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U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI “Lorenzo Mascheroni”. I derivati. Lezione 0. Terminologia. strumento derivato posizione lunga posizione corta vendita allo scoperto arbitraggio

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I derivati

U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni”

I derivati

Lezione 0


Terminologia
Terminologia A M O

  • strumento derivato

  • posizione lunga

  • posizione corta

  • vendita allo scoperto

  • arbitraggio

  • tasso spot, prezzo spot

  • tasso forward, prezzo forward


Strumento derivato
Strumento derivato A M O

I derivati (o derivatives o contingent claims) sono strumenti il cui

«valore» dipende dai «valori»

di altre variabili fondamentali dette sottostanti (o underlying)

prezzo sottostante

Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni

meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.


Esempi di derivati
Esempi di Derivati A M O

  • Opzioni

  • Contratti Forward (o Forwards)

  • Contratti Futures (o Futures)

  • Swaps


Perch si usano i derivati
Perché si Usano i Derivati A M O

  • Per proteggersi dai rischi

  • Per concretizzare un’opinione circa la futura evoluzione del mercato (scommessa)

  • Per bloccare un profitto di arbitraggio

  • Per cambiare la natura di una passività

  • Per cambiare la natura di un investimento senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l’acquisto di un altro

  • Per ragioni fiscali


Operatori
Operatori A M O

  • Hedgers:

    ridurre un rischio al quale sono esposti

  • Speculatori:

    scommettitori

  • Arbitraggisti:

    operatori che traggono profitto privo di rischio senza investire


Economia di arbitraggio
Economia di arbitraggio A M O

Per sottolineare la possibilità di sfruttare tutte le opportunità offerte dal gran numero di mercati disponibili

cause:

  • disintermediazione (scambio diretto)

  • deregolamentazione (contesto finanziario flessibile)

  • integrazione (fine della segmentazione)

La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte

dall’evoluzione dei mercati finanziari.


Arbitraggio
Arbitraggio A M O

«You make money without risk»

L’arbitraggio consiste

  • nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in modo da garantire dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli (più intuitivo)

    oppure

  • nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in grado di garantire dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non nulli (meno intuitivo)


Opportunit di arbitraggio
Opportunità di arbitraggio A M O

  • Con il termine “opportunità di arbitraggio” ci si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi beni.

  • Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102 $/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia.

  • Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimento

  • Abbiamo: Pq = investimento, Dq = guadagno

  • L’arbitraggio del primo tipo è dato da: Pq = 0 e Dq > 0. In generale si usa dire Pq 0 e Dq > 0.

  • L’arbitraggio del secondo tipo è dato da: Pq < 0 e Dq = 0. In generale diremo Pq < 0 e Dq 0.


Posizione finanziaria
Posizione finanziaria A M O

  • La parte che ha deciso di comprare «prende una posizione lunga»

  • La parte che ha deciso di vendere«prende una posizione corta»

  • Una posizione viene chiusa prendendo una posizione di segno opposto


Vendita allo scoperto
Vendita allo Scoperto A M O

  • La vendita allo scoperto:

    • consiste nel vendere titoli che non si posseggono

    • I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker

    • e vengono venduti nel modo consueto

    • Il venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si trovasse senza azioni

  • Chi vende allo scoperto

    • dovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestito

    • deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli


Vendita allo scoperto1
Vendita allo Scoperto A M O

  • Per la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile).

  • Ad es., vogliamo vendere 10 000 Fiat a 18.38 (prezzo di mercato). Non disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno 10 000 Fiat, ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela.

  • Si incarica quindi il broker di venderci le 10 000 azioni e di versarci in conto l’importo realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione richiede delle garanzie (in titoli o contanti).

  • Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di ricomprare le 10 000 azioni versando l’importo necessario al broker e restituendogli i titoli presi a prestito.

  • In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante) di chiudere la posizione.


