SPOTLIGHT

1. 計算機概論 2 SPOTLIGHT 數字系統與編碼系統

2. 數字系統與編碼系統 相信大家都已經知道，電腦是透過０與１的位元(bit)來處理資 料的數位電子裝置。人類社會所使用的數字系統(number system)，或稱為數值系統，是早在文明還未進化的時代就已經 因為十根手指頭的關係而採用了十進制至今。 068

3. 不同的數字系統：時間、重量、長度 因此以星期來看，可以算是七進制( 雖然沒有星期零)，以天來 看，就是廿四進制，以小時和分鐘來看就是六十進制。 068

4. 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 為了要讓電腦環境裡的二進制數字，能方便習慣於十進制的人 們處理、記憶，因此數學界透過了八進制(octal system)和十六 進制(hexadecimal system)來表示電腦裡的各種數字。畢竟， 要讓一般人記住或閱讀由０與１組成的一長串資料，實在是相 當困難。 069

5. 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 (續) 因為二進制若以3 個位元來算時，是000 到111 之間，在數量上 一共是8個，而若以4 位元來算，就是0000 到1111 之間，為什 麼電腦裡的二進制系統要轉換成八進制或十六進制，而不挑七 或十三的其他進制來轉換呢？在數量上則是16 個。因此，才會 以八進制和十六進制來處理。 069

6. 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 (續) 069

7. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 雖然我們的日常生活裡不太會用到八進制與十六進制，但如果 在處理電腦的計算時，要將八進制或十六進制轉換成二進制， 一般在數學上都會先將數字轉換成十進制，不僅如此，若要將 二進制的數字轉換成八進制或十六進制，也是要先轉換成十進 制。十進制是人類最為熟悉的數字系統。另外，為了避免在標 示時搞不清楚所使用的是幾進制，要是想特別指明數字的進制 時，會以括號把該數字框住，並且在後方加上小字的數字，如 十進制的365 則為：(365)10。 069

8. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) (1101)2的四個位數中，右邊算起的第一個位數，也就是所謂的 最小位數(least significant digit, LSD，或稱為最低位數或最小位 元MSB)就代表的2 的0 次方，也就是1；第二的位數為2 的1 次 方，即是2；第三個位數乃2 的2 次方，等於4；最左邊那個位數 ，即所謂的最大位數(most significant digit, MSD，或稱為最高 位數或最大位元MSB)就是2 的3 次方，所以是8。例如數字 (1101)2是十進制中的13，因為從左邊開始累積的數量為：(23 × 1) + (22 × 1) + (21 × 0) + (20 × 1) = 8 + 4 + 1 = 13。 069

9. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) (82 × 3) + (81 × 1) + (80 × 6) = 192 + 8 + 6 = 206。而十六進制的 (316)16就是十進制的：(162 × 3) + (161 × 1) + (160 × 6) = 768 + 16 + 6 = 790。 (101101)2 = (25 × 1) + (24 × 0) + (23 × 1) + (22 × 1) + (21 × 0) + (20 × 1) = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 (524)8 = (82 × 5) + (81 × 2) + (80 × 4) = 320 + 16 + 4 = 340 (2BF)16 = (162× 2) + (161× 11) + (160× 15) = 512 + 176 + 15 = 703 070

10. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 070

11. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 703 除以16 得出43 餘15， 因此最右邊的LSD 位數是15，也就是 Ｆ 剩下的43 仍大於16，所以還要再除，得出2餘11，第二位數為 11，也就是Ｂ 因為2 小於16，故不須再除，就拿著當最左邊的MSD 位數，因 此右起第三位數為2 最後把這些得到的位數串起來，右起：Ｆ、Ｂ、２＝ (2BF)16 071

12. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 071

13. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 340 除以8 得出42 餘4，因此最右邊的LSD位數是４ 剩下的42 仍大於8，所以還要再除，得出5餘2，第二位數為２ 因為5 小於8，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第三位數MSD 為５ 最後把這些得到的位數串起來，右起：４、２、５＝ (524)8 071

14. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 072

15. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) 45 除以2 得出22 餘1， 因此最右邊的位數LSD 是１ 剩下的22 仍大於2，所以還要再除，得出11餘0，右起第二位數 為０ 剩下的11 仍大於2，所以還要再除，得出5餘1，第三位數為１ 剩下的5 仍大於2，所以還要再除，得出2 餘1，第四位數為１ 剩下的2 仍大於2，所以還要再除，得出1 餘0，第五位數為０ 右起第六位數為1，因為1 小於2，故不須再除，就拿著當最左 邊的位數，因此右起第六位數MSD 為１ 最後把這些得到的位數串起來，右起：１、０、１、１、０、 １＝ (101101)2 071

16. 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 (續) Windows 7 作業系統中所附的 「小算盤」裡，已經具備了二 進制、十進制、八進制、十六 進制之間的轉換功能。使用時 可以透過：「開始」→「所有 程式」 → 「附屬應用程式」 → 「小算盤」進入此程式後，將 工具列的「檢視」切換至「程 式設計師」模式即可。 072

17. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 在學會了二進制、十進制、八進制、十六進制之間的轉換之後 ，接著要來談談數字系統裡的另一個話題：小數點(radix point ，簡稱為point)。小數點常出現在需要精確表示的數字裡，並 且用來分隔整數(whole number)與小數(fractional number)。 除了十進制會用到小數點，二進制以及其他進制當然也會用到 。 在小數的部分，因為離小數點最近的位數是小數裡的最大位元 ，離小數點最遠的位數是小數裡的最小位元，所以，在轉換時 就會依據小數點算起，按照負次方的順序來類推。 072

18. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 (續) (23 × 1) ＋ (22 × 0) ＋ (21 × 1) ＋ (20 × 0) ＋ (2-1 × 1) ＋ (2-2 × 1) ＋ (2-3 × 0) ＋ (2-4 × 1) ＝ 8 ＋ 2 ＋ 0.5 ＋ 0.25 ＋ 0.0625 ＝(10.8125)10 另一方面，如果要將具有小數的十進制數字轉成二進制時，其 計算的方式也是要將整數與小數分開處理。 073

19. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 (續) 53 除以2 得出26 餘1，因此最右邊的位數是１ 剩下的26 仍大於2，所以還要再除，得出13餘0，右起第二位數 為 剩下的13 仍大於2，所以還要再除，得出6餘1，第三位數為１ 剩下的6 仍大於2，所以還要再除，得出3 餘0，第四位數為０ 剩下的3 仍大於2，所以還要再除，得出1 餘1，第五位數為１ 因為1 小於2，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第六位數為１ 最後把這些得到的位數串起來，右起：１、１、０、１、０、 １＝ (110101)2 073

20. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 (續) 073

21. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 (續) 整數部分(53)10： 53 除以8 得出6 餘5，因此最右邊的LSD 位數是５ 因為6 小於8，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第二位數MSD 為６ 最後把這些得到的位數串起來，右起：５、６＝(65)8 小數部分(0.125)10： 小數0.125 乘以8 得到1，取下第一個超過小數點的整數結果( 即 使是零也要取)，拿來當最終目的數字的最大位數(MSD)，所以 是１；因為之後遇到剩下的小數部分，第一個數字已經為０， 所以完成整個運算。因此，取得的小數點後數字為：１＝(0.1)8 最後把整數和小數部分拼起來，原本的(53.125)10就成為：(65)8 ＋ (0.1)8＝ (65.1)8 074

