Denge Çözümlemesinin Özel Bir Çeşidi

1. DERS:7 OPTİMİZASYON Denge Çözümlemesinin Özel Bir Çeşidi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2. İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA EKSTREMUM şeklinde verilen bir fonksiyonun ekstremum noktaları denklem sisteminin ortak çözüm noktaları ise için Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3. Örnek: Tam rekabet koşulları altında iki değişik mal üreten bir firmayı göz önüne alalım. Birinci ve ikinci ürünün fiyatlarını dışsal değişkenler olarak kabul edelim ve fiyatlar sıra ile olsun. sıra ile birinci ve ikinci malların üretim miktarlarını göstersin. Firmanın maliyet fonksiyonunun olduğunu varsayalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4. Bu koşullar altıda firmanın karının maksimum olması için üretilecek ürün miktarlarını bulunuz. Çözüm: Firmanın hasılat (gelir) fonksiyonu Kar fonksiyonu ise olur. Bu denklem sistemimizi Cramer Yöntemi ile çözelim Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5. olur. Bulduğumuz bu değerlerin gerçekten karı maksimum yapan değerler olduğundan emin olmak için ikinci türev testini uygulayalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6. değerleri için kar fonksiyonu maksimum olur. Örneğin olur. Bu değerler kar fonksiyonunda yerlerine yazılırsa maksimum kar; Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

7. Tekelci bir piyasada iki ikame ürün üreten bir firmanın (ürettiği malların tamamını sattığı varsayımı ile) talep fonksiyonlarının, maliyet fonksiyonunun ise Örnek: olduğuna göre karı maksimum yapan üretim miktarlarını ve ürün fiyatlarını bulunuz Toplam hasılat fonksiyonunu yazabilmek için cinsinden yazmalıyız. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8. olur. Buna bağlı olarak toplam hasılat fonksiyonu olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

9. Bulduğumuz bu değerleri fiyat denklemlerinde yerlerine yazarsak olur. karı maksimum yapan değerlerdir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

10. Ödev 1: sıra ile birinci ve ikinci malların üretim miktarlarını göstersin. Firmanın maliyet fonksiyonunun Tam rekabet koşulları altında iki değişik mal üreten bir firmayı göz önüne alalım. Birinci ve ikinci ürünün fiyatlarını dışsal değişkenler olarak kabul edelim ve fiyatlar sıra ile olsun. olduğunu varsayalım. Bu koşullar altıda firmanın karının maksimum olması için üretilecek ürün miktarlarını ve için maksimum karını bulunuz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

11. Ödev 2: İki ürünlü bir firma aşağıdaki talep ve maliyet fonksiyonlarına sahiptir. a) Maksimum kar için gerekli koşulu sağlayan ürün miktarlarını bulunuz. b) İkinci türev koşulu sağlanıyor mu? belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

12. EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ: Yaşamın çeşitli alanlarında herhangi bir uygulama ile toplanan veriler tablo şekline getirilerek incelenir ve toplanan veriyi modelleyen bir fonksiyon bulunmaya çalışılır. Çoğu zaman bu veri tablosuna tam olarak uyan bir fonksiyon bulmak mümkün olmaz. Bu durumda veri tablosuna en iyi uyan fonksiyon belirlenmeye çalışılır. Bir veri tablosuna en iyi uyan fonksiyonu bulma sürecine regresyon analizi denir. Regresyon analizi yaparken en çok kullanılan yöntemlerden biri En Küçük Kareler Yöntemidir. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol12

13. En küçük kareler yöntemi, tıp, finans, mühendislik, ziraat, biyoloji ve sosyoloji gibi çeşitli bilim dallarında çeşitli değişkenler arasındaki ilişkiler belirlenirken kullanılan en önemli araçlar arasındadır. Belli ölçümler sonucunda i = 1, 2, . . . , n için xiverileri ve onlara bağlı olarak da yi verileri bulunmuş olsun. Burada, her bir yi değerinin xi ye bağlı olarak değiştiği varsayılmaktadır. (xi , yi) ikilileri düzlemde noktalar olarak düşünüldüğünde, pratikte bu noktalar düzgün bir eğri üzerinde, başka bir deyişle, bilinen bir fonksiyonun grafiği üzerinde bulunmazlar. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol13