Spot e forward
Spot A M O e Forward

  • Tasso e prezzo spot riguardano il tasso e il prezzo attuali

  • Tasso e prezzo forwardriguardano il tasso e il prezzo a termine (a una certa scadenza)


Tasso forward o di riporto repo
Tasso A M O Forward o di Riporto (Repo)

  • Il tasso di riporto è il tasso d’interesse rilevante per molti arbitraggisti

  • I contratti di riporto (repos o repurchaseagreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto

  • La «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’«interesse» percepito dalla controparte


Forwards

Forwards A M O


Contratto a termine o forward
Contratto a termine o A M O Forward

« Agreement to buy or sell“something” in the future»

  • Accordo per comprare o vendere un’attività ad una certa data futura, per un certo prezzo


Come funziona un contratto forward
Come funziona A M O un contratto Forward

  • Il contratto forwardè un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC)

  • Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nullo

  • Pertanto, non c’è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulato

  • Il contratto viene «liquidato a scadenza»


Esempio di contratto forward
Esempio di contratto A M O Forward

  • 8 maggio 2002: una società entra in un contratto forwardlungo per acquistare tra 90 giorni £1.000.000 a $1,6056 per sterlina ($/£ = GBP/USD)

sottoscrizione

del contratto

pago $1 605 600

ricevo £1 000 000

8 maggio 2002

6 agosto 2002


Esempio di contratto forward1
Esempio di contratto A M O Forward

  • 6 agosto 2002: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a $1,6500

pago $1 605 600

ricevo £1 000 000

che valgono $1 650 000

8 maggio 2002

6 agosto 2002


Esempio di contratto forward2

In base alle «condizioni» contrattuali ( A M O forward del 5 maggio 2002), la società paga $1.605.600 e riceve £1.000.000

Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000

pago $1 605 600

ricevo £1 000 000

vendo £1 000 000

ricevo $1 650 000

--------------

guadagno $44 400

Esempio di contratto Forward


Posizione lunga su un forward
Posizione A M O lunga su un Forward

Profitto

0

K

S

T

Posizione lunga

(a)

K


Posizione corta su un forward
Posizione A M O corta su un Forward

prezzo forwardo prezzo di consegna?

K

Profitto

0

K

S

T

Posizione corta

(b)


Contratti forward
Contratti A M O Forward

  • Prezzo Forward:

    • prezzo di consegna del giorno di stipula tale da rendere il valore del contratto Forward nullo

  • Prezzo di consegna:

    • prezzo applicato alla compravendita a termine

  • Valore del contratto Forward:

    • prezzo di scambio durante la vita intermedia del contratto

Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere l’impegno iscritto nel contratto.


Oro un opportunit di arbitraggio
Oro: un’opportunità A M O di arbitraggio?

  • Si supponga che:

    • il prezzo spot dell’oro sia di $390

    • il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425

    • il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo

    • non si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro

  • C’è un’opportunità di arbitraggio?


C opportunit di arbitraggio

prestito di contanti A M O

+390

–409.5

$390×15%

lungo di oro

–390

+oro

corto Forward su oro

0

+425–oro

Saldo

0

15.5

opportunitàdi arbitraggio

nessun investimento

guadagno certo

C’è opportunità di arbitraggio?

Oggi

1 anno

Tasso d'interesse

5%


Oro un altra opportunit di arbitraggio
Oro: un’altra opportunità A M O di arbitraggio?

  • Si supponga che:

    • il prezzo spot dell’oro sia di $390

    • il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $390

    • il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo

    • non si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro

  • C’è un’opportunità di arbitraggio?


C opportunit di arbitraggio1

deposito di contanti A M O

–390

409.5

corto di oro

+390

–oro

lungo Forward su oro

0

–390+oro

Saldo

0

19.5

opportunitàdi arbitraggio

nessun investimento

guadagno certo

C’è opportunità di arbitraggio?

Oggi

1 anno

Tasso d'interesse

5%


C opportunit di arbitraggio2

deposito di contanti A M O

–371.43

390

corto di oro

+390

–oro

lungo Forward su oro

0

–390+oro

Saldo

18.57

0

19.5 / (1+5%)

opportunitàdi arbitraggio

disinvesti-mento

guadagno nullo

C’è opportunità di arbitraggio?

