1.1 流体属性 1.2 作用在流体微团上力的分类 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性 1.4 流体静平衡微分方程 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律

1. 第1章 流体属性和流体静力学 1.1 流体属性 1.2 作用在流体微团上力的分类 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性 1.4 流体静平衡微分方程 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 1.6 液体的相对平衡问题 1.7 标准大气

2. 1.1 流体属性 1.1.1 连续介质的概念 • 流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的运动规律和作用力规律的学科，流体力学和空气动力学常用“介质”一词表示它所处理 的流体，流体包含液体和气体。 • 从微观角度而言不论液体还是气体其分子之间都存在间隙，但这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸L相比较都是微乎其微的 • 例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为 l＝10-8 mm，1mm3液体含 3×1021个分子，1mm3气体含 2.6×1016个分子;10-9mm3液体含 3×1012个分子， 10-9mm3气体含 2.6×107个分子

3. 1.1.1 连续介质的概念 • 当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特性变化如压强、密度等，而不是个别分子的行为。 • 流体力学和空气动力学所关注的正是这样的宏观特征而不是个别分子的微观特征。 • 如果我们将流体的最小体积单位假设为具有如下特征的流体质点：宏观上充分小，微观上足够大，则可以将流体看成是由连绵一片的、彼此之间没有空隙的流体质点组成的连续介质，这就是连续介质假设。 • 由连续质点组成的质点系称为流体微团。

4. 1.1.1 连续介质的概念 一般用努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足连续介质假设 ： l / L < < 1 对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中， l / L才可能等于甚至大于 1 一旦满足连续介质假设，就可以把流体的一切物理性质如密度、压强、温度及宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。

5. 1.1.1 连续介质的概念 在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为: 流体为均值时: 流体为非均值时: 其中 为流体空间的体积， 为其中所包含的流体质量。

6. y • A x z 1.1.1 连续介质的概念 下图为 时平均密度的变化情况(设 A点周围密度较 p点为大)： 当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积 时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程 l3量级时，其密度就不可能保持为常数。

7. θ F 固体 1.1.2 流体的易流性 • 流体与固体的宏观差别：固体－可保持一定体积和形状 • 液体－可保持一定体积不能保持形状 • 气体－既不能保持体积也能不保持形状 • 流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。 • 如图所示，固体能够靠产生一定的剪切角变形量θ来抵抗剪切应力 θ＝ τ / G

8. θ2 t1 t2 θ1 F 流体 1.1.2 流体的易流性 静止流体在剪应力作用下（不论所加剪切应力τ多么小，只要不等于零）将产生持续不断的变形运动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流体的易流性。

9. 1.1.3 流体的压缩性与弹性 流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性，而抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性。 压缩性系数定义为单位压强差所产生的体积改变量（相对）： 体积弹性模量定义为产生单位相对体积变化所需的压强增高：

10. 1.1.3 流体的压缩性与弹性 当 E 较大时 βp 较小流体不容易被压缩，反之则容易被压缩。液体的 E 较大，通常可视为不可压缩流体，气体的 E 通常较小且与热力过程有关，故一般认为气体具有压缩性。 由于 ，E还可写为： 后面讲到高速流动时会证明 ，即音速的平方等于压强 对密度的变化率。所以气体的弹性决定于它的密度和声速：

11. 1.1.3 流体的压缩性与弹性 飞行器的飞行速度 u 和扰动的传播速度 a的比值称为马赫数： 由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可看成是气体相对压缩性的一个指标。 当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响相对较小（或一定速度、压强变化条件下，密度的变化可忽略不计），从而低速气体有可能被当作不可压缩流动来处理。

12. 1.1.3 流体的压缩性与弹性 反之当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响相对较小，即压缩性影响相对较大（或一定速度、压强变化条件下，密度的变化不能忽略不计），从而气体就不能被当作不可压缩流动来处理，而必须考虑流动的压缩性效应。 因此尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分为不可压流动和可压缩流动。可以证明，当马赫数小于0.3时，气体的压缩性影响可以忽略不计。

13. 1.1.4 流体的粘性 实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂浮物可以看到粘性的存在。下图直匀流流过平板表面的实验表明了粘性的影响：

