה. מיד לאחר הסימון למדא מופיע המשתנה ולאחריו מצוין מה הטיפוס שלו (במקרה הזה ממשי). לאחר הנקודה מצוין מה הערך שהפונקציה מחזירה (כתלות במשתנה).

35. את הפונקציה • נגדיר כך

36. איך מחשבים את הערך המוחזר על ידי פונקציה – כלל לפונקציות • בהינתן פונקציה המוגדרת באמצעות סימון למדא: • ובהינתן ערך , מתקיים • כאשר ביטוי חופשי להצבה ב-t במקום x. • (נבהיר את המשמעות של זה בהמשך).

37. דוגמאות • 1. • 2.

38. (ראו בספר עמוד 105) • דוגמא: • דוגמא:

40. ומה לגבי • נשים לב שהביטוי איננו חופשי להצבה בביטוי • במקום x. • הסיבה היא שהמשתנה y נקשר באמצעות אופרטור האינטגרציה, ובטווח הקשירה שלו x חופשי. כלומר y+1 אינו חופשי להצבה במקום x

41. שימו לב: מה זה אומר להיות "חופשי להצבה"? הדבר מפורט בעמוד 51 בספר יחד עם דוגמאות. • בהינתן ביטוי למדא: מותר להציב עבור משתנה שקשור על ידי ביטוי למדא, ערך (או ביטוי המערב את) כאשר בטווח הקשירה של ביטוי הלמדא, אין מופע חופשי של בתוך טווח קשירה של אופרטור הקושר את .

42. נחזור לשאלה- • פתרון:

43. דוגמאות נוספות • הסימון: מגדיר תבנית פונקציה. בהגדרה זו חופשי ומשמש כפרמטר. לכל ערך שלו מתקבלת פונקציה. • נסמן פונקציה זו ב- • האם חוקי לחשב ? • האם מתקיים ?

44. לגבי - כן, מותר להציב היות ו-x אינו נקשר על ידי אופרטור הקושר את . • מצד שני, לא מתקיים כלל אלפא, שכן מופיע חופשי בתוך טווח הקשירה של ביטוי הלמדא, ולכן:

45. תזכורת לכלל • בהינתן ביטוי מתמטי: מותר להחליף משתנה שקשור על ידי אופרטור קשירה במשתנה כאשר מתקיימים התנאים הבאים: • 1. אין מופע חופשי של בטווח הקשירה של אופרטור זה. (זה, למשל, אסור) • 2. בטווח הקשירה של אופרטור זה, אין מופע חופשי של בתוך טווח קשירה של אופרטור הקושר את . למשל, זה אסור

46. דוגמאות נוספות • הסימון: מגדיר תבנית פונקציה. בהגדרה זו חופשי ומשמש כפרמטר. לכל ערך שלו מתקבלת פונקציה. • מה לגבי: ? • ומה ההבדל בינה ובין ?

47. אם נסמן • אזי h הינה פונקציה בשני משתנים ( ) • אפשר למשל לחשב

48. לעומתה, הסימון • מגדיר את g כפונקציה של משתנה אחד x. • הערך g(x) הינו פונקציה(!) • נשים לב, למשל, ש-

49. אפשר לחשב גם

50. סימון מקובל • עבור קבוצות B,A נסמן ב- את אוסף הפונקציות מ-A ל-B.