Binomialsannolikheter ritas i ett stolpdiagram

1. Binomialsannolikheter ritas i ett stolpdiagram

2. Om två s.v. X och Y är beroende så gäller E[X+Y]=E[X]+E[Y] och Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2*Kov[X,Y] Räkna öv 411 på tavlan. Beräkna både väntevärde och standardavvikelse

3. Kap 5 Normalfördelning Hittintills har v endast studerat diskreta slumpvariabler. Dvs värdena som s.v. kan anta har kunnat räknats upp. Om en s.v. är normalfördelad så är den kontinuerlig vilket betyder att dess värden kan mätas hur fint som helst. Ex på kontinuerliga variabler är • Längden hos en människa • Utomhustemperatur • Lägenhets yta • Glödlampas livslängd

4. För att en variabel ska vara normalfördelad så ska den kunna mätas mycket noggrant och värdena ska ligga symmetriskt runt sitt väntevärde (medelvärde) Ex: • En människas längd • Bromssträcka • Försäljning under en dag • Koncentration hos en lösning • Handläggningstid av en viss typ av ärende

5. Eftersom vi kan mäta en normalfördelad s.v. X mycket noggrant så blir det ointressant med P(X=x). Alla dessa sannolikheter är 0 för normalfördelade variabler. (Gäller även vissa andra kontinuerliga variabler också.) Vi räknar därför endast på sannolikheter av typen Se gäller således att eftersom P(X=x)=0

6. Eftersom P(X=x)=0 för alla x så kan vi inte rita ett stolpdiagram över sannolikhetsfördelningen. Istället får vi rita en kurva, en normalfördelningskurva. Se OH sid 116 i boken s m

7. Hela arean under kurvan är 1. Sannolikheter är delareor. Det är för svårt att räkna ut normalfördelningssannolikheter så tabell måste användas. Anta nu att s.v. Z följer en standardiserad normalfördelning. Z har då väntevärde 0 och standardavvikelse 1. Det räcker att ha endast en tabell över normalfördelningssannolikheter ty som vi tidigare sätt så kan alla s.v. standardiseras dvs om X har väntevärde och så kan X omvandlas (transformeras) till en standardiserad s.v. Z via

8. Hur använder vi tabellen? Visa normalfördelningstabellen. Vi skriver Z är Nf(0,1) vilket läses Z är normalfördelad men väntevärde 0 och standardavvikelse 1. Beräkna I tabellen betyder Så enl tabellen heter ’stora fi’ ALLA normalfördelningssannolikheter slås upp i tabell

10. Fler ex: För negativa värden finns en annan tabell

11. Låt X vara längden hos en slumpmässigt vald student. Vi antar att X är Nf(170cm,5cm). Dvs Väntevärdet är 170cm och standardavvikelsen är 5cm. Beräkna

12. X måste då standardiseras för att vi ska kunna slå upp sannolikheten i tabell. Nu är Z Nf(0,1) Sannolikheten att en på måfå vald student är kortare än 160cm är 0,02 eller 2%

13. Allmänt: X är och ger Z ___________________________________________ Vi har hittintills jämfört beräkningar som vi gör med ett datamaterial med beräkningar vi gör teoretiskt med slumpvariabler. Vad vi egentligen gör när vi samlar in ett datamaterial är att vi tar ett så kallat stickprov. Att ta ett stickprov innebär att vi först studerar n st s.v. som är oberoende och har samma sannolikhetsfördelning. Sedan observerar vi ett värde på var och en av dessa s.v.

14. För att undersöka om en variabel är normalfördelad så kan man, då man observerat ett stickprov rita ett histogram och lägga in en normalfördelningskurva i histogrammet. Detta görs i ett datorprogram, t ex minitab. Datorn beräknar medelvärde och stickprovsstandardavvikelse och använder de värdena i kurvan. Normalfördelningskurvan är bestämd av ochVisa OH på längd o vikt för män o kvinnor

15. Kap 5,3 Stickprovsmedelvärde och CGS Vi tänker oss att vi vill ta ett stickprov Innan vi observerar värden så studerar vi vilka egenskaper som t ex stickprovsmedelvärdet har. Först, måste vara en s.v. eftersom medelvärdet ändras då vi tar ett nytt stickprov. Det betyder att vi kan beräkna väntevärde och varians på Anta först att och Då gäller och Härled på tavlan om någon vill

16. Om vi studerar summan istället för medelvärdet så gäller för och ______________________________________ CGS= Centrala GränsvärdesSatsen Detta är en mycket viktig sats som säger att om vi har ett stort stickprov på en slumpvariabel så är summan eller medelvärdet i stickprovet approximativt (ungefär) normalfördelat. Formellt: Om n stort så är ungefär och S ungefär

17. Ex: Dragning av lotter Låt X= vinsten vid dragning av en lott Sannolikhetsfördelningen för X är Vi ser att X absolut inte är normalfördelad eftersom X endast kan anta 3 olika värden. Först beräknar vi väntevärde och varians för vinsten av en lott:

18. Mer lättolkat är standardavvikelsen Dra nu 50 lotter. Beräkna sannolikheten att totala vinsten överstiger 350 kr. Lösning: Vi har ett stickprov på X som vi betecknar Totala vinsten = S =

19. Enligt CGS är S approximativt Sannolikheten att totala vinsten överstiger 350 kr vid dragning av 50 lotter är 25% eller 0,25