Compasso: perpendiculares e paralelas

1. Compasso: perpendiculares e paralelas

2. Traçada de reta perpendicular a uma reta dada • Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando quatro ângulos retos (90º). • Podem ocorrer em três casos: • 1º caso: A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. • 2º caso: A perpendicular passa por um ponto não pertencente à reta dada. • 3º caso: A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada.

3. Exemplo 1 • A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. • Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r no ponto P.

4. Construção: • Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos auxiliares (1 e 2) na reta r.

5. Aumentando sua abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos nos dará o ponto 3.

7. A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

8. Por que é assim que se faz? • Marcamos os pontos 1 e 2 à mesma distância do ponto P. • Usamos a mesma abertura no compasso para marcar os dois arcos que determinam o ponto 3. Assim, o ponto 3 é equidistante de 1 e 2.

10. Se está à mesma distância de 1 e 2, a reta que passa pelo ponto 3 e por P divide o ângulo de 180º exatamente no meio, ou seja, em dois ângulos de 90º.

11. Exemplo 2 • A perpendicular passa por um ponto não-pertencente à reta dada. • Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r e que passe pelo ponto P.

12. Construção: • Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos (1 e 2) na reta r. • Com uma abertura qualquer, centramos o compasso nos pontos 1 e 2 e traçamos dois arcos que se interceptam no ponto 3. • A reta r passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

14. Por que é assim que se faz? • A justificativa é a mesma do exemplo 1. • O ponto P é equidistante dos ponto 1 e 2. O ponto 3 também é equidistante de 1 e 2. Portanto, a reta passa pelo ponto P e por 3 divide ao meio os ângulos de 180º, resultando em ângulos de 90º.

16. Exemplo 3 • A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada. • Trace uma reta s perpendicular à reta r.

17. Construção: • Neste caso, basta determinar um ponto P, pertencente à reta ou não, e aplicar um dos processos vistos anteriormente. • Determina-se o ponto P na reta r.

19. Determina-se o ponto P fora da reta r.

20. Fazer exercícios 01

21. Traçados de retas paralelas • Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum, pois não se interceptam, ou seja, mantêm sempre a mesma distância uma da outra. • Podem ocorrer dois casos: • 1º caso: A paralela passa por um ponto dado. • 2º caso: A paralela passa a determinada distância da reta dada.

22. 1º caso • Veremos quatro processos de resolução para esse caso.

23. Exemplo 1 • A paralela passa por um ponto dado. • Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

24. Construção: • Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determine na reta r o ponto auxiliar 1. • Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco que determine em r o ponto auxiliar 2. • Abrimos o compasso com medida igual à distância de 2 a P. Transportamos essa medida para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo assim o ponto 3. • A reta r que passa pelo pontos P e 3 é a reta s procurada.

26. Por que é assim que se faz? • Os dois arcos têm o mesmo raio e sobre eles transportamos a mesma distância.

27. Exemplo 2 • Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P

28. Construção: • Marcamos um ponto O (centro) em qualquer lugar da reta r. Centramos o compasso em O e, com abertura até o ponto P, traçamos um arco, que determinará na reta r dois pontos auxiliares ( 1 e 2). • Com o auxílio do compasso, transportamos a distância 1P para o outro arco, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3. • A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

30. Por que é assim que se faz? • A justificativa é a mesma do processo anterior: transportando no arco a distância que determina o ponto auxiliar 3, obtendo a mesma distância de P em relação à reta r.

31. Qual a diferença entre 1º e o 2º processo? • No 1º processo, começamos a construção centrando o compasso no ponto P. • No 2º processo, começamos a construção centrando o compasso em um ponto qualquer da reta (ponto O).

32. Exemplo 3 • Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

33. Construção: • Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determina na reta r o ponto auxiliar 1. • Com a mesma abertura, centramos o compasso em 1 e marcamos em r o ponto auxiliar 2. ainda com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e marcamos no arco o ponto 3.

35. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

36. Por que é assim que se faz? • Sabemos que, num paralelogramo, os lados opostos são paralelos entre si. Nesse 3º processo, os pontos P, 1, 2 e 3 correspondem aos vértices de um losango.

37. Qual a diferença entre esse processo e os anteriores? • No 3º processo, não alteramos a abertura do compasso: a medida inicial, para o arco, é conservada até o final.

38. Exemplo 4 • Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela à reta r no ponto P.

39. Construção: • Traçamos uma reta perpendicular a r em P, obtendo o ponto auxiliar 1.

40. Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2. Nesse ponto, traçamos uma perpendicular a r. • Transportamos a distância P1 para a outra perpendicular, a partir de 2, obtendo o ponto 3. • A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

42. O 4º processo lembra a figura formada pro um gol de futebol. Em relação ao chão, o travessão é paralelo e as duas traves são perpendiculares e de mesma medida. • Daqui em diante, utilizaremos esse processo sempre que trabalharmos com distância entre paralelas.

44. Fazer exercícios 02

45. 2º caso • Vamos agora estudar o traçado de paralelas a uma distância determinada da reta dada.

46. Exemplo 5 • Trace o par de retas (r´e r´´) distantes 2,0 cm da reta r.

47. Construção: • Marcamos na reta r dois pontos auxiliares quaisquer (1 e 2). Em cada ponto, traçamos uma reta perpendicular a r.

48. Nas perpendiculares, a partir de r, marcamos para os dois lados a distância desejada (2,0 cm), obtendo os pontos 3, 4, 5 e 6. • As retas que passam por 3 e 5 e por 4 e 6 são paralelas r´e r´´ procuradas.