§9.6 对坐标的曲线积分

1. §9.6 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系

2. [ ] 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 • 变力沿曲线所作的功 质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求变力F(xy)所作的功 >>>光滑曲线 求功的过程 • 把L分成n个小弧段L1L2Ln • 变力在Li上所作的功的近似值为 • 变力在L上所作的功的近似值为 • 变力在L上所作的功的精确值为 P(ii)xiQ(ii)yi, 其中是各小弧段长度的最大值 提示 F在Li上所作的功WiF(ii)si

3. 如果极限 总存在 则称此极限为函数P(xy) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分 记作  • 如果极限 总存在 则称此极限为函数Q(xy) 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分 记作  • 对坐标的曲线积分 • 设函数P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有界 • 把L分成n个有向小弧段L1L2Ln其中Li是从(xi1yi1)到(xiyi)的小弧段 记xixixi1yiyiyi1 • 在小弧段Li上任取一点(i) • 令为各小弧段长度的最大值

4. 对坐标的曲线积分 说明 • 在积分中P(xy)、Q(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段 • 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

5. 对坐标的曲线积分 说明 • 设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义 我们定义

6. 对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 上式可记为 其中F(xy)P(xy)iQ(xy)jdrdxidyj 类似地 有 其中AP(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)kdrdxidyjdzk

7. 则 • 对坐标的曲线积分的性质 • 性质1设、为常数 则 • 性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2 • 性质3设L是有向光滑曲线弧L是L的反向曲线弧 则

8. 二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和 质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素 >>>图形 dW F[(t)(t)]dr 提示 F[(t)(t)](P[(t)(t)]Q[(t)(t)]) dr(dx dy)((t)dt(t)dt)

9. 于是 二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和 质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素 dW F[(t)(t)]dr P[(t)(t)](t)dtQ[(t)(t)](t)dt

10. 二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和 质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算

11. 设P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续设P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点对应的参数分别 为和 则曲线积分 存在 并且 • 定理(对坐标的曲线积分的计算公式) 应注意的问题 下限a对应于L的起点 上限对应于L的终点不一定小于

12. 设L由x(t)y(t)给出 L以t为起点以t为终点 则 讨论 设空间曲线由x(t)y(t)z(t)给出以t为起点以t为终点 问 提示

13. 上从点A(11)到点B(1 1)的一段弧 设L由x(t)y(t)给出 L以t为起点以t为终点 则 解 第一种方法以x为积分变量 L分为AO和OB两部分

14. 上从点A(11)到点B(1 1)的一段弧 设L由x(t)y(t)给出 L以t为起点以t为终点 则 解 第二种方法以y为积分变量 在L上xy2y从1变到1因此

15. (1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段 解 (1)L的参数方程为xacosyasin从0变到 因此 (2)L的方程为y0x从a变到a因此

16. (1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的有向折线OAB 解 (1)Lyx2x从0变到1所以 (2)Lxy2y从0变到1所以

17. (1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的有向折线OAB 解 (3)OAy0x从0变到1 ABx1y从0变到1 011

18. 到点B(0 0 0)的直线段 解 直线段AB的方程是 化为参数方程得 x3ty2tzt t从1变到0所以

19. 按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W 椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到  解 质点在点M(xy)处所受到的力为 提示

20. 按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W 解 质点在点M(xy)处所受到的力为

21. 三、两类曲线积分之间的联系 设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处的单位切向量L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点所对应的参数分别为a和b则 说明 指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量

22. 三、两类曲线积分之间的联系 设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处的单位切向量L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点所对应的参数分别为a和b则

23. 或 三、两类曲线积分之间的联系 设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处的单位切向量 则 类似地 设(cos cos cos)为有向曲线弧上点(xyz)处的单位切向量 则 其中A(PQR)drds(dxdydz)dr称为有向曲线元