Meccanica quantistica
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MECCANICA QUANTISTICA. 1 o POSTULATO. Una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (posizione, tempo). Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema. Esempi:

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MECCANICA QUANTISTICA

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Presentation Transcript


Meccanica quantistica

MECCANICA QUANTISTICA


Meccanica quantistica

1o POSTULATO

Una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (posizione, tempo)

Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema.

Esempi:

Per una singola particella che si muove in una dimensione:

Per una singola particella che si muove in tre dimensioni:

Per due particelle che si muovono in tre dimensioni:


Meccanica quantistica

(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER

non è un’onda fisica.

èun’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.


Meccanica quantistica

Newton Schrödinger

Soluzione:

x=x(t)(x)

p=p(t)


Meccanica quantistica

Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Classica

Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare:

V = 0


Particella libera in moto lungo l asse x meccanica quantistica

Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Quantistica

V = 0


Meccanica quantistica

Ψ(x) = eikx è una soluzione

ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione.

La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx


Meccanica quantistica

Qualunque valore di k è accettabile

Qualunque valore di E è accettabile

Energia NON quantizzata

Energia è solo Ecin

p = ± k ħ


Meccanica quantistica

Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx

cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k  k=2π/ λ

p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ

λ = h/p ipotesi di de Broglie

Per una particella libera l’equazione di

Schrödinger implica la relazione di de Broglie.

PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger

E’ comunque un POSTULATO


Meccanica quantistica

funzione d’onda Ψ


Meccanica quantistica

  • HA UNA INTERPRETAZIONE

  • HA DEI VINCOLI

  • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA


Interpretazione della funzione d onda

INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA

1

  • Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce

    • Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio

  • Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di ||2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto

  • La quantità fisicamente significativaè ||2

    INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA 


Interpretazione di born della

INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA 

Se la funzione d’onda ha valore (x) nel punto x, la probabilità di trovare una particella tra x e x+dx è proporzionale a |(x)|2dx

Max Born


Meccanica quantistica

densità di probabilità

Probabilità

sempre positiva e reale

Interpretazione della funzione d’onda in 1-D

Ψ(x)  ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa

Probabilità


Meccanica quantistica

Funzione d’onda

Densità di probabilità

Ψ(x)

positiva

e negativa

|Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)*

 sempre positiva e reale

Ψ

Ψ = Ψr + i Ψi

Ψ* = Ψr - i Ψi

|Ψ|2 = Ψr2 + Ψi2


Meccanica quantistica

Probabilità

Densità di probabilità =

probabilità per unità di volume

Elemento di volume

Interpretazione della funzione d’onda in 3-D

Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a |(x,y,z)|2d

P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*dx dy dz


Meccanica quantistica

Voi siete probabilmente qui

Meccanica classica : deterministica

Meccanica quantistica: probabilistica


Meccanica quantistica

PARTICELLA LIBERA


Meccanica quantistica

Re(Ψ)

Tutte le energie

sono permesse

posizione x


Meccanica quantistica

NORMALIZZAZIONE

Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger

Se Ψ è una soluzione

alloraN Ψè pure una soluzione

Prova:


Interpretazione di born e normalizzazione della

Interpretazione di Born e normalizzazione della 

  • Deve valere la condizione:

La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1

  • Se la  soddisfa questa condizione viene detta normalizzata.

  • Se la  non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla


Meccanica quantistica

  • HA UNA INTERPRETAZIONE

  • HA DEI VINCOLI

  • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA


Meccanica quantistica

X

||2

L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla 

In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale.