14. Hatta bazı durumlarda, (xi , yi) ler arasında ne tür bir bağıntı bulunduğu dahi bilinemeyebilir. Ancak, yapılan ölçümlerin doğası gereği, her i = 1, 2, . . . , n için yi = f (xi ) olacak biçimde bir fonksiyonun var olduğu, ancak ölçümlerde yapılan hata nedeniyle bu eşitliklerin sağlanmadığı kabul edilir. Bu düşünceyle, ölçülen yi değeri, y = f (x) fonksiyonunun xi için yaklaşık değer kabul edilir. Ölçülen yi değeri ile yi = f (xi ) gerçek değer arasındaki farkın minimum olduğu y = f(x) fonksiyonu belirlenmeye çalışılır. Bunun için y = f(x) fonksiyonunun bir takım parametrelere bağlı bir ifadesi bulunduğu varsayılarak eldeki veriler yardımıyla bu parametreler belirlenmeye çalışılır. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol14

15. Örneğiny = f(x)fonksiyonu; y = mx + b şeklinde bir doğrusal fonksiyon veya y = ax2 + bx + c gibi bir karesel fonksiyon olabilir.Bu durumda belirlenmesi gereken parametreler m, b veya a, b, cdir. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol15

16. y yn-mxn-b y=mx+b (xi ,yi) yi-mxi-b (xn ,yn) (x5,y5) y5-mx5 -b (x4 ,y4) (x6,y6) (x1,y1) (x3,y3) (x2 ,y2) y1-mx1 -b x Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol16

17. Bu dersimizde, bir veri tablosuna en iyi uyan doğrusal fonksiyonların bulunmasında en küçük kareler yönteminin nasıl kullanıldığını örnekleriyle göreceğiz. Grafiği veri tablosuna en iyi uyan doğruya regresyon doğrusu veyaen küçük kareler doğrusudenir. Örnek: Bir üretici, ürettiği ürünün çeşitli üretim seviyesi için maliyeti belirliyor ve aşağıdaki tabloyu oluşturuyor: Bu üretici için yukarıdaki tabloya en iyi uyan doğrusal fonksiyonu en küçük kareler yöntemi ile bulalım. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol17

18. y (9,8) (6,7) (5,6) (2,4) 2 5 6 9 x Tablodaki veriler, düzlemde (2,4), (5,6), (6,7), (9,8) noktalarını verir. Bu noktaları en iyi temsil edebilecek doğruyu arıyoruz. Bu doğru C = mQ+b doğrusu olsun. Tablodaki verilerden elde edilen noktalarla C =mQ+b doğrusunu koordinat ekseninde gösterelim. C=mQ+b 8-m9-b 7-m6-b 6-m5-b 4-m2-b Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol18

19. Yapmamız gereken şey verilerden elde edilen noktalarla doğrunun noktaları arasındaki yi– mxi –b farklarının mutlak değerleri toplamının minimum olmasını sağlamaktır. yi– mxi –b farkına artık denir. yi– mxi –b farklarının mutlak değerleri toplamının minimum olması yerine kareleri toplamının minimum olmasını sağlayabiliriz. xiverilerini ve yi– mxi –b artıklarını yeni bir tabloda gösterelim. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol19

20. Artıkların kareleri toplamı; F(m,b)=(4-2m-b)2 + (6-5m-b)2 +(7-6m-b)2 +(8-9m-b)2 şeklinde değişkenleri mvebolan iki değişkenli bir fonksiyon tanımlar. Şimdi bu fonksiyonun hangi m ve b değerleri için minimum değeri aldığını belirlemeliyiz. F(m,b)=(4-2m-b)2+(6-5m-b)2+(7-6m-b)2+(8-9m-b)2 Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol20

