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DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL. Tema 15. CÁLCULO DE PROBABILIDADES: USO DE TABLAS. Tema 15.3 * 1º BCS. D. N. TIPIFICADA. DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss.

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Presentation Transcript

  1. DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15 Matemáticas Aplicadas CS I

  2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES:USO DE TABLAS Tema 15.3 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. D. N. TIPIFICADA • DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA • Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. • Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: • N( 0, 1) • La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades. • Veamos algunos ejemplos. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Matemáticas Aplicadas CS I

  4. Ejemplo 1 • Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: • P ( Z ≤ 1,23 ) • En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P. Matemáticas Aplicadas CS I

  5. Gráfica del ejemplo_1 • Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: • P ( Z ≤ 1,23) • Lo que hemos hecho con la ayuda de la Tabla es calcular el área comprendida entre la función de densidad y el eje de abscisas, entre xi = -3 y xi = 1,23 • Esa áreas vale 0,8907 , que es la probabilidad pedida. -3 -2 -1 0 1,23 3 Matemáticas Aplicadas CS I

  6. EJEMPLO_2 • Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: • P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) • Calculemos • P ( Z ≤ 2,15) • En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Matemáticas Aplicadas CS I

  7. Razonamiento: • P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = • = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = • = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = • = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) - 1 • P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = • = 0,8907 + 0,9842 – 1 = • = 1,8749 – 1 = 0,8749 • Que como era de esperar es • menor que la del ejemplo • anterior. • NOTA: • Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) • ni P( Z ≥ 2,15) . Sólo P (Z ≤ k) , siendo k POSITIVO -3 -2’15 -1 0 1,23 3 Matemáticas Aplicadas CS I

  8. EJEMPLO_3 • Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: • P (0 ≤ Z ≤ 2,95) • Calculemos • P ( Z ≤ 0) • En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Razonamiento: • P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = P( Z ≤ 2,95) - P( Z ≤ 0) = • = P( Z ≤ 2,95) - 0,5000 = • = P( Z ≤ 2,95) – 0,5000 • P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = • = 0,9984 – 0,5000 = • = 0,4984 • Que como era de esperar es • menor que la del ejemplo • anterior. • NOTA: • El 0 no tiene signo alguno, por tanto P( Z ≤ 0) = P( Z ≥ 0) = 0,5000 • P( Z ≤ 2,95) = 0,9984 se ha hallado como en el Ejemplo_1 -3 -2 -1 0 2,95 3 Matemáticas Aplicadas CS I

  10. CÁLCULO DE PROBABILIDADES:TIPIFICACIÓN PREVIA Tema 15.3bis * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  11. N( μ, σ )  D. N. TIPIFICADA • DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA • A efectos prácticos podemos convertir una distribución N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: • N( 0, 1) , mediante el cambio: • X - μ • Z = ------------ • σ • Siendo X la variable aleatoria de la distribución N( μ, σ ), y Z la variable aleatoria correspondiente de la distribución normal tipificada N( 0, 1). • Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal como hemos hecho en el apartado anterior. • Veamos algunos ejemplos. Matemáticas Aplicadas CS I

  12. Ejemplo 1 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de que X ≤ 8,845 • Aplicamos el cambio: • X - μ • Z = ------------ • σ • 8,845 – 7 • Z= -------------- = 1,23 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) • Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 ) Matemáticas Aplicadas CS I

  13. Ejemplo 2 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) • Aplicamos el cambio: • 3,775 - 7 • Z = ---------------- = - 2,15 • 1,5 • 8,845 – 7 • Z= -------------- = 1,23 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) • Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) Matemáticas Aplicadas CS I

  14. Ejemplo 3 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) • Aplicamos el cambio: • 7 - 7 • Z = ---------- = 0 • 1,5 • 11,5 – 7 • Z= -------------- = 3 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) • Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 ) Matemáticas Aplicadas CS I

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