Oggi

1 anno

Tasso d'interesse

5%


Formalizzando
Formalizzando A M O

  • Se oggi F > S (1+i)(T–t)

    • prendo in prestito la somma S

    • vado corto sul Forward che paga F per il titolo che oggi vale S

    • acquisto il titolo spot che costa S

  • fine periodo

    • pago S (1+i)(T–t) a chi mi ha prestato i soldi

    • cedo il titolo alla somma F


Formalizzando continua
Formalizzando (continua) A M O

  • Se oggi F < S (1+i)(T–t)

    • prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo S

    • vado lungo sul forwardche paga Fper il titolo che oggi vale S

    • deposito la somma S ricevuta dalla venditaallo scoperto

  • fine periodo

    • ricevo S(1+i)(T–t) dal deposito dei contanti

    • compro il titolo alla somma F

    • chiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al broker


Prezzo forward
Prezzo A M O Forward

  • Concludiamo che il prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Forward alla stipula è pari a

    S (1+i)(T–t)

    oppure

    Se r (T–t)

    per titoli che

    • non pagano dividendi o dividend yields

    • non hanno costi di deposito, custodia o immagazzinamento


Valore di un forward
Valore di un A M O Forward

  • Sia

  • K: prezzo di consegna di un contratto forward

  • F: prezzo forwardche si applicherebbe ora al contratto

  • Il valore di un contratto forwardlungo, f, è

  • f =(F – K )e–r(T – t)

  • Analogamente, il valore di forwardcorto è

    f=(K – F)e–r(T–t)


Valore di un contratto forward

0 A M O

t

T

Valore di un contratto Forward

  • Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e-r(-t) oggi, per vendereK. Dato che f(F)=0, si deduce chef(K)= (F–K)e-r(-t)

  • Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e-r(-t) oggi, per acquistareK anziché F. Di conseguenzaf(K)= –(K–F)e-r(-t) = (F–K)e-r(-t)


Esempio di forward

0 A M O

26/11

26/5

Esempio di Forward

  • r = 6%, T – t = 6mesi

  • in T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare €8.32 meno di chi sottoscrive ora: F=Ster(T-t) = €958.32  K –F= €8.32

  • quindi K F. Quanto è la preferenza? 8.32 e-6% × 6 / 12 = 8.08

  • Chi vuole acquistare una posizione lunga su Kpagherà 8.08, (f = -8.08)

  • Chi vuole vendereuna posizione lunga su Kotterrà 8.08, (f = 8.08)

  • Chi vuole acquistare una posizione cortasu Kotterrà 8.08, (f = 8.08)

  • Chi vuole vendereuna posizione cortasu Kpagherà 8.08, (f = -8.08)


Valore di un contratto forward1
Valore di un contratto A M O Forward

  • Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio?

  • Volendo anticipare i guadagni?


Valore di un contratto forward senza redditi

0 A M O

t

T

Valore di un contratto Forward:senza redditi

  • Lunghi di forwardF equivale al possesso di un sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo valore in tale data):

St

S0

acquista oggi e dispone del titolo S in T

Deve valere come un portafoglio che


I beni d investimento che offrono redditi noti
I A M O Beni d’Investimentoche Offrono Redditi Noti

  • Vale la relazione

  • FSIerTt (3.7) p. 52

  • dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in quanto sono di diritto a coloro che prestano il titolo)


Valore di un contratto forward con redditi noti

0 A M O

t

T

Valore di un contratto Forward:con redditi noti

  • Lunghi di forwardF vuol dire acquistare il sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T:

St

S0

che dispone del titolo S in T

Deve valere come un portafoglio


I beni d investimento che offrono un dividend yield noto
I A M O Beni d’Investimento che Offrono un «Dividend Yield Noto»

  • Vale la relazione

  • FSerqTt (3.10) p. 54

  • dove q è il dividend yield (dividendi in funzione del prezzo dell’azione)

  • Si assume che l’attività sottostante offra un reddito pari a qSt nel periodo t


Forward con dividend yields
Forward A M O con dividend yields

  • Supposto noto che chiamiamo dividend yield (annuo)

  • lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0,

  • in altre parole, dopo un giorno paga dividendi

  • dopo due giorni paga

  • in base a pag. 47 abbiamo che

  • ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S

  • volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT  I

  • da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT =

Se(r-q)T


Valore di un contratto forward con dividend yields noti

0 A M O

t

T

Valore di un contratto Forward:con dividend yields noti

  • Dato che gli interessi qSDt maturano “istantaneamente” (per piccoli Dt):

St

S0


ad