MECCANICA QUANTISTICA

1. MECCANICA QUANTISTICA

3. 1o POSTULATO Una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (posizione, tempo) Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema. Esempi: Per una singola particella che si muove in una dimensione: Per una singola particella che si muove in tre dimensioni: Per due particelle che si muovono in tre dimensioni:

4. (x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER non è un’onda fisica. èun’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.

5. Newton Schrödinger Soluzione: x=x(t)(x) p=p(t)

6. Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Classica Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare: V = 0

7. Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Quantistica V = 0

8. Ψ(x) = eikx è una soluzione ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione. La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx

9. Qualunque valore di k è accettabile Qualunque valore di E è accettabile Energia NON quantizzata Energia è solo Ecin p = ± k ħ

10. Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k  k=2π/ λ p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ λ = h/p ipotesi di de Broglie Per una particella libera l’equazione di Schrödinger implica la relazione di de Broglie. PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger E’ comunque un POSTULATO

11. funzione d’onda Ψ

12.  • HA UNA INTERPRETAZIONE • HA DEI VINCOLI • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

13. INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA 1 • Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce • Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio • Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di ||2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto • La quantità fisicamente significativaè ||2 INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA 

14. INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA  Se la funzione d’onda ha valore (x) nel punto x, la probabilità di trovare una particella tra x e x+dx è proporzionale a |(x)|2dx Max Born

15. densità di probabilità Probabilità sempre positiva e reale Interpretazione della funzione d’onda in 1-D Ψ(x)  ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa Probabilità

16. Funzione d’onda Densità di probabilità Ψ(x) positiva e negativa |Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)*  sempre positiva e reale Ψ Ψ = Ψr + i Ψi Ψ* = Ψr - i Ψi |Ψ|2 = Ψr2 + Ψi2

17. Probabilità Densità di probabilità = probabilità per unità di volume Elemento di volume Interpretazione della funzione d’onda in 3-D Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a |(x,y,z)|2d P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*dx dy dz

18. Voi siete probabilmente qui Meccanica classica : deterministica Meccanica quantistica: probabilistica

19. PARTICELLA LIBERA

20. Re(Ψ) Tutte le energie sono permesse posizione x

21. NORMALIZZAZIONE Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione alloraN Ψè pure una soluzione Prova:

22. Interpretazione di Born e normalizzazione della  • Deve valere la condizione: La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1 • Se la  soddisfa questa condizione viene detta normalizzata. • Se la  non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla

23.  • HA UNA INTERPRETAZIONE • HA DEI VINCOLI • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

24.  X ||2 L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla  In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale. V X Se la  avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni La  deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale

25. Ψ non è continua dΨ/dx e d2Ψ/dx2 non sono definite L’eq. di Schrödinger non è definita

26. dΨ/dx non è continua Quindi d2Ψ/dx2 non è definita L’eq. di Schrödinger non è definita

27. P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli

29. VINCOLI SULLA FORMA DELLA  LEGATIALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR 2 • deve essere continua • La derivata seconda della  deve essere definita •  deve essere a valore singolo •  deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata

30. L’INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA  I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la  sarebbe fisicamente inaccettabile ENERGIA QUANTIZZATA

31.  • HA UNA INTERPRETAZIONE • HA DEI VINCOLI • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

32. COME OTTENIAMO ALTRE INFORMAZIONI (OLTRE ALLA POSIZIONE) DALLA Ψ ?

33. Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili” • Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, … • Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema

34. 2o POSTULATO Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica Definizione generale di operatore Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione

35. La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x). • Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale: •  f(x) = λ f(x) • f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovaloreλ Operatore d/dx sin(kx) non è un’autofunzione ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k

36. OSSERVABILE OPERATORE POSIZIONEx MOMENTOpx ECINETICA EPOTENZIALEV(x) ETOTALEE=T+V x V(x)

37. COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA  ? 3 3o POSTULATO In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori

38. Autovalori ed autofunzioni (operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione) (operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)

39. OPERATORE HAMILTONIANO Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger Risolvere l’equazione di Schrödingervuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema

40. OPERATORE MOMENTO LINEARE La componente px del momento lineare della particella è data da: V=0 particella libera. 1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx Autovalore px = kħ Particella si muove per x crescenti 2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx Autovalore px = -kħ Particella si muove per x decrescenti

41. sin(2x) sin(x) ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4

42. OPERATORE ENERGIA CINETICA E CURVATURA DELLA  ALTA CURVATURA ALTA ENERGIA CINETICA BASSA CURVATURA BASSA ENERGIA CINETICA In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura

43. REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T  REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T POSIZIONE x

44.  ENERGIA CINETICA T ENERGIA

45. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE 1 FENDITURA A DESCRIZIONE B

46. 2 FENDITURE A B A B DESCRIZIONE CLASSICA PAB = PA + PB DESCRIZIONE QUANTISTICA AB = A + B PAB = |A + B|2 = |A|2 + |B|2 + A* B+B* A PA PBinterferenza

47. Importante : in nessun modopossiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo. Possiamo solo predireprobabilità.

48. PARTICELLA LIBERA • MOTOPER x CRESCENTI+ = exp(ikx) • DECRESCENTI- = exp(-ikx) Una misura del momento lineare della particella dà +kħ se=+ = exp(ikx)oppure -kħ se=-= exp(-ikx). • Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove. La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione. Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni.  = c+ + + c- -

49. Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale. • Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2 • Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo • Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψdel sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore+kħ (o -kħ) • Ψ+ • ΨmisuraΨ- COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

50. Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito. Gatto di Schrödinger SHUT UP AND CALCULATE R. Feynman