第一章
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第一章. 线性系统的状态空间描述. 目 录. 第一节 状态空间分析法 第二节 由系统框图求状态空间描述 第三节 由系统机理建立状态空间描述 第四节 由外部描述化为内部描述及其标准型式 第五节 由状态空间方程求传递函数 第六节 离散时间系统的状态空间描述 第七节 状态矢量的线性变换 第八节 MATLAB 应用. 系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 (零初始条件) 系统的内部描述 状态空间表达式. 一、举例 例 1 求图示机械系统的状态空间表达式

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第一章

线性系统的状态空间描述


目 录

第一节 状态空间分析法

第二节 由系统框图求状态空间描述

第三节 由系统机理建立状态空间描述

第四节 由外部描述化为内部描述及其标准型式

第五节 由状态空间方程求传递函数

第六节 离散时间系统的状态空间描述

第七节 状态矢量的线性变换

第八节 MATLAB应用


系统描述中常用的基本概念

系统的外部描述 传递函数

(零初始条件)

系统的内部描述 状态空间表达式


一、举例

例1 求图示机械系统的状态空间表达式

外力

位移

第一节 状态空间分析法

弹性系数

由牛顿力学得

阻尼系数

-----状态变量


动态方程:

状态空间表达式:


2 求图示RLC回路的状态空间表达式

解:以i(t)作为中间变量,列写该回路的微分方程

为系统的状态变量,


则原方程可化成

矩阵—向量形式:


令 为状态向量,则:


  • 基本概念

  • 高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组;

  • 一阶微分方程的个数等于变量的个数,即高阶微分方程的阶次;

  • 变量的选择不是唯一的,即微分方程组不唯一。


  • 二、状态变量和状态矢量

  • 1.状态:表征系统运动的信息和行为。

  • 2.状态变量:完全表征系统运动状态的最小一

  • 组变量。

  • 状态变量的选取不唯一 ;

  • 状态变量相互独立,个数等于微分方程的阶

    次,即系统中独立储能元件的个数;

  • 状态变量在t0时刻的值为系统的初始状态。


3.状态矢量

三、状态空间和状态空间描述

  • 状态空间:以n个状态变量作为坐标轴所组

    成的n维空间。

  • 状态空间描述:


线性时变系统

  • 线性定常系统

线性定常离散系统


1. MIMO系统 ( r个输入,m个输出)


简写成矩阵形式

n维状态矢量

r

维输入矢量

m维输出矢量


系统矩阵

输入/控制矩阵

直接传递矩阵

输出矩阵


例:r=3,m=2


2. SISO系统 ( r=1,m=1)

简写成矩阵形式


3. 状态结构图形式

常用符号:

比较器

积分器

比例器

注:负反馈时为-

状态结构图绘制步骤:

⑴ 画出所有积分器; 积分器的个数等于状态变量数,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。

⑵ 根据状态方程和输出方程,画出相应的比较器和比例器;

⑶ 用箭头将这些元件连接起来。


3 画出一阶微分方程的状态结构图。

微分方程

状态结构图


4 画出三阶微分方程的状态结构图。


5 画出下述系统状态空间表达式的状态结构图。


第二节 由系统框图建立状态空间描述

建立状态空间表达式的三个途径:

• 由系统框图建立状态空间描述 [1-2];

• 由系统机理建立 [1-3];

• 由已知的系统其它数学模型建立 [1-4]:

由系统微分方程建立;

由系统传递函数建立。


关键:将积分部分单独表述出来,对框图进行等效变换

例6 系统框图如下:

等效变换如下:


图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量)图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量),则有:

写成矩阵形式:


注:图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量) 带零点环节的处理方法 先展开成部分分式 → 得 到等效方块图 → 再由此变换成状态结构图。含有零点环节的展开方法:

二阶系统:等效为二阶微分方程。


第三节 由图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量)系统机理建立状态空间表达式

步骤:1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程;2)选择有关的物理量作为状态变量;3)导出状态空间表达式。

例7 写出如图所示RLC网络的状态空间表达式。


解:根据电路定律可得到下列方程图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量)

