概率论
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概率论. 中南大学数学院. 概率统计课程组. § 1.6 独立性. 例如 箱中装有 10 件产品 :7 件正品 ,3 件次品 , 甲买走 1 件正品 , 乙要求另开一箱 , 也买走 1 件正品 . 记甲取到正品为事件 A, 乙取到正品为事件 B, 则. 由乘法公式即得. P(AB)=P(A)P(B). 从问题的实际意义理解,就是说事件 A 和事件 B 出现的概率彼此不受影响. 定义 : 若事件 A 与 B 满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 与 B 相互独立,简称 A 与 B 独立 。.

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概率论

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概率论

中南大学数学院

概率统计课程组


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§1.6独立性

例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.

记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则

由乘法公式即得

P(AB)=P(A)P(B)

从问题的实际意义理解,就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.


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定义:若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B),

则称A与B相互独立,简称A与B独立。

注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.

推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0,

则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).

若P(B)>0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).

证明:A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)

<=>P(B|A)=P(B)


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推论2:在 A与B, 与 B,A与 , 与 这四对

事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。

证明 不妨设A,B独立,则

其他类似可证.

注意: 判断事件的独立性一般有两种方法:

① 由定义判断,是否满足公式;

② 由问题的性质从直观上去判断.


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=“学生视力有缺陷”,

=“学生听力有缺陷”

=“学生听力与视力都有缺陷”,

例1. 某高校的一项调查表明:该校有30%的学生视力有缺陷.7%的学生听力有缺陷,3%的学生视力与听力都有缺陷,记

现在来研究下面三个问题:


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(1)事件

是否独立?

由于

所以事件

不独立,即该校学生视力与听力

缺陷有关联.

(2)如果已知一学生视力有缺陷,那么他听力也

有缺陷的概率是多少?


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这要求计算条件概率

,由定义知

(3)如果已知一学生听力有缺陷,那么他视力也有缺陷的概率是多少?

类似地可算条件概率


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有限个事件的独立性

定义(n个事件的相互独立性) 设有n个事A1,A2,…,An,若对任何正整数m(2≤m≤n)以及

则称这n个事件相互独立.

若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.

注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.


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例2随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数.


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本例说明 不能由 A, B, C两两独立

A, B, C相互独立


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例3三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?

解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,

A表示电路断电,


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则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,

P(A)=P(A1+A2+A3)=

=1-0.168=0.832


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也相互独立.

例4已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件


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例5设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合

液中含有肝炎病毒的概率.

解:设这 100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 A,第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai (i =1,2,…,100 ).


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系统的可靠性问题

例6

1

2

1

2

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件

(或系统)的可靠性.

系统由元件组成,常见的元件连接方式:

串联

并联


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A2

A1

B2

B1

设两系统都是由4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示,比较两系统的可靠性.

S1:


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A2

A1

B1

B2

S2:


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例7 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求:各个击中目标次数的概率.

解击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5),则Ai (i=1,2,...,5)相互独立,


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P(B0)=

=(1-0.6)5

=0.45

P(B1)=

=5×0.6×(1-0.6)4


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休息片刻继续


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