Transformaciones
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Transformaciones. Contenido. Sistemas de coordenadas Transformaciones en 2D Transformaciones en 3 dimensiones Composición de transformaciones Rotación alrededor de un pivot Rotación alrededor de un eje. Agradecimientos:

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Transformaciones

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Presentation Transcript


Transformaciones

Transformaciones


Contenido

Contenido

  • Sistemas de coordenadas

  • Transformaciones en 2D

  • Transformaciones en 3 dimensiones

  • Composición de transformaciones

  • Rotación alrededor de un pivot

  • Rotación alrededor de un eje

Agradecimientos:

A Alex García-Alonso por facilitar el material para la realización de estas transparencias (http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/clases)


Sistemas de coordenadas

Sistemas de coordenadas

  • Un objeto se representa por polígonos

  • Un polígono es una colección de vértices y aristas

  • Para transformar un objeto se transforman sus vértices

  • Del sistema local al sistema global: transformaciones


Transformaciones en 2d

Transformaciones en 2D

  • Traslación

  • Escalado

  • Rotación

  • Deformación


2 dimensiones traslaci n

x´10tx x

y´01ty y

1001 1

2 dimensiones: traslación

x´=x+tx

y´=y+ty


2 dimensiones escalado

x´ sx 00 x

y´0 sy 0 y

1001 1

2 dimensiones: escalado

x´= sx ·x

y´= sy ·y


2 dimensiones rotaci n

2 dimensiones: rotación

x = r cos 

y = r sen 

x’ = r cos ( + ) == r (cos  cos  – sen  sin ) == x cos  – ysen 

y’ = r sen ( + ) == r ( cos  sen  + sen  cos ) == x sin  + ycos 

P’

y’

r

P

y

x’

x


2 dimensiones rotaci n1

x´ cos β -sin β 0 x

y´ sin β cos β0y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: rotación

  • Representado matricialmente en coordenadas homogéneas:


2 dimensiones deformaci n shear

x´ 1 hx 0 x

y´ 0 10y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: deformación (shear)

  • Deformación de la coordenada x:

x´=x+hx ·y

y´=y


Transformaciones en 3 dimensiones

x´a11 a12 a13 a14x

y´a21 a22 a23 a24y

z´a31 a32 a33 a34z

1 00011

Transformaciones en 3 dimensiones

  • La expresión general de una transformación en tres dimensiones en coordenadas homogéneas es:


Matriz de transformaci n m 44

Matriz de transformación M44

  • Describe todas las transformaciones: traslación, escalado, rotación, deformación.

  • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices

  • Se pueden obtener los valores de la transformación a partir de la matriz: desplazamiento, escala y giro.


3d traslaci n

x´100txx

y´010tyy

z´001tzz

100011

3D: Traslación

x´=x+tx

y´=y+ty

z´=z+tz


3d escalado

x´sx000x

y´0sy00y

z´00sz0z

100011

3D: Escalado

x´= sx ·x

y´= sy ·y

z´= sz ·z


3d escalado no homog neo

3D: Escalado no homogéneo

sx  sy sz


3d rotaci n

3D: Rotación


3d matrices de rotaci n

x´1000x

y´0cos θ-sin θ0y

z´0sin θcos θ0z

100011

x´cos θ 0sin θ 0x

y´0100y

z´-sin θ 0cos θ0z

100011

x´ cos θ-sin θ00x

y´sin θcos θ00y

z´0010z

100011

3D: Matrices de rotación

Rotación en x

Rotación en y

Rotación en z


Otras transformaciones

x´10a0x

y´01b0y

z´0010z

100011

x´1000x

y´0100y

z´00-10z

100011

Otras transformaciones

Oblicua en xy (z invariante)

Reflexión plano xy


Composici n de transformaciones

Composición de transformaciones

  • Se pueden aplicar sucesivas transformaciones a un punto.

    • Al resultado de la primera transformación:

      • M1· P

    • se aplica una segunda transformación:

      • M2·[ M1· P] = [M2· M1 ] · P

  • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices

    • M = Mn·Mn-1·… ·M2· M1


La composici n de transfor maciones no es conmutativa

La composición de transfor-maciones no es conmutativa


Estructura jer rquica

Estructura jerárquica

  • Un objeto se sitúa respecto a su sistema de coordenadas.

  • Todo el conjunto se puede situar en un sistema de coordenadas distinto y así sucesivamente.

  • Las coordenadas en el sistema final se obtienen por composición de transformaciones.


Rotaci n alrededor de un pivot

Rotación alrededor de un pivot

  • Si el eje de rotación no pasa por el origen, son necesarias las siguientes operaciones

    • Trasladar el punto de rotación Q, al origen

    • Realizar la rotación

    • Deshacer la traslación

  • La composición de transformaciones es:

    • MRQ(θ) = M3· M2· M1

    • MRQ(θ) = MT (qx, qy, qz)·MR (θ)· MT (-qx, -qy, -qz)

  • El escalado se realiza análogamente


  • Rotaci n alrededor de un eje

    θ

    y

    R

    r

    Q

    O

    x

    z

    Rotación alrededor de un eje

    • El eje define por un punto “Q” y un vector unitario “r”. Se realiza una rotación de un ángulo θ.

