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B.Goetze, GFaI Berlin Stralsund, 25.7.2003 - PowerPoint PPT Presentation


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C. A. S. Planarisierung von Graphen und Netzwerken. B.Goetze, GFaI Berlin Stralsund, 25.7.2003. Überblick. Zur Historie VinetS-Aktivitäten zur Planarität Topologische Einbettung DMP für Graphen DMP für Netzwerke. Euler : Polyedergleichung

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Presentation Transcript

C

A

S

Planarisierung von Graphen und Netzwerken

B.Goetze, GFaI Berlin

Stralsund, 25.7.2003


Berblick
Überblick

  • Zur Historie

  • VinetS-Aktivitäten zur Planarität

  • Topologische Einbettung

  • DMP für Graphen

  • DMP für Netzwerke


Zur historie

Euler: Polyedergleichung

Kuratowski: Charakterisierung planarer Graphen, 1930

Tutte: Barycenter-Algorithmus, 1960

Demoucron, Malgrange, Pertuiset: Planaritätstest, « DMP-Algorithmus », 1964

Hopcroft, Tarjan: Planaritätstest in O(n), 1974

G. Kant: Geometrische Einbettung im Gitter, O(n), 1996

Boyer, Myrvold: Planare Einbettung in O(n), 2001

Zur Historie


Vinets aktivit ten zur planarit t
VinetS-Aktivitäten zur Planarität

  • Einarbeitung in Hopcroft-Tarjan (Stralsund)

  • Diplomarbeit zum Algorithmus von Boyer- Myrvold (Törsel)

  • Diplomarbeit zum DMP-Algorithmus (Haak)

  • Implementierung des Algorithmus von Kant (Haak)

  • Implementierung von DMP und Tutte in C++ (Goetze)

  • Problemanalyse zur Planarisierung von Netzwerken (Goetze, Scheffler)


Topologische einbettung

Übergang

Abstrakter Graph

Menge von Facetten

Planaritätsaussage

Topologische Einbettung


Topologische einbettung1

4

F6

2

3

5

6

F5

F1

8

9

F8

1

7

F0

11

12

F7

F4

F2

10

13

14

15

F3

16

F9

Topologische Einbettung


Topologische einbettung2

1

9

F7

F0

10

11

12

2

2

3

F5

13

5

6

6

F1

F8

8

12

4

F2

7

9

16

8

14

15

15

13

F6

F3

F9

F4

10

1

3

5

11

7

16

14

4

Topologische Einbettung

F0=(9,11,12)

F1=(5,9,6)

F2=(12,15,13)

. . .

F9=(7,16,1,4)


Topologische einbettung3

F6

F1

F5

F8

F0

F4

F7

F2

F3

F9

Topologische Einbettung

  • Äußere Facette nicht festgelegt


Topologische einbettung4

F0

F3

F9

F4

F2

F7

F5

F6

F8

F1

Topologische Einbettung

F0

F3

F2

F9

F7

F4

F8

F5

F6

F1


Dmp algorithmus

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Gegeben:

2-fach

zusammen-

hängender

Graph


Dmp algorithmus1

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Zyklus


Dmp algorithmus2

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Zyklus

topologisch

einbetten


Dmp algorithmus3

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Fragmentierung


Dmp algorithmus4

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Fragmentierung


Dmp algorithmus5

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus6

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus7

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus8

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus9

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus10

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus11

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente


Dmp algorithmus12

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Topologische

Einbettung

Also

Planarität


Geometrische einbettung

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung


Geometrische einbettung1

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Eine Facette

wird als

äußere

deklariert


Geometrische einbettung2

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Knoten der äußere

Facette werden

auf konvexem

Polygon

angepinnt


Geometrische einbettung3

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Kräftegleichgewicht


Geometrische einbettung4

11

1

5

x

x

x

x

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Triangulierung

 3-fach

zusammen-

hängend


Geometrische einbettung5

11

1

5

x

x

x

x

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Tutte

konvergiert,

Bild ausgewogen


Geometrische einbettung6

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung


Netzwerke
Netzwerke

  • Hyperkanten

  • Knoten mit Shapes (z.B. Rechtecke)

  • Pins; vorgeschriebene Reihenfolge

  • Knotenhierarchie


Netzwerk hyperkanten
Netzwerk: Hyperkanten

Reduktion: Hypergraph  Graph

Am Pseudoknoten beliebige Pin-Reihenfolge erlaubt


Netzwerk fixierte pins
Netzwerk: fixierte Pins

3

6

3

2

2

1

4

4

1

5

6

7

7

5



Netzwerk pin restriktionen
Netzwerk: Pin-Restriktionen

MPZ(v) = MPZ(Type)

XF-Restriktion: Klasse von fixierten Pins

Klasse von freien Pins


Netzwerk pin restriktionen1
Netzwerk: Pin-Restriktionen

kontextsensitive Restriktionen


Dmp unter pin restriktionen
DMP unter Pin-Restriktionen

partielle Einbettungen

partielle Pinzyklen


Dmp unter pin restriktionen1
DMP unter Pin-Restriktionen

Zuordnung: Fragment  Facette

Ist Zuordnung zulässig?

Sind die eintstehenden partiellen Pin-Zyklen an den beteiligten Kontaktknoten

zulässig?


Dmp unter pin restriktionen2
DMP unter Pin-Restriktionen

Erweiterbar zu Element von MPZ(v)?


Dmp unter pin restriktionen3
DMP unter Pin-Restriktionen

bool

allowedPartialPinCycle

(Type type,

Partial_Pin_Cycle partCycle);

In DMP wird Backtracking erforderlich



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