14. 1.1.4 流体的粘性 • 由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间无滑移。 • 任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦速度有变慢趋势，反过来内层流体受到外层流体摩擦拖拽其速度有变快趋势。 • 流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。

15. 流体 U A h θ2 t1 t2 θ1 F 1.1.4 流体的粘性 流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。 以前述流体剪切实验为例， 牛顿（1686）发现，流体作用在平板上的摩擦力正比于速度U 和平板面积 A，反比于高度 h，而μ是与流体介质属性有关的比例常数： F=µAU/h

16. 1.1.4 流体的粘性 设  表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则 对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线，则粘性剪切应力可写为 这就是著名的牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速度梯度有关，与物性有关。

17. 1.1.4 流体的粘性 从牛顿粘性公式可以看出： 1. 流体的剪应力与压强 p 无关。 2. 当τ≠ 0 时， ，无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发生变形运动。 3. 当 时，τ＝0，即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，流体不存在静摩擦力。 因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。

18. 1.1.4 流体的粘性 速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率 dθ/dt。如图所示： u+du dyd u dudt ∴d=dudt/dy d/dt=du/dy

19. 1.1.4 流体的粘性 • 综上所述： • 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相对运动） • 流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运动的能力 • 流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪应力或摩擦力 • 在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有关

20. 1.1.4 流体的粘性 液体和气体产生粘性的物理原因不同，前者主要来自于液体分子间的内聚力，后者主要来自于气体分子的热运动。因此液体与气体动力粘性系数随温度变化的趋势相反： 液体： 温度升高，μ变小，反之变大 气体： 温度升高，μ变大，反之变小 液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式等。

21. 1.1.4 流体的粘性 在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在式子中μ和ρ往往以（μ/ ρ）的组合形式出现，用符号ν表示 空气粘性不大,初步近似可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为理想流体。

22. 1.2 作用在流体微团上力的分类 按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力两类 彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力。 例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，彻体力也称为体积力或质量力。

23. 1.2 作用在流体微团上力的分类 由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往往写为分量形式： 其中 是微团体积，ρ为密度， 为作用于微团的彻体力，i 、j、 k分别是三个坐标方向的单位向量，fx、fy、fz分别是三个方向的单位质量彻体力分量 。

24. n ΔP ΔT ΔA 1.2 作用在流体微团上力的分类 表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。 由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：

25. 1.2 作用在流体微团上力的分类 法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力： 上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来说则是外力。 流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应力完全是由粘性产生的，而流体的粘性力只有在流动时才存在，静止流体是不能承受切向应力的。

26. 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性 理想和静止流体中的法向应力称为压强 p（注），其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是[力]/[长度]2，单位为（N/m2）或 （帕：pa） （ 注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向的法向力的平均值，加负号 ） 在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是位置的函数 P=P(x,y,z),但在同一点处压强不因受压面方位不同而变化，这个结果称为理想流体内压强是各向同性的。

27. ·P y n B pn px dy pz o dx dz A C x z py 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性 如讨论P点处压强，在周围取如图微元4面体ABCO,作用在各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于dx、dy、dz 的取法任意，故面ABC的法线方向n方向也是任意的。 分别沿 x、y、z三个方向建立力的平衡关系： x方向合外力＝质量×加速度（x方向）

28. 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性 方程左端等于： 方程右端等于： 三阶小量≈0，由此可得： 同理可得： 即： 因为图中的n方向为任取，故各向同性得证。

29. y dy ·P dz x dx z 1.4 流体静平衡微分方程 下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律。 在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系 oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一点P（x,y,z）,然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度 dx,dy,dz, 划出一微元六面体作为分析对象:

30. y dy ·P dz x dx z 1.4 流体静平衡微分方程 假设： 六面体体积：dτ=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z 中心点压强：p = p（x,y,z） 中心点密度： ρ =ρ（x,y,z） 中心点处三个方向的单位质量彻体力: fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为 x 方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。

31. 1.4 流体静平衡微分方程 x方向的表面力为： x方向的彻体力为： 流体静止，则 x 方向的合外力为零：

32. 1.4 流体静平衡微分方程 两边同除以 dτ=dxdydz 并令 dτ趋于零，可得 x方向平衡方程： y, z 方向同理可得： 流体平衡微分方程 表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻体力在该方向有分量造成缘故。