21. Kritik noktalar için kısmi türevlere bakıyoruz: Fm=2(4-2m-b)(-2)+2(6-5m-b)(-5)+2(7-6m-b)(-6)+2(8-9m-b)(-9)=0 Fb=2(4-2m-b)(-1)+2(6-5m-b)(-1)+2(7-6m-b)(-1)+2(8-9m-b)(-1)=0 Burada parantezler açılıp gerekli işlemler yapılarak, denklem sistemi bulunur. Denklem sistemi çözülürse; m = 0.58 , b = 3.06 bulunur. İkinci türev testi ile m ve bnin bu değerleri için F(m,b) nin minimum olduğu görülebilir: Fmm(0.58, 3.06)=2(146)= A, Fmb(0.58, 3.06)=2(22) = B, Fbb(0.58, 3.06)=2(4) = C. AC-B2=400  0, A=292 > 0 F(0.58,3.06) min. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol21

22. 1. Her (xi ,yi)noktasına karşılık gelen yi-mxi-bartık değeri için; olur. Regresyon doğrusu : C = 0.58Q+3.06 olur. Regresyon analizi sonucuna göre maliyet fonksiyonu: C(Q) = 0.58Q+3.06 olur. Artık bu fonksiyon yardımıyla üretici, x sayıda ürün ürettiğinde maliyetin ne olacağını tahmin edebilir : Örneğin; x = 400 için C(400) = (0,58).400+3.06=235,06 x = 1000 için C(1000)=(0,58).1000+3.06=583,06 EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİNİN GENEL BİÇİMİ n tane ölçümden elde edilen veriler: (x1 ,y1) , (x2 ,y2) , . . . , (xn,yn) olsun. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol22

23. 2. F(m,b) fonksiyonunun kısmi türevlerinden oluşan denklemleri düzenlenerek Fonksiyonundaxiveyi’ ölçüm sonuçları olan sabitler; mvebise değişkenlerdir. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol23

24. denklem sistemi Cramer Yöntemi ile çözülerek, bulunur. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol24

25. Yukarıda bulunan m ve b değerleri y=mx+bdenkleminde yerine yazılırsa aranan fonksiyon, veya olur. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol25

26. Örnek: Daha önce çözdüğümüz problemin veri tablosunu kullanaraken küçük kareler doğrusunu bulalım. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol26

27. Örnek: Aşağıdaki veri tablosu için en küçük kareler doğrusunu bulunuz ve x = 15 için yyi tahmin ediniz. n = 5 x=15 içiny=18 – 6 = 12 olur. bulunur. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol27

28. Örnek: Aşağıdaki veri tablosu için en küçük kareler doğrusunu bulunuz ve x = 15 için y yi tahmin ediniz. n = 5 x=15 için y=18 – 6 = 12 olur. bulunur. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol28

29. En küçük kareler yöntemi ile çözülebilecek bir fiyat analizi problemi örneği veriyoruz. Problem: Bir büyük mağazalar zincirinin pazar araştırmaları bölümü belli bir ürünün fiyatını her ay değiştirerek 5 ay boyunca aylık talebi kaydetti ve yandaki veri tablosunu elde etti. Burada, x, TL olarak satış fiyatını; y, aylık kaç bin adet talep olduğunu göstermektedir. a) En küçük kareler yöntemini kullanarak fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 4 TL ise, aylık kârın maksimum olması için satış fiyatı ne olmalıdır? Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol29

30. Çözüm: a) Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol30

31. olur. Toplam gelir ise olacağından, kâr fonksiyonu ) = - (- olur. Kârın maksimum olması için satış fiyatı yaklaşık olarak 6.56 TL olmalıdır. b) Bir ürünün maliyeti 4 TL ise, başka gider olmadığı varsayılarak toplam gider, Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol31

32. Örnek: Bir mağazada bir ürünün fiyatı her ay değiştirilerek 6 ay boyunca aylık satış miktarı belirlendi. Sonuçta x TL olarak fiyatı, y bin adet olarak aylık satış miktarını göstermek üzere aşağıdaki tablo elde edilmiştir. a) Fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 5,25 TL ise, aylık karın maksimum olması için satış fiyatı ne olmalıdır? Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol32

33. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol33

34. Çözüm: a) b) Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol34

35. ÖDEVLER: 1. Bir ilaç fabrikası, bir kutuya konan hap sayısı ile maliyet arasındaki ilişkiyi araştırarak aşağıdaki tabloyu bulmuştur. Bir kutuya konan hap sayısı ile maliyet arasındaki doğrusal ilişkiyi belirleyiniz. 2. Bir mağazalar zinciri, belli bir malın fiyatını periyodik olarak değiştirerek talep miktarını belirmiştir.Sonuçta aşağıdaki tablo elde edildiğine göre fiyat-talep denklemini yazınız. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol35

36. 3. Bir çini fabrikası nakış bölümünde, çalışanların saat ücreti ile günlük üretim miktarı arasındaki ilişkiyi bulmak amacıyla yapılan çalışmada aşağıdaki tablo elde edilmiştir. Regresyon doğrusunu bulunuz. 4. Bir tarım işletmesi hiç gübre kullanmadan dönüm başına 1 ton patates alırken, dönüm başına 500 kg gübre kullandığında 2,2 ton, 1000 kg kullandığında 3,1 ton, 1500 kg kullandığında 4,6 ton, 2000 kg kullandığında 5,1 ton patates alacağını hesap etmiştir. İşletme gübrenin 1 kg’ını 0.8 TL’den alıp patatesin 1 kg ını 0,6 TL den satmaktadır. a) Bu verilere uyan regresyon doğrusunu bulunuz. b) Dönüm başına 1800 kg gübre kullanıldığında alınabilecek patates miktarını ve elde edilecek karı hesaplayınız. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol36

37. 5. Bir mağazalar zincirinin pazar araştırmaları bölümü belli bir ürünün fiyatını her ay değiştirerek 5 ay boyunca ürünün aylık talep miktarını belirlemiştir. x, TL olarak ürünün fiyatını, y ürünün aylık kaç bin adet satıldığını göstermek üzere aşağıdaki tablo elde edilmiştir. . a) fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 7 TL olduğuna göre, bu üründen elde edilecek aylık karın maksimum olması için satış fiyatı ne olmalıdır? c) Aylık maksimum karı ve satılan ürün sayısını bulunuz. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol37

38. 6. Bir fotoğrafçı 2 adet vesikalık fotoğrafı 10 TL ye, 4 adet vesikalık fotoğrafı 15 TL ye, 8 adet vesikalık fotoğrafı 20 TL ye, 12 adet vesikalık fotoğrafı 24 TL ye çekiyor. Verilenlere uygun tabloyu oluşturarak en küçük kareler doğrusunu bulunuz. Yrd.Doç.Dr.Mustafa Akkol38

39. Faiz İndirgenmesi ve Negatif Büyüme eşitlikleri faiz türlerine göre P TL lik ana paranın r faiz oranı ile faiz bindirgemelerisonucunda t yıl sonra ele geçecek S miktarını bulmamıza yarayan eşitliklerdir. t yıl sonra ele geçecek olan S miktar paranın bilinmesi durumunda ilk yatan ana parayı bulma problemlerine indirgeme problemi denir. Faiz türlerine göre ilk yatan ana para (şimdiki değer) yukarıdaki eşitliklerden P çekilerek sıra ile bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

40. fonksiyonu sürekli faiz hesaplarında kullanılan önemli bir fonksiyon olduğu gibi doğal büyümelerin olduğu bir çok problemde de kullanılmaktadır. Aşağıda doğal büyüme problemlerine bir örnek verilmiştir. fonksiyonlarında üsler pozitif olduğundan bu fonksiyonlar pozitif büyümeyi ifade ederler. fonksiyonlarında üsler negatif olduğundan bu fonksiyonlar negatif büyümeyi ifade ederler. Bu nedenle şimdiki değerin bulunması problemlerine faiz indirgenmesi ve negatif büyüme problemleri denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

41. Bir Şarap Depolama Problemi Bir şarap üreticisi ürettiği belli bir miktar şarabı deposunda bekleterek değer kazanmasını ve daha sonra yüksek fiyatla satmak istiyor. Mevcut şarabın bugünkü değeri KTL dir. Şarabın zamana bağlı olarak artan değerini S ile gösterelim. Şarabın değeri zamana (t) bağlı olarak şeklinde artmaktadır. Bu fonksiyondan şarabın t = 0 anındaki (şu andaki) değerinin S = K olduğu görülür. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

