Flächenberechnung

1. Flächenberechnung Seminar: Fachdidaktik Mathematik Leitung: Ursula Bicker Referenten: Martin Huber, Christophe Straub Datum: 08.06.2009

2. Gliederung • Flächenberechnung spielt eine Rolle bei… • Geradlinigen Figuren (ab 6. Klasse) • Kreisen (7./8. Klasse) • Der Integralrechnung (Oberstufe)

3. Geradlinige Figuren • Die erste und wohl einfachste Flächenberechnung, die in der Schule auftaucht , ist die beim Quadrat und Rechteck A(Rechteck) = a*b b A(Quadrat)= a², da a=b a

4. Geradlinige Figuren • Eine weitere elementare geradlinige Figur ist das Dreieck: A(Dreieck)= (a*h)/2 a h

5. Geradlinige Figuren • Aus diesen beiden Formeln lassen sich Flächen vieler anderer Figuren herleiten, wie z.B.: • Wie könnte man dies für den Unterricht nutzen? Parallelogramm Raute Trapez regelmäßiges 5-Eck

6. Geradlinige Figuren Quintessenz: Hieraus lassen sich viele Möglichkeiten für den Unterricht ziehen: Formal-mathematische bis plastisch-kreative Ansätze möglich Kreativität der Schüler nutzen Gute Möglichkeiten für den differenzierten Unterricht (welcher Schüler hat Stärken auf welchem Gebiet?)

7. Kreise • Eine vollkommen andere Herangehensweise erfordern Kreise: • Die Kreisfläche lässt sich im Gegensatz zur Fläche eines Rechtecks nicht genau abzählen • Schüler haben Vorstellungsprobleme, was genau Pi ist (Was ist eine „Kreiszahl“?) • Rechnen mit einer irrationalen Konstanten ist für viele etwas neues

8. Kreise • Da viele Schüler die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang aufgrund der Ähnlichkeit durcheinander bringen, eignet sich folgender Aufgabentypus: • Aufgabe 1: Ein 5 m langes Metallband wird zu einem Ring gebogen. Wir groß ist sein Durchmesser? • Welchen Vorteil bieten solche Aufgaben? • Durch welche Mittel kann man Verwechselungen vorbeugen?

9. Kreise • Mit Hilfe dieser Aufgabe wird ein Verständnis für das Rechnen mit quadratischen Größen geschaffen: • Aufgabe: Der Radius eines Kreises mit dem Flächeninhalt von 20 m² wird verdoppelt. Wir groß ist der Flächeninhalt des neuen Kreises. • Wieso? • Warum ist dies wichtig?

10. Kreise • Quintessenz: • Praktische Beispiele aus der Lebenswelt der Schüler erleichtern deren Zugang zum Thema • Systematisches Rechnen beugt Fehlern vor • Anwendungsaufgaben sind interessanter als reine Rechenaufgaben → Sinngehalt von Aufgaben • Das Thema „Kreise“ bietet auch – abseits des Rechens – viel Platz für Kreativität

11. Integral • Mit dem Integral berechnet man die Fläche, die die Kurve mit der x-Achse und den Geraden x=a und x=b einschließt • Welche Schwierigkeiten könnten bei diesem Thema für Schüler auftreten?

12. Integral Um den Zusammenhang zwischen Integralrechnung und Realität herzustellen, eignen sich Anwendungsaufgaben wie diese gut: Aufgabe 1: Der Boden eines 2km langen und 2m hohen Kanals hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y=1/8x². Dabei entspricht einer Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist? Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge enthält der zu halben Höhe gefüllte Kanal? Wie findet ihr diese Art von Aufgaben?

13. Integral Quintessenz: Wichtig bei der Integralrechnung ist vor allem das Integrieren selbst, deshalb ist eine Einübung des Rechnens unbedingt notwendig Flächenberechnungen mit praktischen Anwendungen (z.B. aus Bereichen der Technik oder der Wirtschaft) eignen sich gut zum Einüben