Теорема Чевы. Замечательные точки треугольника.

1. Теорема Чевы. Замечательные точки треугольника. Семенова Анастасия 8 «Б»

2. Теорема Чевы • Теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать утверждения о точке пересечения медиан, точке пересечения биссектрис и точке пересечения высот (или их продолжений) треугольника. Рассмотрим доказательство этих утверждений.

3. Медианы треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке Доказательство. Пусть АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. Тогда АВ1=В1С, СА1=А1В, ВС1=С1А, и по этому АВ1/В1С *СА1/А1В * ВС1/С1А=1 Отсюда по теореме Чевы следует, что медианы пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Замечание. Отношение в котором точка М пересечения медиан делит каждую медиану, можно найти с помощью теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике. Согласно этой теореме для медианы АА1 имеем: АМ/МА1=АВ1/В1С(СА1/А1В+1)=2; Аналогично получаем ВМ/МВ1=2;СМ/МС1=2 В А1 С1 М С А В1

4. Биссектрисы треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть АА1, ВВ1, СС1 –биссектрисы треугольника АВС. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Согласно этому свойству АВ1/В1С=АВ/ВС, СА1/А1В=АС/АВ, ВС1/С1А=ВС/АС. Перемножив равенства получим АВ1/В1С*СА1/А1В*ВС1/СА1=1 Отсюда по теореме Червы следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке. Теорема доказана. В А1 С1 С В1 А

5. Высоты треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Пусть АА1, ВВ1, СС1 –высоты треугольника АВС. Рассмотрим три случая. 1) Если треугольник АВС остроугольный, то точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, СА и АВ. Прямоугольные треугольники подобны (так как имеют общий острый угол С) поэтому СА1/В1С=СА/ВС. Аналогично из подобия треугольников АА1В и СС1В следует: ВС1/А1В=ВС/АВ, а из подобия треугольников ВВ1А и СС1А – равенство АВ1/С1А=СС1А. Перемножив равенства получим АВ1/В1С*СА1/А1В*ВС1/С1А=1. По теореме Червы следует, что высоты пересекаются в одной точке. 2) Если треугольник АВС прямоугольный, причем угол А прямой, то его высоты пересекаются в точке А. В В С1 А1 А1 С А А В1 С

6. Наконец, если треугольник АВС тупоугольный, причем угол А тупой, то как и в первом случае, из подобия прямоугольных треугольников АА1С и ВВ1С, АА1В и СС1В, ВВ1А и СС1А получаем соответственно равенства. Перемножив их приходим к четвертому равенству. Однако в данном случае лишь точка А1 лежит на стороне ВС, а точки В1 и С1 лежат соответственно на продолжениях сторон АС и АВ. Воспользуемся замечанием к теореме Червы, согласно которому прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие высоты треугольника, либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Если бы эти прямые были параллельны, то и перпендикулярные стороны к ним были бы параллельны друг другу. Но это не так. Значит, прямые АА1, ВВ1, и СС1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Точка пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника называют замечательными точками треугольника. Четвертой замечательной точкой является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. B A1 C B1 A C1

7. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. • Рассмотрим треугольник АВС, в котором точки А1, В1, и С1 соответственно середины сторон ВС, СА, и АВ. Средняя линия А1В1 параллельна стороне АВ, поэтому серединный перпендикуляр к стороне АВ содержит высоту треугольника А1В1С1, проведенную из вершины С1. Аналогично серединные перпендикуляры к сторонам ВС и СА содержат две другие высоты треугольника А1В1С1. Но прямые, содержащие высоты треугольника А1В1С1, пересекаются в одной точке. Это означает, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

8. Свойства замечательных точек треугольника • Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот, (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершин).Три замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой.

9. Прямая Эйлера • Доказательство.Пусть D - середина стороны BC треугольника ABC, O - центр описанной около треугольника ABC окружности, H - точка пересечения высот треугольника ABC . Как мы знаем из предыдущего рассуждения, H - центр окружности, описанной около треугольника A0B0C0. Но треугольник A0B0C0 подобен треугольнику A0B0C0 с коэффициентом подобия 2. Точке H треугольника A0B0C0 соответствует точка O треугольника ABC. Отрезки AH и OD являются для этих треугольников соответствующими. Значит, AH = 2OD. Кроме того, AH и OD параллельны. •     Обозначим через M точку пересечения AD с OH. Из подобия треугольников AHM и DOM находим: 2OM = HM. •     Итак, точка M делит отрезок OH в отношении 2 : 1, а медиана AD проходит через M и также делится этой точкой в отношении 2 : 1.

10. Задача 3. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан, центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр лежат на одной прямой. •  Решение. Пусть дан треугольник АВС, у которого М – точка пересечения медиан, Р – центр окружности, описанной около треугольника, Н – ортоцентр, т.е. Н – точка пересечения высот треугольника (рис. 3). Надо доказать, что точка М принадлежит прямой НР. Рассмотрим Гомотетию с центром в точке М и коэффициентом k=-1/2. Так как точка М делит медианы в отношении 1:2, считая от вершины, а Р – точка пересечения серединных перпендикуляров, то Нм-1/2:ВВ1, а АА1, ВНВ1Р, АНА1Р. Значит Нм-1/2:НР. Следовательно, точка М принадлежит прямой НР.