(1) 设 状态变量


图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量)2) 设 状态变量

可见对同一系统,状态变量的选择不具有唯一性,状态方程和输出方程也不是唯一的。


图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量)8 对下图所示机械系统,若不考虑重力对系统的作用,试列写以拉力F为输入、质量块m1、m2的位移y1、y2为输出的状态空间表达式。

解:根据牛顿定律,可写出系统微分方程如下:


阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得:

状态方程:

输出方程:


写成矩阵形式:阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。


x阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。3

x3

讨论:

1. 状态变量的独立性。

2. 由于状态变量的选取不是唯一的,因此状态方程、输出方程也都不是唯一的。但是,用独立变量所描述的系统的阶数是唯一的,与状态变量的选取方法无关。

3. 状态空间描述对于系统的描述是充分的和完整的,即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。

例 试确定图中(a)、(b)所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流,y为输出电压,xi为电容器电压或电感器电流。


x阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。3

x3

解并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图(a),不失一般性,假定电容器初始电压值均为0,有

因此,只有一个变量是独立的,状态变量只能选其中一个,即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上,三个串并联的电容可以等效为一个电容。

对图(b) x1 = x2,因此两者相关,电路只有两个变量是独立的,即(x1和x3)或(x2和x3),可以任用其中一组变量如(x2,x3)作为状态变量。


外部描述 内部描述 阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

实现问题

第四节 化外部描述为内部描述及其标准型式

本节先研究SISO系统,3-8研究传递函数矩阵的实现问题。

n阶SISO控制系统的时域模型为:

系统的传递函数为:


式中阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。bn是直接联系输入、输出量的前馈系数, 是严格有理真分式,其系数用综合除法得

状态空间描述为

可实现的条件: m≤n

当m<n时,d=0;

当m=n时,d=bn,


式中阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。A、b、c由实现形式确定,其形式与m<n时相同,但输出方程中需增加一项bnu。

  • 由于状态变量的选择是非唯一的,因此实现也是非唯一的。

  • 没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。即在所有实现中,它的阶次不能再降。


标准阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。I型

标准II型

一、传递函数中没有零点时的实现

微分方程形式(微分方程中不包含输入函数的导数项):

系统的传递函数为:


若给定初始条件阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

1. 标准I型

则系统行为被完全确定,依此选择一组状态变量。即:


化为向量矩阵形式:阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

  • 注:

  • 状态变量是输出y/b0及y/b0的各阶导数.

  • 系统矩阵A特点:主对角线上方的元素为1,最后一行为微分方程系数的相反数,其它元素全为0,称为底友矩阵或底伴随矩阵。


阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。1 设

求(A,B,C,D)

解:选

状态空间表达式为


状态结构图为阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。


2. 阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。标准Ⅱ型

例2 设系统为 ,试求状态方程。

分析:输出y及y的各阶导数的组合可以选作状态变量。

问题:线性组合的系数如何确定?由原方程取拉氏变换分析得到。


解:选择状态变量阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

推广到n阶系统。


注:阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系,即


二、输入变量中含有导数项时的实现阻尼器和弹簧都是储能元件,这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。

不失一般性,系统微分方程形式:

状态变量选择原则:使导出的一阶微分方程组不出现u的导数项。

传递函数:

应用长除法有

其中:


1. 标准Ⅰ型

(1)能控Ⅰ型(控制器标准型)


定义如下一组状态变量 分解为两部分的串联,

可得状态方程:

输出方程:


向量 分解为两部分的串联,-矩阵形式为

其中:

A、b、c与 相同,

  • W(s)的实现:


例如, 分解为两部分的串联,3阶系统的状态结构图如下图


式中系数 是待定系数 分解为两部分的串联,.

(2)能观测I型(能观测性标准型)

选择状态变量


由微分方程得: 分解为两部分的串联,


选择 ,使得上式中 分解为两部分的串联,u的各阶导数项的系数都等于0, u的系数等于 ,即

可得:


可写成向量 分解为两部分的串联,-矩阵的形式:


分解为两部分的串联,3 ,试写出它的状态空间表达式。

解:


2. 分解为两部分的串联,标准Ⅱ型

(1) 能控Ⅱ型(能控性标准型)

与能观测Ⅰ型(能观测性标准型)对偶,即

AcⅡ=AoⅠTCcⅡ=boⅠT

能观测Ⅰ型:


(2) 分解为两部分的串联,能观测Ⅱ型(观测器标准型)

与能控Ⅰ型(控制器标准型)对偶,即

AoⅡ=AcⅠTCoⅡ=bcⅠT

能控Ⅰ型:

3. Jordan标准型

标准Ⅰ型和标准 Ⅱ型都是直接由微分方程或传递函数建立的。把传递函数展开成部分分式求得的状态空间描述称为Jordan标准型。


c 分解为两部分的串联,i---极点 的留数

零点的存在只影响相应极点的留数,因而包含零点的传递函数与不包含零点的传递函数的Jordan标准型实现型式相同。

(1)单根的情况

只含单重实极点,设 D(s) 可分解为:

其中 为 系统的单实极点。


a. 分解为两部分的串联,选取状态变量:

将上式整理,并进行拉氏变换,可得状态方程

将xi代入y:

状态结构图


特点: 对角线为传函极点 分解为两部分的串联,

全1

对应极点的留数


b. 分解为两部分的串联,选取状态变量:

状态结构图


(2) 分解为两部分的串联,含重实极点

为了简单起见,设W(s)只有r重单特征矢量对应的极点λ1,

则传递函数的部分式展开式为:

其中


选取状态变量的拉氏变换为: 分解为两部分的串联,


化为状态变量的一阶微分方程 分解为两部分的串联,:

输出方程


状态空间表达式 分解为两部分的串联,

Jordan块


状态结构图 分解为两部分的串联,


例:设系统传递函数为: 分解为两部分的串联,

试求其状态空间表达式。

解:分母

3重极点

部分分式为:


状态空间表达式 分解为两部分的串联,


第一节 分解为两部分的串联,-- 第四节 作 业

  • 1-1

  • 1-3

  • 1-4 (2)


分解为两部分的串联,五节 离散时间系统的状态空间描述

完全离散系统,其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息;

局部离散系统,其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号,这时,连续部分在采样点上的数据才是有用信息,故需将连续部分离散化;

为研究方便,不论完全或局部的离散系统,均假定采样是等间隔的;在采样间隔内,其变量均保持常值。


1 分解为两部分的串联,、状态结构图

仿效连续时间系统,由线性定常离散系统的差分方程或脉冲传递函数得

状态空间描述

T:单位延迟器


2. 分解为两部分的串联,由差分方程或脉冲传递函数建立状态空间模型

SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式:

脉冲传递函数:


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量Q(z) ,则有

一组状态变量:

于是


其矩阵连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量-矢量形式为

可见,离散系统的状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与kT 时刻的状态、输入量之间的关系;输出方程描述了kT 时刻的输出量与kT 时刻的状态、输入量之间的关系。

与连续系统的情况相类似,可推广到多输入-多输出系统


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量1-10 离散系统的差分方程为

试写出该离散系统的一个状态空间描述 。

解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数 :

于是直接写出它的一个状态空间描述(标准I型)为


L连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量

令X(0)=X0=0

第六节 由状态空间方程求传递函数

一、由状态空间模型转换成传递函数

系统的状态方程

A阵的特征多项式

SI-A的伴随矩阵


注意矩阵求逆连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量

定义传递函数矩阵:

[说明]:

1)dim(W(s))=m×r,其中dim(·)表示·的维数。m是输出维数,r是输入维数。

2)W(s)的每个元素的含义:

表示第i个输出中,由第j个输入变量所引起的输出和第j个输入变量间的传递关系。

3)同一系统,不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量1-4 已知某一单输入单输出系统的状态空间表达式为

试求其传递函数。

解:根据拉氏变换式可得


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量1-5 求系统 的W(s)。

[解]:由传递函数矩阵公式得:

根据矩阵求逆公式:


求得:连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量

求得传递函数阵为:


二、连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量(SI-A)-1的法捷耶夫算法

式中αi,R i (i=n-1,n-2,…,0)的计算公式为:


tr( )连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量 : 求矩阵的迹,即矩阵对角元素之和。


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量1-6

解:


含义连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量:

如果T是一个非奇异阵,则将 变换称为非奇异线性变换。

第七节 状态矢量的线性变换

非奇异线性变换:

叠加原理

特点:

齐次性条件

用途:

通过非奇异线性变换,可以将状态方程变成对角型

或约当标准型。


一、系统状态方程的非唯一性连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量

含义:同一系统的不同状态变量可以通过线性变换 互相得到。

两组状态变量的关系:

其中:

T不同则得到不同的 。


[连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量例1-12]:关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性

考虑系统 为:

非奇异变换后

底伴随矩阵

1)若选择非奇异变换阵T为:

对角矩阵

2)若选择非奇异变换阵T为:

结论:不同的非奇异变换阵,对应不同的状态方程,非唯一性


连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量矩阵A的特征值(A特征方程的根)

:矩阵A对应于特征值 的特征矢量

:矩阵A的特征矩阵

:矩阵A的特征方程

:矩阵A的特征多项式

设 为A的一个特征值,若存在某个n维非零列向量 ,

使 ,则称 为A的对应于 的特征矢量.

二、系统特征值的不变性和特征矢量

对于系统矩阵A,若存在一非零向量 ,使得:

则:

由定义可知:


系统连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量I: 特征多项式 , 传递函数阵

系统II: 特征多项式 , 传递函数阵

特征值及传递函数阵的性质:

1)一个n阶系统的 方阵A,有且仅有 n 个特征值。

2)A为实数方阵,则其n个特征值或为实数,或为共轭复数对。

3)对系统作非奇异线性变换,其特征值和传递函数阵不变。

则: 且

其中:


4连续系统状态空间表达式的建立方法,对离散系统同样适用。例如,引入中间变量)设 为系统矩阵A的特征值, 是A属于特征值的特征矢量。当 两两相异时, 线性无关,因此由这些特征矢量组成的矩阵P必是非奇异的。

则其特征多项式为:

特征方程为:

5)若系统矩阵A具有形式:


特征方程 的根。

注意:对于第i个特征值,其独立特征矢量的个数为 。

特征矢量的计算:

1) 先求出系统矩阵A的所有特征值。

2)对于每个特征值,计算其特征矢量。


A 的根。 的特征值: , ,

时特征矢量:

时特征矢量:

时特征矢量:

例1-13:求下列矩阵A的特征矢量。

[解]:

1) 计算特征值

A的特征方程为:

2)计算特征矢量


的根。 . 状态空间描述变换为约当标准型

变换为


的根。 由变换矩阵T和矩阵A,B,C求出 。

1. A阵为任意形式

(1)特征值无重根时

状态方程化为对角标准型的步骤:

① 先求出系统矩阵A的所有特征值。

② 对于每个特征值,计算其特征矢量。并由此组成非奇异变换阵T。


定理 的根。 1:

对于线性定常系统 ,如果A的特征值 互异,则必存在非奇异变换矩阵T,通过变换 ,将原状态

方程化为对角线规范形式 。

1)找非奇异变换阵

由特征值性质 4)知,由A的特征矢量构成的矩阵

是非奇异的,故可以选择T为变换阵。

其中:

证明:


特征值定义 的根。

2)求

上式两端左乘 T-1 得:

证毕!


的根。

当 时,

例 线性定常系统 ,其中:

将此状态方程化为对角线标准型.

解:

1)求其特征值:

2)确定非奇异矩阵T


当 时, 的根。

同理当 时, 得


3 的根。 )求

对角线标准型为:


说明:对角阵是约当矩阵的一种特殊形式。 的根。

其中: 是约当块的块数,等于 的独立特征矢量的个数。

即每个约当块有且仅有一个线性独立的特征矢量。

(2) 特征值有重根时

约当矩阵定义:

  • 约当块:

  • 约当矩阵: 由约当块组成的准对角矩阵。


变换矩阵 的根。 T的确定:

其中:

讨论的前提:

某个m重特征值只对应一个独立特征矢量,则该特征值只有一个约当块。 假设系统有 个特征值。

则:


关键 的根。 :要确定T,必须推导出 ,目的是确定 个广义特征矢量。

推导过程:


其中 的根。 : 对应于 的特征矢量,其余为广义特征矢量。

即:

可以解出:


为重根对应的特征矢量 的根。 (广义特征矢量);

为互异特征根对应的特征矢量。

则 的求法如下 :

结论:T的求解步骤

假设系统有m重特征根 ,其余为n-m个互异特征根,则

T阵的求法分为两块,一块是互异部分;另一块是重根部分。

设:

由此可求得:


c 的根。 )由变换矩阵T和矩阵A,B,C求出 。

状态方程化为约当标准型的步骤:

a)先求出系统矩阵A的所有特征值。

b)对于每个特征值,计算其特征矢量,对于重特征值,还要 计算其广义特征矢量。并由此组成非奇异变换阵T。

例:线性定常系统状态空间表达式为:

将此化为约当标准型.


的根。 :

1) 确定系统特征值.

2) 确定系统特征矢量,得到T.


3 的根。 )求

所以:


的根。 1-15:试将下列状态方程化为约当标准型:

解:求特征值:

(二重根)时的特征矢量为:

另一广义的特征矢量:

时特征矢量:


2. A 的根。 为标准I型

(1) A的特征值无重根时

Vandemonde 矩阵


例: 的根。 线性定常系统 ,其中

将状态方程化为对角标准型.

解:

1)确定系统特征值.

由:

得:


状态方程对角标准型为:


(2) A 的根。 的特征值有重根时

1) m重实特征值λ1,对应一个独立特征矢量P1。

虚线表示存在一个约当块,式中p2,p3,...,pm为广义特征向量。


2) 5 的根。 重实特征根λ1,对应两个独立实特征矢量p1、p2


(3) 的根。 A有共轭复根时

PR是对应于特征值λ1的特征向量的实部,PI是对应于特征值λ1的特征向量的虚部。


Matlab
第八节 的根。 MATLAB在状态空间模型中的应用

1. 系统模型间的转换

  • num=[0 bn-1 bn-2 … b1 b0 ];

    • den=[1 an-1 an-2 … a1 a0 ];

    • 排列方式:从右到左,不够的地方补零。

  • [ A,B,C,D ] = tf2ss ( num , den )


的根。

num=[0 0 10 10];

den=[1 6 5 10];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)


状态空间模型 的根。

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)给出了传递函数

A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 –25.1026 –5.03247];

B=[0;25.04;-121.005];

C=[1 0 0];

D=[0];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)


[R 的根。 ,P,K] = residue (num,den)

If there are no multiple roots,

num(s) R(1) R(2) R(n)

---------- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)

den(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)

If P(j) = ... = P(j+m-1) is a pole of multplicity m, then the expansion includes terms of the form

R(j) R(j+1) R(j+m-1)

-------- + ------------ + ... + ------------

s - P(j) (s - P(j))^2 (s - P(j))^m

[num,den] = residue (R,P,K)


2. 的根。 矩阵求逆

A=[ 7 1 ; -4 3 ];

inva=inv(A)

syms s

A=[ 7 1 ; -4 3 ];

invas = inv( eye(2) * s-A );


特征值对角矩阵 的根。 D

3. [ V,D ] = eig(A) AV=VD

特征矢量矩阵 V=[p1,p2,….,pn]

[ V,J ]=jordan(A) V \ A*V = J

若V、D(或J)为复数,则

[Vr,Dr]=cdf2rdf(Vc,Dc)


4. 的根。 系统组合

sys1 = ss(A1,B1,C1,D1);

sys2 = ss(A2,B2,C2,D2);

syss = series(sys1,sys2)

sysp = parallel(sys1,sys2)

sysf = feedback(sys1,sys2)


第五节 的根。 -- 第八节 作 业

  • 1-5 (2)

  • 1-6 (4)

  • 1-7 (1) (3)


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