1 / 16

U žití lineární algebry v kombinatorice

U žití lineární algebry v kombinatorice. Marek Tesa ř 2007. Probl ém nakrytia.

erek
Download Presentation

U žití lineární algebry v kombinatorice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Užití lineární algebry v kombinatorice Marek Tesař 2007

  2. Problém nakrytia • Nakrytie grafu G do grafu H je „lokálny izomorfizmus“: zobrazenie vrcholov grafu G na vrcholy grafu H také, že pre všetky v ∈ V(G), okolie vrchola v je zobrazené bijektívne na okolie (v H) obrazu v. • Ak f je nakrytím G na H, tak to budem zapisovať ako: f: G → H

  3. Pre pevný graf H potom pojmom H-nakrytie budeme rozumieť, problém, ktorý na vstup dostane graf G a rozhodne, či existuje nakrytie f: G → H.

  4. 3-regulárne grafy na 8 vrcholoch Uvedieme úplnú charakteristiku výpočetnej zložitosti problému H-nakrytia pre triedu 3-regulárnych grafov, ktorých hrany sú ofarbené dvomi farbami - modroua červenou, pričom hrany modrej farby budú tvoriť dva disjunktné 4-cykly a hranyčervenej farby budú tvoriť perfektné párovanie. Uveďme si najprv všetky grafy ktoré patria do tejto triedy

  5. Nesúvislé 3-regulárne grafy

  6. Súvislé 3-regulárne grafy I.

  7. Súvislé 3-regulárne grafy II.

  8. Popis konštrukcie symetrickej sústavy lineárnych rovníc Pre každý vrchol u z V(G) budeme postupovať nasledovne, označme si modrých susedov x a y a červeného suseda ako z . Do sústavy potom pridáme nasledujúce rovnicenad GF[2]: u1 = x1 + 1 u1 = y1 + 1 x2 = y2 + 1 u1 = z1 + 1 u2 = z2

  9. Graf H2b

  10. Modro-červeno-modré cesty (ťahy)

  11. Vlastnostimodro-červeno-modrých ciest Tvrdenie: Definujme množiny A = {1,3}, B = {2, 4} a C = {6, 8}. Nech potom X je jedna z týchto množím a nech jeden z koncových vrcholov modro-červeno-modrej cesty leží v množine X. Potom druhý koniec tejto cesty musí ležať v množine (A∪B∪C)-X.

  12. 4-regulárny graf H

  13. Tvrdenie: Existuje nesymetrický popis konštrukcie sústavy linárnych rovníc, ktorej riešenia sú v bijekcii s príslušnými nakrytiami.

  14. Vlastnosti symetrického popisu konštrukcie sústavy I • Tvrdenie: množina riešení rovníc definovaných pre jeden konkrétny vrchol u musí tvoriť afínnu množinu

  15. Vlastnosti symetrického popisu konštrukcie sústavy II • Tvrdenie: Nech pre graf H existuje symetrický popis konštrukcie sústavy a nech hrany farby d tvoria dva štvorcykly. Potom súčet vektorov na uhlopriečkach jednotlivých štvorcyklov musí byť invariantný.

  16. Neexistencia symetrického popisu konštrukcie sústavy pre náš 4-regulárny graf Pozorovanie: Keby pre tento graf existoval symetrický popis konštrukcie, tak by vrcholom 3 a 7 musel byť priradený rovnaký vektor.

More Related