Pap írhajtogatás matematikája

1. Papírhajtogatás matematikája Gáspár Merse Elöd Fazekas, 2006 május

2. Klasszikus papírhajtogatás

4. Unit Origami

5. Legek • 1995: legnagyobb négyzetből darumadár, 33m x 33m • legkisebb daru, 1mm x 1mm, mikroszkóppal és tűvel • 1980: 13131 csónak 432 munkaóra alatt egy uszodában • legnagyobb unit origami, 1995:két szintű sierpinksi-szivacsi,2400 elem • legtöbb elemet tartalmazó unit origami:10375 • legfiatalabb origami művész: Budai Péter, 12 évesen két könyvet is publikált a modelljeivel

6. 1939-ben Arthur H. Stone, 23 éves diák, levagdossa az amerikai letter formátumú papírlapjainak a szélét, hogy beférjenek az angol dossziéba. Hexaflexagon

7. Még több hexaflexagon Tetrahexaflexagon Trihexaflexagon Pentahexaflexagon

8. 12-szer félbehajtani Britney Gallivan, 2005

9. Bélyeghajtogatás A lehetőségeket egy permutációval indexeljük. Az orientáció olyan, hogyaz 1-es számú bélyeg felfele nézzen, és a jobb bal orientáció is meghatározott. Így a perforáció a bélyegek közt ugyancsak meg van határozva (1-es bélyeg jobboldalától kezdődik). Minden permutációnem szerepel, lásd pl. 1423

10. N(n) Ha két ábra ugyanúgy néz ki, csak abélyegek két oldala különbözik,azokat tekinthetjük azonosnak, ésekkor pontosan fele annyi eset van.Ezt nevezzük N(n)-nek.

11. U(n) Ha két ábra ugyanúgy néz ki, egy tükrözéstől eltekintve, azaz attól, hogy melyik az első bélyeg,azokat tekinthetjük azonosnak. Ezen esetek számát U(n)-el jelöljük.

12. M(n) the number of closed meanders with 2n crossings is equal to M(2n - 1)

13. N(n) = number of labelled oriented foldings. S(n) = number of symmetric foldings. U(n) = number of unlabelled foldings(blank stamps). M(n) = number of meanders. Also number of simple alternating transit mazes. • zárt alak? • aszimptitikus forma? • alsó v. felső becslés? • polinomiális algoritmus?

17. 6 Problems from 1 Fold • Prove that C‘D‘ is a tangent of the circle with center C. passing through B and D. • Prove that the perimeter of triangle GAC‘ is equal to half the perimeter of ABCD. • Prove the identity AG = C‘B + GD‘ • Prove that the sum of the perimeters of triangles C‘BE and GD‘F is equal to the perimeter of triangle GAC‘. • Prove that the perimeter of triangle GD‘F is equal to the length of line segment AC‘. • Prove that the inradius of GAC‘ is equal to the length of line segment GD‘. 1. More Mathematical Morsels; Ross Honsberger 2. VIII Nordic Mathematical Contest 1994 4. 37th Slovenian Mathematical Olympiad 1993 6. classic Sangaku problem

18. Problem 1 Prove that C‘D‘ is a tangent of the circle with center C. passing through B and D.

19. Problem 2 Prove that the perimeter of triangle GAC‘ is equal to half the perimeter of ABCD. AC‘ + C‘G + GA = AC‘ + C‘P + GP + GA = AC‘ + C‘B + GD + GA = AB + DA

20. Problem 3 Prove the identity AG = C‘B + GD‘ AC‘ + C‘G + GA = AB + C‘D‘ = AC‘ + C‘B + C‘G + GD‘  AG = C‘B + GD‘

21. Problem 4 Prove that the sum of the perimeters of triangles C‘BE and GD‘F is equal to the perimeter of triangle GAC‘. GAC‘ ~ C’BE ~ GD’F AG = C’B + GD’  AC’ = BE + D’F  C’G = EC’ + FG AG + AC’ + C’G = (C’B + BE + EC’) + (GD’ + D’F + FG)

22. Problem 5 Prove that the perimeter of triangle GD‘F is equal to the length of line segment AC‘. AC‘ = D‘P = D‘G + GP = D‘G + GD = D‘G + GF + FD = D‘G + GD + FD‘

23. Problem 6 Prove that the inradius of GAC‘ is equal to the length of line segment GD‘. • C‘I = C‘III = x, GII = GIII = y, AI = AII = r • 2C‘D‘ = AC‘ + AG + GC‘ • = (r + x) + (r + y) + (x + y) • = 2(x + y + r) • 2(x + y + GD‘) = 2(x + y + r) • GD‘ = r

29. Kockakettözés

30. Háromszög szögeinek összege

31. HF: kör sugarának szerkesztése