Calculs de plaques fissurées avec XFEM

1. Calculs de plaques fissurées avec XFEM Workshop « Méthodes Numériques Innovantes, Applications à la Mécanique », 23-24 juin 2008, INSA de Lyon Jérémie Lasry, (IMT / INSA Toulouse) Directeurs : M. Salaün (ISAE) et Y. Renard (ICJ / INSA Lyon) Responsable scientifique Airbus : M. Balzano

2. INTRODUCTION

3. Insuffisances des éléments finis classiques en domaine fissuré • Contrainte au niveau du maillage • Raffiner autour du fond de fissure • Remailler après propagation • Taux de convergence médiocre(même en e.f. ou ) : XFEM permet de pallier à ces inconvénients.

4. Caractéristiques d’XFEM XFEM = MEF classique + fonctions de formes locales spécifiques qui représentent la fissure Éléments finis classiques Représentation de la fissure Fonctions représentant la singularité H: fonction « saut » (vaut ± 1) : singularités de fond de fissure Si propagation, seuls les ddl singuliers sont mis à jour.

5. XFEM en plaques • Cadre de travail : • Fissures traversantes • Matériau homogène isotrope, hypothèse des petites déformations et des petits déplacements a problème linéaire • Mécanique linéaire de la rupture, matériaux fragiles (≠ ductiles) • Bibliographie : un seul article d’XFEM en plaques (Moës & co., 1999) a perte de précision si épaisseur mince.

6. Dimension industrielle : collaboration avec Airbus Amène de nouvelles contraintes : • Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul) • La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).

7. Article Moës : modèle Mindlin-Reissner Epaisseur = 1/30 Epaisseur = 1/20 Epaisseur = 1/10 • Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage : • XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement => Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage

8. Article Moës : résultat numérique XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince Valeur à obtenir = 1 Il faudrait appliquer un traitement aux singularités Epaisseur x 20

9. Question : quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? • Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces : • Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision • Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) => non-applicables pour des fonctions non-polynomiales • Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) • Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant. • Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

10. Démarche de la thèse • Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love • Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref). Objectifs à atteindre : • Précision : même taux de convergence qu’un problème sans fissure (selon méthode). • Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques. • Implémentable dans un code de calcul industriel Ref : P. LABORDE, J. POMMIER, Y. RENARD, M. SALAÜN. High order eXtended Finite Element Method for cracked domains. Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 64, pp 354-381, 2005.

11. Travaux de thèse : Modèle de Kirchhoff-Love

12. PLAN • Présentation du modèle de Kirchhoff-Love • Caractéristiques du modèle • Discrétisation • Modes singuliers • Formulation XFEM « standard » • Cas-test et résultats numériques • Problème en quadrangles • Formulation XFEM « Raccord Intégral » • Résultats numériques • Application industrielle : calcul de facteurs d’intensité de contraintes (FIC)

13. 1. Modèle de Kirchhoff-Love • Avantages : • Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e →0 ) • Pas de verrouillage numérique • Singularités connues (modèle de bilaplacien) • Pas de déformation de cisaillement transverse : • Seule fonction inconnue : • Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini • éléments HCT/FVS réduits conviennent, avec coût de calcul raisonnable.

14. Singularités et modes de sollicitations (Grisvard) En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit : : constantes du matériau : facteurs d’intensité de contrainte Flexion anti-symétrique => Mode II Cisaillement, Torsion Flexion symétrique => Mode I

15. Discrétisation : les éléments HCT/FVS réduits(P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1978) • Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement . • 3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable) • Précision de l’élément (régularité requise : solution u dans ) • Norme H² : O(h) (théorique) • Norme L² : O(h²) (observé) HCT réduit FVS réduit Or, partie régulière dans (cf. Grisvard) => Avec singularité exacte, convergence optimale atteignable

16. 2. XFEM « Standard » • Expression de l’inconnu : • Expression des enrichissements :

17. Solution exacte pour les tests numériques • (K1 = 0, K2 = 1) • Tests réalisés avec Getfem++ J. POMMIER, Y. RENARD. Getfem++, an open source generic C++ library for finite element methods. http://home.gna.org/getfem.

19. Système non-inversible en quadrangles • En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement. • Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles

21. 3. XFEM « Raccord intégral » • Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine : • Raccord intégral : • Multiplicateurs approchés en • Autre type de raccord possible ( seulement)

24. Nombre d’éléments sur un bord

25. Application industrielle : Calcul de FIC • K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC) • Grandeurs utilisées dans l’industrie comme critère de propagation (valeur critique) • En principe : évalués par post-traitement (intégrales de contour) • XFEM « Raccord Intégral  » : • par identification des , on déduit les FIC

26. Résultats numériques : Calcul de FIC • Plaque soumise a des moments uniformes (valeur de K1 référencée, maillage quadrangle) Inconvénient : résultats pas forcément décroissants Erreur théorique est globale, et pas locale

27. Conclusion pour Kirchhoff-Love • Méthode bien formulée : • Précision optimale atteinte • Coût de calcul supplémentaire marginal • Conditionnement amélioré => Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques. • Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel • Perspectives : • Comparaison FIC avec intégrales de contour • Recherche d’une approche pour Mindlin-Reissner

28. SUPPLEMENTS

29. Généralités sur les modèles de plaques = 2 e • 5 fonctions inconnues :

30. Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D) • En homogène-isotrope, et sont découplés : • = élasticité 2D (déjà bien traité) • = flexion : le sujet d’intérêt. • Pour Mindlin-Reissner : • Modèle le plus utilisé dans l’industrie • Discrétisation : problème de verrouillage numérique

31. Exemple de verrouillage en MEF classique (polynômes Q1) Elancement = 1/10 Elancement = 1/20 Elancement = 1/30

32. Origine du verrouillage • Minimisation : Trouver e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation) => • Les éléments finis classiques représentent mal cette contrainte : • Exemple en P1 : Cisaillement Transverse Flexion

33. Traitements classiques nombreux • Sous-intégration (QUAD 4) • Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK) • Projection sur polynômes de degrès plus faible (MITC4) • Polynomes P2, P3 • Méthodes mixtes

34. Traitement du verrouillage (élancement = ) Degrés 2 QUAD 4 ou MITC 4

35. Cas XFEM : Quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? • Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces : • Sous-intégration => perte de précision • Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des fonctions non-poynomiales • Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) • Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant. • Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

36. XFEM avec MITC 4 (Moës & co., 2000) (sans traitement particulier sur les enrichissement singuliers) Problème : Du verrouillage numérique est produit XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince (graphe extrait de [2]) Valeur à obtenir = 1 Epaisseur x 20

37. Conclusion sur Mindlin • Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers • Perspectives : • Évaluation plus précise de ce type de verrouillage • Essais avec polynômes P2 • Formulation d’une stratégie mixte (séparation fonction de forme/enrichissements singuliers) • Autre approche dans la thèse: utilisation d’un modèle de plaque sans verrouillage.