数学中的动 点 问 题 探 究
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数学中的动 点 问 题 探 究. 店口二中 寿春锋. 动点题并不可怕,需要有信心! 图形中的点、线运动,构成了数学中的一个新问题 ---- 动态几何。它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时,要充分发挥空间想象的能力,不要被“动”所迷惑,而是要在“动”中求“静”,化“动”为“静”,抓住它运动中的某一瞬间,寻找 确定的关系式 ,就能找到解决问题的途径。. 小试牛刀. 1 、已知:直角坐标系中 A ( 5 , 3 ), B ( —3 , 3 ),在 X 轴上有一动点 P ,求 AP+BP 的最小值.

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Presentation Transcript


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数学中的动 点 问 题 探 究

店口二中 寿春锋


4251244

动点题并不可怕,需要有信心!

图形中的点、线运动,构成了数学中的一个新问题----动态几何。它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时,要充分发挥空间想象的能力,不要被“动”所迷惑,而是要在“动”中求“静”,化“动”为“静”,抓住它运动中的某一瞬间,寻找确定的关系式,就能找到解决问题的途径。


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小试牛刀

1、已知:直角坐标系中A(5,3),B(—3,3),在X轴上有一动点P,求AP+BP的最小值.


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2、如图,已知抛物线: y=—0.25x2+o.5x+2 与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标。

H(1,1.5)

H

D


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3、如图在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则 △PBQ 周长的最小值 (结果不取近似值)。

A D

P

B Q C


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4、如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

问题情景

(1)点P从点A沿AB边向点B运动,速度为1cm/s。

若设运动时间为t(s),连接PC,当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

若△PBC为等腰三角形

则PB=BC

4

30°

∴7-t=4

P

7

∴t=3


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如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

4

7

二、问题情景变式

(2)若点P从点A沿AB运动,速度仍是1cm/s。

射线

当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

P


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4

P

4

4

P

7

当BP=BC时(锐角)

当BP=BC时(钝角)

7

7

P

P

E

当CB=CP时

当PB=PC时

E

4

30°

7

(三)师生互动 探索新知


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4、如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(2)若点P从点A沿射线AB运动,速度仍是1cm/s。

当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

4

P

4

4

4

7

当BP=BC时(锐角)

当BP=BC时

当BP=BC时(钝角)

当BP=BC时

7

7

7

E

当CB=CP时

当CB=CP时

当PB=PC时

当PB=PC时

E

4

30°

∴t=3或11或7+ 或 /3时 △PBC为等腰三角形

7

(三)师生互动 探索新知

(2)若点P从点A沿射线AB运动,速度仍是1cm/s。

当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

P

P

P

P

探究动点关键:化动为静,分类讨论,关注全过程


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4、如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(四)动脑创新 再探新知

(3)当t>7时,是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分?

解决动点问题的好助手:

数形结合定相似比例线段构方程

E

P

E

P


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5、已知:Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动,直到C点与N点重合为止。设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y,

(1)求y与x之间的函数关系式?

(2)若重叠部分的面积为等腰直角ΔPMN面积的一半,求x?

P

A

D

2

N

B

8

M

8

C


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A

D

2

B

8

C

∴S重叠=SΔCEM= x2

第一种情形:

P

A

D

G

E

2

B

8

M

F

8

N

C

解:(1)当0≤x≤2时,

∵MC=xcm,∠PMN=450

∴CE=xcm,


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A

A

D

D

2

B

B

C

C

8

∴S重叠=S梯形MCDG= (x-2+x) 2= 2x-2

第二种情形:

P

H

G

F

M

8

T

N

解:(2)当2<x≤6时,

∵MC=x,MF=GF=2,

∴CF=GD= x-2


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A

D

B

C

A

D

C

B

=12- (8-x)2

第三种情形:

P

H

G

Q

F

T

M

8

N

解:(3)当6<x≤8时,

∴S重叠=S五边形GMCQH=S梯形GMNH-SΔQCN


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x2,

∵SΔPMN= ×4×8=16

P

若 x2=8,则x=±4,不合题意舍去

12- (8-x)2,

N

M

(2)若重叠部分的面积为等腰直角ΔPMN面积的一半,求x?

0≤x≤2

2x-2,

∵y=

2<x≤6

6<x≤8

8

若2x-2 =8,则x=5,合题意,保留

若12- (8-x)2=8,则x=0或x=-16 ,均不合题意,舍去。


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P

A

D

2

N

B

8

M

8

C

∴当x=5时,重叠部分的面积为RtΔPNN的面积的一半


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小结:

综合体验清点收获

动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,再解出。第三,确定自变量范围,画相应的图象。

必要时,多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。

收获一:化动为静

收获二:分类讨论

收获三:数形结合

收获四:构建函数模型、方程模型


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谢谢!

请各位老师批评指正!


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例2、菱形OABC的边长为4cm,∠AOC=600,动点P从O出发,以每秒1cm的速度沿O A B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1cm的速度运动,在AB上以每秒2cm的速度沿O A B运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线,设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm,问当x为多少时,周长y可能为一个定值,定值为多少?

C

B

O

A

P


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C

B

O

A

第一种情形:

D

P

解:(1)当0≤x≤2时,

,易证ΔPOD为一等边三角形,

∴y=3OP

=3x


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C

B

O

A

第二种情形:

M

N

P

Q

解:(2)当2<x≤4时,

y=3OP-OQ

=3x

-(x-2)

=2x+2


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C

B

O

A

第三种情形:

解:(3)当4<x≤6时,

y=OC+BC+AQ+AP

=4OA-OQ-BP

=16

-(x-2)

-(8-x)

=10


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C

B

O

A

第四种情形:

M

N

P

Q

解:(4)当6<x≤8时,

y=NQ+BN+QP

=3QB-PB

=3[4-2(x-6)]

-(8-x)

=40-5x


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3x,

0≤x≤2

2x+2,

2<x≤4

y=

10,

4<x≤6

40-5x,

6<x≤8

∴当4≤x≤6时,周长y是一个定值,定值为10


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