El Método de la Matrix de Transferencia

1. El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. Resumen Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT)y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica

2. Introducción El objetivo de la matería condensada es explicar las propiedades del mundo material, especialmente las propiedades estructurales y electrónicas de sólidos y líquidos. Debido a la complejidad y diversidad de los sistemas que se estudian en este campo, los formalismos teóricos se basan generalmente en modelos simples, deducciones intuitivas o en cálculos numéricos realistas, generalmente muy pesados. Entre los físicos de la materia condensada, especialmente entre experimentalistas, se piensa como J. J. Thomson que “es preferible una teoría cuyas consecuencias se pueden seguir con facilidad que otra más fundamental pero inmanejable” El método de la matriz de transferencia contradice, en cierto modo, esta idea. Es una herramienta útil que, además de ser muy intuitiva, hace manejable las ecua- ciones fundamentales de las teorías cuántica y electromagnética, especialmente en la descripción cuántica del transporte electrónico y las propiedades opto-electrónicas.

3. VDS - + VGS - + Gate (G) Drain (D) Source (S) SiO2 + + + + + + electrodo de metal aislante oxido de metal n n ID canal tipo N sustrato tipo P electrones IE IC sustrato IB VBE VCB LEDs B C Eg=hn B V

4. Semiconductores BC BV V(z) z fines Quantum Well Lasers Double Resonant Barriers 1960’s fines 1980’s Laser con superred en la zona activa hn

5. El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. • INDICE • Introduccíon • La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz S • La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y cuantización • La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. • Estructura de bandas. Aproximación de masa efectiva • semiconductores, dispositivos opto-electrónicos. • Paquetes Gaussianos en superredes ópticas • Dinámica del spín en superredes magnéticas • Conclusiones

6. Introducción La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D jsr jil = r’jir + tjil jsr V(z) n(z) jir jsl = rjil + t’jir jsl z1 z2

7. Introducción jil = r’jir + tjil jsr V(z) jir jsl = rjil + t’jir z1 z2 La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D Scatteringmatrix

8. Introducción La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D jil jsr V(z) jir jsl z1 z2 Transfermatrix

9. Introducción Antes de establecer la la relación entre matriz de transferencia y la matriz S Es necesario mencionar que: i) de la Propiedad de Reversibilidad Temporal sigue ii) del Principio de Coservación de Flujo sigue

10. Introducción = r’jir + tjil V(z) jil jsr jir = rjil + t’jir jsl z1 z2 La relación entre matriz de transferencia y la matriz S

11. Introducción = r’jir + tjil V(z) jil jsr jir = rjil + t’jir jsl z1 z2 La relación entre matriz de transferencia y la matriz S En sistemas 1D a, b,… son escalares, en 2D y 3D son matrices NxN. Estos bloques o elementos de matrizylos de la matriz S se relacionan así:

12. Introducción La relación entre matriz de transferencia y la matriz S V(z) jil jsr jsl jir z1 z2 Las amplitudes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones: Los coeficientes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:

13. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b V(z) V0 z a 0 ¿Qué es la matriz de transferencia? la barrera de potencial j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b el pozo de potencial a

14. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. Solo entonces conoceremos los coeficientes y tendremos la solución j (z) para todo punto del sistema

15. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? la barrera de potencial j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

16. Introducción V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b funciones de onda y vectores de onda z < 0 j I (z) = a1eikz + b1e-ikz 0 < z < b j II (z) = a2eqz + b2e-qz

17. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Regresemos a las condiciones de frontera y de continuidad. jI (0) =jII (0) j ’I’(0) =j ’ II (0) Continuidad en z = 0 a2 +b2 = a1 + b1 q a2– q b2= ik a1– ik b1

18. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. j ’ II (0) =j ’I’(0) jII (0) =jI (0) Continuidad en z = 0

19. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b j III (b) =jII (b) j ’III’(b) =j ’ II (b) Continuidad en z = b a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

20. Introducción V(z) Vo E I II III z 0 b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b j ’I’(0) =j ’ II (0) j II (b) =jII (0) Continuidad en z = b a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

21. Introducción V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz 0 z b ¿Qué es la matriz de transferencia?

22. Introducción V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz 0 z b ¿Qué es la matriz de transferencia?

23. Introducción V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz 0 z b ¿Qué es la matriz de transferencia? Propiedad multiplicativa de la matriz de transferencia

24. Introducción V(z) a3eikz a1eikz Vo II b3e-ikz b1e-ikz 0 z b ¿Qué es la matriz de transferencia? j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

25. Coeficiente de transmisióny función de onda y en la barrera V(z) a3eikz a1eikz Tb Vo 1.0 II b1e-ikz [eV] Vo = 0.23 0.5 b = 100 nm 0 z b [eV] E 1.0 0.5 Puesto que para una barrera de Al0.3Ga0.7As

26. ¿Cuál es la función de onda?

27. Coeficiente de transmisióny función de onda y en la barrera V(z) a3eikz a1eikz Vo II b1e-ikz 0 z b j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

28. Coeficiente de transmisióny función de onda y en la barrera V(z) a3eikz a1eikz Vo II b1e-ikz 0 z b j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b

29. Coeficiente de transmisióny función de onda y en la barrera

30. ¿Cómo es la matriz de transferencia en barreras con perfil arbitrario?

31. Barrera con perfil arbitrario

32. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad Double Resonant Barriers BC BV

33. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Sistemas desordenados 1D jil tjil … zn-1 z2 z1 zn z0 M1 M2 M3 Mn Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad PM, PP, NK, Ann Phys. 181, 290, 1988, …

34. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? V(z) V0 z a 0 Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar el pozo de potencial

35. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) • Superredes semiconductoras

36. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? lc lc subbandas Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) • Superredes semiconductoras

37. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) • Superredes semiconductoras, utilizadas en el transporte electrónico en sistemas heteroestructurados. RTBT con superred en la base RTBT: Transistor Bipolar con Tunelamiento Resonante

38. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? lc subbandas Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) • Superredes semiconductoras, utilizadas en láseres con superred en la zona activa lc

39. ¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? … Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos, el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) • Superredes semiconductoras • Sistemas periódicos de perfíl arbitrario jil tnjil z0 z1 z2 zn-1 zn

40. el pozo de potencial V(z) V(z) Vo V0 II 0 z b z a 0 ¿Qué podemos aprovechar de la barrera de potencial?

41. el pozo de potencial V(z) V0 z a 0 Falta aquí la matriz que propaga la información física de 0+ a a-, es decir

42. el pozo de potencial V(z) V0 z a 0

43. eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) V0 z a 0 a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z< 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 yb1 = 0 aa = 0 b3e-qa = daa1

44. eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) V0 z a 0 a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z< 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 yb1 = 0 aa = 0 a = 30nm Vo= 0.23eV a 0

45. eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) V0 z a 0 a = 30nm Vo= 0.23eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z< 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 yb1 = 0 aa = 0 b3e-qa = daa1

46. eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) V0 z a 0 a = 3nm Vo= 0.6eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z< 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 yb1 = 0 aa = 0 b3e-qa = daa1

47. eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) V0 z a 0 a = 3nm Vo= 0.6eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z< 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 yb1 = 0 a = 30nm Vo= 0.23eV a 0

48. Sistemas Periódicos El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos Teoría Standard El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados enbandascontínuas(Teorías de Bandas Contínuas) Teoría de Sistemas Periódicos Finitos Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!

49. El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas E

50. Sistemas Periódicos … V(z) … z0 z1 z2 z3 zn-1 zn lc M Si conocemos la MT de una celda unitaria Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 )M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 )M(z2 ,z1 )M(z1 ,z0 )