V

X

Se la  avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni

La  deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale


Meccanica quantistica

Ψ non è continua

dΨ/dx e d2Ψ/dx2 non sono definite

L’eq. di Schrödinger non è definita


Meccanica quantistica

dΨ/dx non è continua

Quindi d2Ψ/dx2 non è definita

L’eq. di Schrödinger non è definita


Meccanica quantistica

P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli


Vincoli sulla forma della legati all interpretazione di bohr

VINCOLI SULLA FORMA DELLA  LEGATIALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR

2

  • deve essere continua

  • La derivata seconda della  deve essere definita

  •  deve essere a valore singolo

  •  deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata


L interpretazione di born e i vincoli sulla

L’INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA 

I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia

Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la  sarebbe fisicamente inaccettabile

ENERGIA QUANTIZZATA


Meccanica quantistica

  • HA UNA INTERPRETAZIONE

  • HA DEI VINCOLI

  • CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA


Meccanica quantistica

COME OTTENIAMO

ALTRE INFORMAZIONI

(OLTRE ALLA POSIZIONE)

DALLA Ψ

?


Meccanica quantistica

  • Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili”

  • Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, …

  • Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema


Meccanica quantistica

2o POSTULATO

Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica

Definizione generale di operatore

Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione


Meccanica quantistica

  • La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x).

  • Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:

  • Â f(x) = λ f(x)

  • f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovaloreλ

Operatore d/dx

sin(kx) non è un’autofunzione

ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k


Meccanica quantistica

OSSERVABILE OPERATORE

POSIZIONEx

MOMENTOpx

ECINETICA

EPOTENZIALEV(x)

ETOTALEE=T+V

x

V(x)


Come si ottengono le informazioni oltre la posizione dalla

COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA  ?

3

3o POSTULATO

In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori


Meccanica quantistica

Autovalori ed autofunzioni

(operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)

(operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)


Meccanica quantistica

OPERATORE HAMILTONIANO

Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger

Risolvere l’equazione di Schrödingervuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema


Meccanica quantistica

OPERATORE MOMENTO LINEARE

La componente px del momento lineare della particella

è data da:

V=0 particella libera.

1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx

Autovalore px = kħ

Particella si muove per x crescenti

2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx

Autovalore px = -kħ

Particella si muove per x decrescenti


Meccanica quantistica

sin(2x)

sin(x)

ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI

sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4


Meccanica quantistica

OPERATORE ENERGIA CINETICA

E

CURVATURA DELLA 

ALTA CURVATURA

ALTA ENERGIA CINETICA

BASSA CURVATURA

BASSA ENERGIA CINETICA

In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura


Meccanica quantistica

REGIONE CON

ALTO CONTRIBUTO A T

REGIONE CON

BASSO CONTRIBUTO

A T

POSIZIONE x


Meccanica quantistica

ENERGIA CINETICA T

ENERGIA


Principio di sovrapposizione

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

1 FENDITURA

A

DESCRIZIONE

B


2 fenditure

2 FENDITURE

A

B

A

B

DESCRIZIONE CLASSICA

PAB = PA + PB

DESCRIZIONE QUANTISTICA

AB = A + B

PAB = |A + B|2 =

|A|2 + |B|2 + A* B+B* A

PA PBinterferenza


Meccanica quantistica

Importante :

in nessun modopossiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo.

Possiamo solo predireprobabilità.


Meccanica quantistica

PARTICELLA LIBERA

  • MOTOPER x CRESCENTI+ = exp(ikx)

  • DECRESCENTI- = exp(-ikx)

    Una misura del momento lineare della particella dà

    +kħ se=+ = exp(ikx)oppure

    -kħ se=-= exp(-ikx).

    • Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove.

      La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione.

      Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni.

       = c+ + + c- -


Meccanica quantistica

  • Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale.

  • Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2

  • Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo

  • Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψdel sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore+kħ (o -kħ)

  • Ψ+

  • ΨmisuraΨ-

    COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA


Meccanica quantistica

Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati

Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito.

Gatto di Schrödinger

SHUT UP AND CALCULATE

R. Feynman


4 o postulato

4o POSTULATO

Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore medio o valore atteso dell’osservabile è dato da

Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico.


Meccanica quantistica

Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN.

La media di Ω è data dalla regola:

Il 4o postulato della meccanica quantistica afferma che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso.


