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Geoinformation II

Geoinformation II. Vorlesung 5 SS 2000. Konstruktion der Voronoi-Diagramme I. Übersicht I. Voronoi Regionen (Wdhg.) Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist das schwierigste Teilproblem? Split Rekursion I Rekursion II Merge

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Presentation Transcript

  1. Geoinformation II Vorlesung 5 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

  2. Übersicht I • Voronoi Regionen (Wdhg.) • Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) • Konstruktion des Voronoi-Diagramms • Was ist das schwierigste Teilproblem? • Split • Rekursion I • Rekursion II • Merge • Teilschritte von „Divide and Conquer“ • Split • VD( P2 ) • VD( P1 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  3. Übersicht II • Merge • Konstruktion des trennenden Kantenzuges • Konvexe Hülle von P1 und P2 • Konstruktion der Nord- und Südspitzen • Vereinigung • Löschen der überflüssigen Segmente • Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P • Datenstruktur für Voronoi-Diagramm • Kosten • Länge des Kantenzuges im Worst Case • Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case • O(n) * O(n) = O(n2) ? • „Investitionen müssen sich amortisieren“ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  4. Voronoi Regionen (Wdhg.) beschränkte VoronoiRegionen unbeschränkte VoronoiRegionen Die konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex! Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  5. Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) • Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis • Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten • Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) • Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle • Der „duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  6. Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ • Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten • Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 • Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2) • Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2) • Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal Die gewünschte Laufzeit O(n * log n) wird erreicht, wenn „ Split“ and „ Merge“ nicht mehr als O(n) Schritte benötigen, Was ist das schwierigste Teilproblem? Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  7. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Split P2 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  8. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion I Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  9. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion II Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  10. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  11. Teilschritte von „Divide and Conquer“ • Input: Sortiere aufsteigend nach x-Koordinate • Split: • Bestimme den Median • Zerlege in annähernd gleich große Teilmengen links und rechts des Medians • Merge • Konstruktion des trennenden Kantenzuges • Abschneiden überflüssiger Kanten • Bildung der Voronoi-Regionen (wie bei Overlay-Algorithmus) • Einfachster Fall von Merge: die Teilmengen enthalten je einen Punkt • der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  12. P2 P1 Split P Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  13. VD( P2 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  14. VD( P1 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  15. Merge Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  16. Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? • monoton in Nord-Süd-Richtung • jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region • Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte • die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen • sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle • beginnen wir also mit den beiden (grünen und roten) „Nordspitzen“ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  17. max y max y min y min y Konvexe Hülle von P1 und P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  18. max y max y min y min y Konvexe Hülle von P1 und P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  19. Konstruktion der Nord- und Südspitzen • die konvexe Hülle ist Abfallprodukt der Erzeugung des Voronoi-Diagramms • synchrone Herleitung beider Strukturen • die konvexe Hülle ergibt sich aus den Teilstrukturen durch Einfügen zweier zusätzlicher Kanten • diese verbinden die roten und grünen Nord- und Südspitzen miteinander • die neuen Spitzen ergeben sich aus den Minima/Maxima der alten rot-grünen Spitzen • Datenstruktur wie bei Overlay (doppelt verkettete Kanten) • zusätzlicher Aufwand: O(1) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  20. Vereinigung Mittelsenkrechte bilden Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  21. Vereinigung Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  22. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  23. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  24. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  25. Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  26. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  27. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  28. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  29. Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  30. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  31. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  32. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  33. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  34. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  35. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  36. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  37. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  38. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  39. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  40. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  41. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  42. Vereinigung Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  43. Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  44. Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  45. Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  46. Datenstruktur für Voronoi-Diagramm • Doppelt verkettete Kantenliste • Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit • Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  47. Kosten • wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? • Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges • Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  48. Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  49. Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

  50. O(n) * O(n) = O(n2) ? war jetzt alles umsonst? Kantenzug ist monoton Voronoi-Regionen sind konvex Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

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