42. Şarabın maliyetinin sabit maliyet (zira üretici şarabı elde etmek için gerekli bedeli ödemiştir. Bundan sonra herhangi bir maliyet söz konusu değildir.) ve depolama maliyetinin de sıfır olduğu varsayımı altında karı maksimize edecek t değerini bulmak istiyoruz. Şarabın şu andaki değerinin zaman içerisinde bir faiz getireceğini de dikkate alırsak S nin belirli bir t noktasına karşılık gelen her değeri farklı zamanlarda ele geçecek para miktarını temsil ettiği için bir başka zamandaki değeri ile karşılaştırılamaz. Bu güçlükten dolayı her bir S değeri şimdiki değere indirgenmelidir. Faiz oranının sürekli bindirgeme süresince r düzeyinde olduğunu varsayarsak S nin şimdiki değeri olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

43. Böylece S nin şimdiki değeri A(t) t’nin bir fonksiyonu olduğundan problemimiz A(t) fonksiyonunun maksimum değerinin bulunmasına indirgenmiştir. Maksimizasyon için den veya bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

44. değeri gerçekten maksimum değeri mi verir? Bunu anlamak için ikinci türevin işaretine bakalım. İkinci türev negatif olduğundan değeri A(t) yi maksimum yapan değerdir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

45. 25 yıl sonra şimdiki değer Şarabın mahzene konduğu andaki değerinin 1000TL olduğunu kabul edersek olur. Örneğin şarabın şimdiki değerinin faiz oranı %10 ise şarabın en yüksek fiyattan satılması için geçmesi gereken süre 25 yıl olur. Bunun anlamı; mahzene konduğunda değeri 1000TL olan şarabın 25 yıl sonraki değeri , 12182,49TL nin %10 sürekli faiz oranı ile 25 yılda ulaşacağı birikimli değere eşit olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

46. ve Görüldüğü gibi değeri 1000TL olan şarabı mahzene koyup 25 yıl sonra satmak ile 12812,49TL yi %10 faiz oranı ile sürekli faize yatırmak aynı kazancı sağlar. Şarap mahzende 25 yıl değil de 36 yıl bekletilse 36 yıl sonra değeri Gerçekten 12182,49TL nin 36 yıllık sürekli faizi ise dır Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

47. Ağaç Kesme Problemi Büyüdüklerinde kağıt fabrikalarına satılmak üzere bir alana ağaçların dikildiğini varsayalım. Ağaçlar büyüdükçe değerlerinin artacağı açıktır. Ağaçların değerlerinin şeklinde üstel bir fonksiyonla ifade edilebileceğini belirlemiş olalım. Burada ağaçların zaten dikilmiş olduğu varsayılarak dikim maliyeti hesaba katılmamıştır. Ağaçların her an bir değeri olduğundan bu değerin faizi hesaba katılmalıdır. Bu durumda ağaçları şimdiki değeri bulunmalı ve bu değeri maksimum yapan t değeri aranmalıdır. Şimdiki değer, olur. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

48. r = 0,05 olması durumunda kesim için en uygun zaman İkinci türev negatif olduğundan için A(t) maksimumdur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

49. Eğer ağaçlar dikilmemiş ise dikilip dikilmemesine karar vermek için dikim maliyetinin 25 yıl sonra ağaçların bugünkü değerinden az olması gerekir. Örneğin 25 yıl sonra ağaçların bugünkü değeri; olur. Böylece bu alana ağaç dikmek için (yetiştirme maliyeti yoksa) dikim maliyetinin 3490,34 TL den az olması gerekir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

50. 25 yıl sonra ağaçların değeri 3490,34TL nin %5 ten 25 yıllık sürekli faizdeki birikimli miktarı Görüldüğü gibi maliyeti 1000TL olan ağaçları 25 yıl sonra satmak ile 3490,34TL yi %5 faiz oranı ile sürekli faize yatırmak aynı kazancı sağlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol