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B.Goetze, GFaI Berlin Stralsund, 25.7.2003

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C. A. S. Planarisierung von Graphen und Netzwerken. B.Goetze, GFaI Berlin Stralsund, 25.7.2003. Überblick. Zur Historie VinetS-Aktivitäten zur Planarität Topologische Einbettung DMP für Graphen DMP für Netzwerke. Euler : Polyedergleichung

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Presentation Transcript
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C

A

S

Planarisierung von Graphen und Netzwerken

B.Goetze, GFaI Berlin

Stralsund, 25.7.2003

berblick
Überblick
  • Zur Historie
  • VinetS-Aktivitäten zur Planarität
  • Topologische Einbettung
  • DMP für Graphen
  • DMP für Netzwerke
zur historie
Euler: Polyedergleichung

Kuratowski: Charakterisierung planarer Graphen, 1930

Tutte: Barycenter-Algorithmus, 1960

Demoucron, Malgrange, Pertuiset: Planaritätstest, « DMP-Algorithmus », 1964

Hopcroft, Tarjan: Planaritätstest in O(n), 1974

G. Kant: Geometrische Einbettung im Gitter, O(n), 1996

Boyer, Myrvold: Planare Einbettung in O(n), 2001

Zur Historie
vinets aktivit ten zur planarit t
VinetS-Aktivitäten zur Planarität
  • Einarbeitung in Hopcroft-Tarjan (Stralsund)
  • Diplomarbeit zum Algorithmus von Boyer- Myrvold (Törsel)
  • Diplomarbeit zum DMP-Algorithmus (Haak)
  • Implementierung des Algorithmus von Kant (Haak)
  • Implementierung von DMP und Tutte in C++ (Goetze)
  • Problemanalyse zur Planarisierung von Netzwerken (Goetze, Scheffler)
topologische einbettung
Übergang

Abstrakter Graph

Menge von Facetten

Planaritätsaussage

Topologische Einbettung
topologische einbettung1

4

F6

2

3

5

6

F5

F1

8

9

F8

1

7

F0

11

12

F7

F4

F2

10

13

14

15

F3

16

F9

Topologische Einbettung
topologische einbettung2

1

9

F7

F0

10

11

12

2

2

3

F5

13

5

6

6

F1

F8

8

12

4

F2

7

9

16

8

14

15

15

13

F6

F3

F9

F4

10

1

3

5

11

7

16

14

4

Topologische Einbettung

F0=(9,11,12)

F1=(5,9,6)

F2=(12,15,13)

. . .

F9=(7,16,1,4)

topologische einbettung3

F6

F1

F5

F8

F0

F4

F7

F2

F3

F9

Topologische Einbettung
  • Äußere Facette nicht festgelegt
topologische einbettung4

F0

F3

F9

F4

F2

F7

F5

F6

F8

F1

Topologische Einbettung

F0

F3

F2

F9

F7

F4

F8

F5

F6

F1

dmp algorithmus

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Gegeben:

2-fach

zusammen-

hängender

Graph

dmp algorithmus1

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Zyklus

dmp algorithmus2

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Zyklus

topologisch

einbetten

dmp algorithmus3

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Fragmentierung

dmp algorithmus4

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Fragmentierung

dmp algorithmus5

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus6

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus7

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus8

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus9

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus10

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus11

1

5

7

8

6

9

4

2

DMP-Algorithmus

Einbettung

der

Fragmente

dmp algorithmus12

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

DMP-Algorithmus

Topologische

Einbettung

Also

Planarität

geometrische einbettung1

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Eine Facette

wird als

äußere

deklariert

geometrische einbettung2

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Knoten der äußere

Facette werden

auf konvexem

Polygon

angepinnt

geometrische einbettung3

11

1

5

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Kräftegleichgewicht

geometrische einbettung4

11

1

5

x

x

x

x

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Triangulierung

 3-fach

zusammen-

hängend

geometrische einbettung5

11

1

5

x

x

x

x

3

7

8

6

9

4

10

2

Geometrische Einbettung

Tutte

konvergiert,

Bild ausgewogen

netzwerke
Netzwerke
  • Hyperkanten
  • Knoten mit Shapes (z.B. Rechtecke)
  • Pins; vorgeschriebene Reihenfolge
  • Knotenhierarchie
netzwerk hyperkanten
Netzwerk: Hyperkanten

Reduktion: Hypergraph  Graph

Am Pseudoknoten beliebige Pin-Reihenfolge erlaubt

netzwerk pin restriktionen
Netzwerk: Pin-Restriktionen

MPZ(v) = MPZ(Type)

XF-Restriktion: Klasse von fixierten Pins

Klasse von freien Pins

netzwerk pin restriktionen1
Netzwerk: Pin-Restriktionen

kontextsensitive Restriktionen

dmp unter pin restriktionen
DMP unter Pin-Restriktionen

partielle Einbettungen

partielle Pinzyklen

dmp unter pin restriktionen1
DMP unter Pin-Restriktionen

Zuordnung: Fragment  Facette

Ist Zuordnung zulässig?

Sind die eintstehenden partiellen Pin-Zyklen an den beteiligten Kontaktknoten

zulässig?

dmp unter pin restriktionen2
DMP unter Pin-Restriktionen

Erweiterbar zu Element von MPZ(v)?

dmp unter pin restriktionen3
DMP unter Pin-Restriktionen

bool

allowedPartialPinCycle

(Type type,

Partial_Pin_Cycle partCycle);

In DMP wird Backtracking erforderlich

ad