Meccanica quantistica

  • Se  è un’autofunzione di Ω

Ogni osservazione diΩ da come risultato ωi

<Ω> = ωi


Meccanica quantistica

  • Se  non è un’autofunzione di Ω

1

0


Meccanica quantistica

Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo.

L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola misura con probabilità ci2.

Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un insieme il valore atteso di < Ω > può essere un valore continuo.


Meccanica quantistica

POSTULATI

Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (r,t)

Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica

Postulato 3:

Postulato 4:


Meccanica quantistica

`

P

.

A

.

M

.

D

i

r

a

c

(

1

9

2

9

)

"

T

h

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v

e

.

"


Meccanica quantistica

-e

F

+Ze

ATOMO e FISICA CLASSICA

Un elettrone in moto attorno al nucleo

Moto circolare : l’elettrone accelera

Cariche accelerate emettono radiazione

L’elettroneperde energia

Cade sul nucleo in circa 10-9 secondi

Variando il moto la frequenza emessa varia con continuità

Il modello planetario non conduce ad atomi stabili


Meccanica quantistica

ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA

Alla particella è associata un’onda

(a) Solo onde di lunghezza d’onda  opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva)

(b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano

= h/mv

solo certi valori di energia esistono


Meccanica quantistica

Supponiamo di conoscere esattamente

il momento della particella

Ψ(x) = Aeikx

la particella si muove verso destra con momento px = +kħ.

Quale è la posizione della particella?

Ψ* Ψ = A2 e-ikx eikx = A2

C’è una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dell’asse x

CONCLUSIONE:

Conosciamo il momento della particella esattamente

Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione


Meccanica quantistica

Supponiamo di conoscere esattamente

la posizione della particella

Posizione

della particella


Meccanica quantistica

  • Per ottenere una  localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure eikx e e-ikx) con diversi k

  • Ogni funzione eikx corrisponde ad un diverso momento lineare

  • Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento

CONCLUSIONE:

Conosciamo la posizione della particella esattamente

Ma non sappiamo NULLA del suo momento


Meccanica quantistica

Microscopio

Fotone

Microscopio

Elettrone

Fotone

Elettrone

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

Illuminiamo l’elettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio

L’incertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza d’onda della luce

Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza d’onda corta


Meccanica quantistica

  • E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha energia grande

  • Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone

  • Ma per determinare il suo momento accuratamente, l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole

  • Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga

  • Luce di lunghezza d’onda corta:

    misura accurata della posizione, ma non del momento

  • Luce di lunghezza d’onda lunga:

  • misura accurata del momento, ma non della posizione


Meccanica quantistica

Misura della posizione di un elettrone

L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella.

Essenza del principio di indeterminazione.


Meccanica quantistica

Misure della posizione


Meccanica quantistica

L’esperimento assume che, mentre prima dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di misurare che introduce l’incertezza disturbando la posizione e il momento della particella.

Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.


Ruolo dell osservatore in meccanica quantistica

Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica

  • L’osservatore non è obiettivo e passivo

  • L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente

  • Questo è noto come realtà soggettiva


Principio di indeterminazione di heisenberg

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

posizione momento

Indeterminazione

nel momento

Indeterminazione

nella posizione

  • E’ impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella

  • L’ interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è:

Se x oppure px tendono a zero, l’altra osservabile deve tendere ad infinito.


Meccanica quantistica

Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili ‘coniugate’ come posizione e momento.

Tuttavia

Una precisione arbitraria èpossibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in un’altra


Meccanica quantistica

Implicazioni

  • E’ impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento,

  • cioè Δx=0 e Δp=0

  • Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore

  • Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno


Meccanica quantistica

Il tempo e l’energia

Se un sistema permane in uno stato per un tempo t, l’energia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un erroreE.

Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia


Meccanica quantistica

n = 3

n = 2

n = 1

Intensità

Frequenza

Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza.

Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media

½ ~ 10-8 s

Esiste una corrispondente ‘dispersione’

nelle frequenza emesse.

Larghezza naturale della linea


Se la costante di planck fosse molto pi grande

Se la costante di Planck fosse molto più grande...


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