22. 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 (續) 整數部分(53)10： 53 除以16 得出3 餘5，因此最右邊的LSD位數是５ 因為3 小於16，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右 起第二位數MSD 為３ 最後把這些得到的位數串起來，右起：５、３＝ (35)16 小數部分(0.125)10： 小數0.125 乘以16 得到1，取下第一個超過小數點的整數結果( 即 使是零也要取)，拿來當最終目的數字的最大位數(MSD)，所以 是２；因為之後遇到剩下的小數部分，第一個數字已經為０， 所以完成整個運算。因此，取得的小數點後數字為：２＝ (0.2)16 最後把整數和小數部分拼好，原本(53.125)10變為：(35)16＋ (0.2)16＝ (35.2)16 074

23. 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 正負數的使用，正數(positive number)的觀念很簡單，就是手 上有的東西。而在負數(negative number)方面，最早出現的場 合就是「賒欠」和「不足」。 對於數學中關於負數的概念，在運算時其實也有相減(miuns) 的意思。 一般來說，要處理二進制正負數的方式有：(1)最大位元表示法 ；(2) １的補數表示法；(3) ２的補數表示法。 074

24. 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 (續) 在二進制中，會使用的補數有１的補數與２的補數兩種。１的 補數(1‘s complement)是指兩數的和為1，則此兩數互為1 的補 數，即1 和0 互為1 的補數。 而２ 的補數(2‘s complement)則是指將原數變成１ 的補數之後 再加上1。 這中間最大的差別就在於，使用１的補數還是會＋ 0 和－ 0 的 情況，而２的補數則不會，所以２的補數是最在這些表示法中 ，最適合用來表示二進制正負數整數的方法。如果我們以一個 4 位元(bit)的二進制整數來說明的話，或許就能很容易地理解 了。 075

25. 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 (續) 075

26. 編碼系統 既然電腦是透過二進制來處理所有的資料，因此人們需要用到 的各種文字(letter)、符號(symbol)、數字(digit)都要透過一套 放諸四海皆準的編碼系統(coding system)來規範，才能讓不同 電腦間的資料能互相流通。 075

27. 編碼系統 ASCII與Unicode 電腦裡最常用到的字元符碼格式(character coding format)： ASCII、EBCDIC 以及Unicode，這三種符碼格式相互轉換。 美國標準資訊交換碼ASCII( 發音為Ask-Ee)American Standard Code for Information Interchange，使用了7 位元也就是以128 個不同的排列組合(27=128)，來表達不同的字元。而ASCII 碼 還有一個變形稱之為延伸ASCII (extended ASCII)，它使用了 八位元也就是以128 再加上一個位元，總計256 個狀態(28=256) 來表示。 075

28. 編碼系統 BIG-5與CNS11643 而在各個非英語系的國家裡，為了要正確呈現其文字)，就需要 發展出一套適合自身語言的文字內碼，甚至是連同樣使用羅馬 字為基礎的歐洲國家，也會使用像是ISO8859 的編碼格式。在 臺灣以及部分華人地區通用的正體中文，最早就是以資策會在 1984年聯合幾家廠商所推出的BIG-5( 大五碼)來編排，以適用 於當年的中文電腦軟體。 076

29. 編碼系統 BIG-5與CNS11643 (續) 076

30. 編碼系統 ISO 10646與Unicode 雖然被稱為統一碼或萬國碼的Unicode 允許了各國語言文字的 編碼空間，但在此之前，國際間其實已經有了一些具有規模的 國際編碼，最知名的就是出自於國際標準化組織。 這個早在1984 年就已經問世的編碼標準，在推出之後被命名為 通用符碼字元集(Universal Coded Character Set, UCS)。 儘管有了這些萬國語言編碼的制定，而且當今許許多多的網路 服務都可以透過瀏覽器軟體來進行，但我們也要知道如果語言 編碼的選擇不當，將可能導致畫面出現亂碼 077

31. 編碼系統 ISO 10646與Unicode (續) 078

32. 編碼系統 ISO 10646與Unicode (續) 078

33. 編碼系統 ISO 10646與Unicode (續) 078