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第 41 课时 操作探究型问题 PowerPoint PPT Presentation


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考向互动探究. 考向互动探究. 第 41 课时 操作探究型问题. 图 41 - 1. 第 41 课时 ┃ 考向互动探究. 考向互动探究. 探究一、折叠剪拼操作探究型问题. 例 1 . [2013• 北京 ] 阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图 41 - 1① 所示,在边长为 a(a>2) 的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE = BF = CG = DH = 1 ,当∠ AFQ =∠ BGM =∠ CHN =∠ DEP = 45° 时,求正方形 MNPQ 的面积.. 考向互动探究. 第 41 课时 ┃ 考向互动探究.

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第 41 课时 操作探究型问题

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考向互动探究

考向互动探究

第41课时 操作探究型问题


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图41-1

第41课时┃考向互动探究

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探究一、折叠剪拼操作探究型问题

例1.[2013•北京]阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:如图41-1①所示,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.

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第41课时┃考向互动探究

小明发现:分别延长QE、MF、NG、PH,交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W,可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图41-1②).

请回答:

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为________;

(2)求正方形MNPQ的面积;

(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:

a

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第41课时┃考向互动探究

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例题分层分析(1)△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形,拼成一个新的正方形怎么拼?边长多少?动手试试.

(2)要求正方形MNPQ的面积,可以利用转化思想,外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积.

(3)按图41-1的作法补全图41-2,外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积.

第41课时┃考向互动探究

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解 析

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解题方法点析  此类问题按照要求把一个图形先分成若干块,然后拼接成一个符合条件的图形,常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图.

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图41-3

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探究二、中心对称操作探究问题

例2.[2013•陕西]问题探究

(1)请在图41-3①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;

(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.

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问题解决

(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.

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例题分层分析(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分?利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢?利用了圆的什么性质?

(2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢?利用了正方形的什么性质?如果正方形内有一点M,要求其中一条直线必须过点M,如何分割呢?

(3)把正方形改为菱形呢?

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解 析

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解 析

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解 析

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解 析

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解题方法点析  平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形.过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形.

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例3.[2013•山西改编]数学活动——求重叠部分的面积.

问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:

如图41-4,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G.

求重叠部分(△DCG)的面积.

图41-4

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探究三、平移旋转操作探究问题

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图41-5

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(1)独立思考:请解答老师提出的问题;

(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图41-5,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程.

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例题分层分析(1)为求△DCG的面积,需要研究该三角形的边角特征;

(2)当将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,此时G点是AH的中点吗?△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗?

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解 析

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解 析

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解题方法点析  此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间.解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理.关键是掌握好平移前后,旋转前后的图形是全等形.平移前后,每一个点移动的方向相同、距离相等;旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同.

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