33. 1.4 流体静平衡微分方程 将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，得到： 此式左端是个全微分： 平衡要求右端括号也是某函数Ω=Ω（x,y,z）的全微分dΩ，称Ω为彻体力的势函数，或称彻体力有势。

34. 1.4 流体静平衡微分方程 根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个彻体力分量 fx，fy，fz满足下列关系： 这就是平衡的必要条件，即平衡的必要条件是彻体力为有势力，换句话说：只有在势力作用下流体才可能平衡。 重力、惯性力和电磁力都为有势力。

35. 1.4 流体静平衡微分方程 当彻体力有势时，设彻体力与势函数的关系为： 则平衡微分方程可写为： 如果我们知道某一点的压强值 pa和彻体力势函数Ωa的值,则任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出：

36. p=c · · · · · · 等压面 1.4 流体静平衡微分方程 等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面 在等压面上满足： 或： 上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足 dp=0，上方程称为等压面方程

37. 等压面 1.4 流体静平衡微分方程 等压面方程还可写为： 其中： 为彻体力向量。 为等压面上的向径 上式表明：等压面处处与彻体力相正交。

38. a a 3. 在水平向右加速容器中的液体，合成的彻体力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面 g 1.4 流体静平衡微分方程 例如： 1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面 2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水平面

39. y p0 y 。 g x 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 设封闭容器自由面处压强为p0，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为 y 处的某单位质量流体，其彻体力可表示为： 其中g为重力加速度。

40. 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 代入平衡微分方程 得： 积分得（注意重度γ＝ρg）： 此式称为平衡基本方程。 上式表明，在平衡流体中 p/γ与 y之和为常数。显然，静止流体中等压面为水平面 y＝c

41. 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 的几何意义为: y ------代表所研究流体质点在坐标系中所处高度，称为高度水头 p/γ---代表所研究流体质点在真空管中上升高度，称为压力水头 H-----由于方程量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之和称为总水头，如下图所示：

42. y 真空 p0 H 1 y2 。 。 y x 1 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 对于不同高度上的1、2两点，平衡基本方程可以写为: 表明平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相转换，但总水头保持不变。

43. 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 的物理意义为: y ----代表单位重量流体的重力势能简称势能 p/γ---代表单位重量流体的压力势能简称压力能 H ----代表平衡流体中单位重量流体的总能量 平衡基本方程 表明: 平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变

44. y p0 。 g x h H’ y 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 假设自由液面距水平轴距离为H’，则自由面与 y 处流体满足： 其中 h = H’-y 是所论液体距自由面的深度

45. 1.5 重力场中静止液体中的压强分布规律 式 表明： • 平衡流体中距自由面深 h处的压强来自于两部分的贡献： • 一是上方单位面积上的液重γh，因此压强随距自由面的淹没深度而线性增加 • 二是自由面上的压强贡献 P0，而该贡献处处相同与深度无关 当自由面为大气压 pa 时，距自由面深h处的压强可表为：

46. 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 • 压强的计量： • 以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，如上式中的 p • 以大气压 pa为参考压强，高出大气压部分的压强称为相对压强 pb= p-pa • 以大气压 pa为参考压强，不足大气压部分的压强称为真空度 pv= pa-p • 对于同一个压强值 p，其相对压强 pb 与其真空度 pv之间的关系为 pb= -pv

47. 湿式大气压力计 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 例：湿式大气压力表的工作原理 有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达大气压的数值的。一根上端封闭的长玻璃管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的 上端是真空的 。

48. 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律 按式 ，玻管下面与盒中汞面等高的A处(距上表面的深度为h)的压强 pA 是 而 pA 和大气压 pa 相等，即： 这样，要计算大气压的值的话，只要把气压表上读下来的汞柱高度米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说汞柱高就行了，一个标准气压是760毫米汞柱。

49. z g y 1.6 液体的相对平衡问题 在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力(达朗伯原理)，则同样可以利用平衡微分方程求解问题。 如图圆筒作匀角速转动 ，求其中液体的等压面形状和压强分布规律。

50. z g y y r θ ω2y ω2r ω2x x 1.6 液体的相对平衡问题 将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为 z,半径为 r 处单位质量流体，会受到一个向下的彻体力大小为g ,此外还受到一个向外的惯性力大小为ω2r。 在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为：