Sistemas de coordenadas polares
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Sistemas de coordenadas polares. Polo Eixo polar. Ponto (r,. r. r. < 180º). < 90º). < 270º). Observação: As coordenadas polares de um ponto não são Únicas. < 3600º). Ex.: (1, 315º), ( 1, -45º) e (1, 675º) representam o mesmo ponto.

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Presentation Transcript


Sistemas de coordenadas polares

Sistemas de coordenadas polares

Polo

Eixo polar

Ponto (r,

r

r

< 180º)

< 90º)

< 270º)

Observação:

As coordenadas polares

de um ponto não são

Únicas.

< 3600º)

Ex.:

(1, 315º), ( 1, -45º) e

(1, 675º) representam

o mesmo ponto


Sistemas de coordenadas polares

Relações entre as coordenadas polares e as retangulares

r =

=

P (x, y)

y

P (r, )

r

x


Sistemas de coordenadas polares

As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton:

Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139.

Gráficos em coordenadas polares

r = cos(2θ)

Em coordenadas polares

Obs.: r < 0 considerar o

ponto(-r, π + α)


Sistemas de coordenadas polares

Em coordenadas retangulares

r = cos(2θ)

1

π/2

3π/2

θ

π

-1


Sistemas de coordenadas polares

Exercícios:

Escrever r = cos(2θ) em coordenadas retangulares.

2. Esboçar as curvas em coordenadas polares e escrevê-las em

coordenadas retangulares:

r = 1; b) θ = π/4; c) r = θ (θ > 0)

3. Desenhar r = 1 - cos(θ) (cardióide) em coordenadas retangulares.

Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa

equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot.

Escrever r = 1 – cos(θ) em coordenadas retangulares.

Desenhar com o Winplot


Sistemas de coordenadas polares

4. Seja r2 = 4cos(2θ). Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot.

5. Desenhar com o winplot as duas famílias de rosáceas:

r = a.sen(nθ) e r = a.cos(nθ). Fazer a = 1 e desenhar essas curvas considerando n = 2, 3, 4, 5, 6.

Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.

6. Desenhar com o winplot as famílias de espirais:

a) De Arquimedes (r = aθ). b) Parabólica (r = aθ1/2).

c) Logaritmica (r = aebθ). d) Hiperbólica ( r = a/θ)

Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.


Sistemas de coordenadas polares

7. Desenhar com o winplot as famílias de circunferências:

r = a; b) r = 2ª.cos(θ); C) r = 2ª.sen(θ);

Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.

Exercícios:

Identifique a curva transformando as equações polares em retangulares

a) R = 2; b) r.sen(θ) = 4; c) r = 3.cos(θ); d) r = 6/(3cos(θ) + 2sen(θ))

e) R = 5.sen(θ); f) r = 4.cos(θ) + 4.sen(θ); g) r = sec(θ).tg(θ)

2. Expressar as equações em coordenadas polares:

a) x = 7; b) x2 + y2 = 9; c) x2 + y2 – 6y = 0; d) 4xy = 9; e) y = -3;

f) x2 + y2 + 4y = 0; g) x2(x2 + y5)= y2


Sistemas de coordenadas polares

Esboçar os gráficos em coordenadas polares

a) θ= π/6; b) r = 3; c) r = 4.senθ; d) r = 6.cosθ; e) r = 1 + senθ;

f) R = 3.(1- senθ); g) r = 4 – 4cosθ; h) r = 3 + 4cosθ;

i) r2 = 9cos(2θ); j) r2 = 16sen(2θ); h) r = 4θ (θ ≤ 0)


Sistemas de coordenadas polares

As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton:

Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139.

Retas tangentes para curvas paramétricas e polares

Uma curva y = F(x) pode ser dada por suas equações paramétricas:

x = f(t), y = g(t)

Se f(t) e g(t) têm derivadas primeiras contínuas, temos, usando a

derivada da função composta:

sendo dx/dt≠ 0,

que permite encontrar dy/dx a partir das equações paramétricas da curva


Sistemas de coordenadas polares

Exemplo: Achar a equação da reta tangente ao círculo dado por suas

equações paramétricas x = cos t, y = sen t, para 0 ≤ t ≤ 2π,

no ponto onde t = π/6. E no ponto t = 4π/3.

Exemplo: Um avião de papel, lançado

no instante t = 0 segue a trajetória

x = t – 3sen(t), y = 4 – 3cos(t)

e bate em um muro quando t = 10.

Em que instantes o avião voou horizontalmente?

b) Em que instantes o avião voou verticalmente?

Fonte: ANTON , H. (1999). P. 136


Sistemas de coordenadas polares

Exemplo: Encontrar e nos pontos (1,1) e (1,-1) na parábola

semicúbica dada pelas equações paramétricas x = t2 , y = t3

para -∞ < t < ∞

Como escrever essa função como

y = F(x)?

Exemplo: Encontrar a inclinação da reta tangente e a reta tangente à curva paramétrica dada por x = cos(3t), y = 4sen(2t) nos pontos t = π/4 e t = 7π/4


Sistemas de coordenadas polares

Retas tangentes a curvas polares

Vimos que se r = f(θ) é uma curva em coordenadas polares, então

cos(θ) = x/r x = r.cos(θ) e sen(θ) = y/r y = r.sen(θ)

E então, x = f(θ).cos(θ) e y = f(θ).sen(θ)

Assim, x e y são funções de θ. Logo, derivando x e y em relação a θ,

Derivada de y em relação

a x quando temos uma

curva polar


Sistemas de coordenadas polares

Exemplo: Achar a inclinação da reta tangente ao círculo r = 4cos(θ)

no ponto onde θ = π/4. Confirmar a resposta obtendo y = f(x).

Exemplo:Achar os pontos da cardióide r = 1 – cos(θ) onde há uma reta

tangente horizontal e onde há uma reta tangente vertical.

Teorema:Se a curva polar r = f(θ) passa na origem em θ = θ0, e se

dr/dθ≠ 0 em θ = θ0 então a reta θ = θ0 é tangente à curva na origem.

θ = π/2

θ = 2π/3

θ = π/3

Exemplo:A rosácea de três pétalas r = sen(3θ) tem três retas tangentes à origem.

Comprovar com o teorema e com y = f(x). (em sala de aula

r = sen(3θ)


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