9 無窮級數

1. 9 無窮級數 Infinite Series

2. 9.1 數列 9.2 級數和收歛 9.3 積分檢定和 p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式檢定 9.7 泰勒多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

3. P.443 Ch9 無窮級數 9.6 比例與根式檢定(Ratio Test and Root Test)

4. P.444 Ch9 無窮級數 例 1利用比例檢定 決定級數 的歛散性。 解　因為 an = 2n/n!，可計算如下。 因此級數收歛。

5. P.444 Ch9 無窮級數 例 2利用比例檢定 決定下列級數的歛散性。 a. b. 解a.|an+1/an| 的極限小於 1，級數收歛。 b.|an+1/an| 的極限大於 1，級數發散。

6. 決定級數 是否收歛。 解|an+1/an| 的極限是 1。 比例檢定無法判定，我們可以試試其他的檢定，例如， 交錯級數檢定。先證 an+1≤an，令 P.445 Ch9 無窮級數 例 3比例檢定失效

7. P.445 Ch9 無窮級數 例 3（續） 導函數是 當 x > 1 時，導數恆負，所以 f 是遞減函數。再由羅必 達規則 因此，由交錯級數檢定，此級數收歛。

8. P.446 Ch9 無窮級數 定理9.18根式檢定

9. P.446 Ch9 無窮級數 例 4利用根式檢定 決定級數 是否收歛。 解　利用根式檢定，計算如下 由於極限值小於 1，因此級數收歛。

10. 1. 觀察一般項是否趨近 0？如果不是的話，級數發散。 2. 是否級數有特別的形式──幾何級數，p-級數，望遠 鏡級數，或交錯級數？ 3. 積分檢定，比例檢定或根式檢定能否用上？ 4. 是否能有一個恰當的已知級數可以用來互相比較？ P.447 Ch9 無窮級數 檢定歛散性的指導原則

11. P.447 Ch9 無窮級數 例 5以不同的策略選擇適當的檢定 決定下列級數是否收歛。 a. b. c. d. e. f. g. 解 a. 此級數的一般項趨近於 1/3 ，由於極限非 0，所以發散。 b. 此級數是無窮等比級數，公比 r =π/6 小於 1，所以收歛。

12. P.447 Ch9 無窮級數 例 5（續） c. 由於函數 f (x) = xe–x2很容易積分，應該利用積分檢定來推得此級數收歛。 d. 此級數的一般項可以與調和級數的一般項比較，利用極限互比檢定可以推得此級數發散。 e. 此級數是交錯級數，一般項趨近於 0，由於 an+1≤an，利用交錯級數檢定可以推得此級數收歛。 f. 此級數的一般項帶有階乘，這表示可以嘗試比例檢定，檢定的結果是此級數發散。 g. 此級數的一般項帶有 n 階指數，這表示可以嘗試根式檢定，檢定的結果是此級數收歛。

13. P.448 Ch9 無窮級數 判斷級數歛散性的各種檢定一覽表

14. P.448 Ch9 無窮級數 判斷級數歛散性的各種檢定一覽表