    • Se resuelve mediante composiciónde transformaciones

      • Se enuncian las transformaciones

      • Se determina el cálculo de cada una de ellas

      • Se explica como evaluar los ángulos requeridos


    Rotaci n alrededor de un eje composici n de transformaciones

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    R´´

    R´´

    R

    R

    r

    r

    R´´´

    R´´´

    R’

    R’

    Q

    Q

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    Q’

    Q’

    Q’

    Q’

    Q’

    Q’

    z

    z

    z

    z

    z

    z

    z

    z

    Rotación alrededor de un eje:composición de transformaciones

    Posición

    inicial

    Traslación

    QO

    Rotación

    β en x

    Rotación

    θ en y

    Rotación

     en z

    M1

    M2

    M3

    M4

    Posición

    inicial

    Rotación

    -β en x

    Rotación

    -  en z

    Traslación

    -QO

    M7

    M6

    M5


    Rotaci n alrededor de un eje relaci n de transformaciones

    Rotación alrededor de un eje:relación de transformaciones

    • La matriz de transformación es:

      • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1

      • M1 : traslación QO

      • M2 : rotación  en z

      • M3 : rotación  en x

      • M4 : rotación  en y

      • M5 : rotación - en x

      • M6 : rotación - en z

      • M7 : traslación -QO


    Rotaci n alrededor de un eje m 1 traslaci n qo

    θ

    y

    R

    r

    Q

    O

    y

    x

    z

    R’

    x

    Q’

    z

    Rotación alrededor de un eje: M1 - traslación QO

    • Sea R tal que OR = OQ + r

    • La traslación que lleva Q al origen es:

      • M1 = MT (-qx, -qy, -qz)

    M1


    Transformaciones

    rxy

    y

    α

    R´´

    R’

    x

    Q’

    z


    Rotaci n alrededor de un eje m 2 rotaci n en z

    rxy

    y

    α

    R´´

    R’

    x

    Q’

    z

    Rotación alrededor de un eje:M2 - rotación  en z

    • Calcular el ángulo  entre los planos YZ y el plano definido por el eje z y OR’

      • rxy es la proyección ortogonal de r sobre XY

      • R’’ es el resultado del giro alrededor de z

      •  es el ángulo entre rxy y j (vector unitario de y)

      • tener en cuenta el sentido de giro positivo k

    • M2 es la matriz de rotación alrededor del eje z:

      • M2 = MRz ()


    Rotaci n alrededor de un eje m 3 rotaci n en x

    y

    β

    R´´´

    R´´

    x

    Q’

    z

    Rotación alrededor de un eje:M3 - rotación β en x

    • Aplicando M2 a R’ se obtiene R’’

      • R’’ está en el plano YZ

      • r’’ lo define OR’’

    • Calcular el ángulo β entre r’’ y j

      • tener en cuenta el sentido de giro positivo i

    • M3 es la matriz de rotación alrededor del eje x:

      • M3 = MRx (β)


    Rotaci n alrededor de un eje m 4 rotaci n en y

    y

    R´´´

    x

    Q’

    z

    Rotación alrededor de un eje:M4 - rotación θ en y

    • Aplicando M3 a R’’ se obtiene R’’’

      • R’’’ está en el eje y

    • Se realiza el giro θ en el eje y

    • M4 es la matriz de rotación alrededor del eje y:

      • M4 = MRy (θ)


    Rotaci n alrededor de un eje m 5 m 6 m 7 inversas

    Rotación alrededor de un eje:M5, M6, M7 - inversas

    • Una vez calculado el giro θ alrededor del eje transformado, habrá que invertir el proceso de transformación y para ello se calculan las matrices inversas

      • M5 = MRx (-β)

      • M6 = MRz (-)

      • M7 = MT(qx, qy, qz)

    • La matriz de transformación compuesta es:

    • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1


    Rotaci n alrededor de un eje ngulo

    rxy

    y

    α

    R´´

    R’

    x

    Q’

    z

    y

    α

    rxy

    j

    rxy

    z

    x

    α

    Rotación alrededor de un eje:ángulo 

    • Cálculo del ángulo 

      • rxy es la proyección ortogonal de r sobre el plano XY: (rx, ry, 0)

      • cos  = j · rxy / | rxy | =

        = ( (0, 1, 0) · (rx, ry, 0) ) / (rx2 + ry2 )1/2

      • cos  = ry / (rx2 + ry2 )1/2

      • Como cos  = cos (–) , entonces

        • si rx < 0 entonces el ángulo debe ser (2- ) = - 

     = acos (ry / (rx2 + ry2 )1/2)

    y si rx < 0  = - 


    Rotaci n alrededor de un eje ngulo1

    y

    β

    R´´´

    y

    R´´

    β

    r´´

    j

    r´´

    x

    Q’

    z

    x

    z

    β

    Rotación alrededor de un eje:ángulo β

    • Cálculo del ángulo β

      • R’’ y r’’ están en el plano YZ

      • cos β = j · r´´ / | r´´| =

        = ( (0, 1, 0) · (0, ry´´, rz´´) ) / (ry´´2 + rz´´2 )1/2

      • cos β = ry´´ / (ry´´2 + rz´´2 )1/2

      • Como cos β = cos (–β) , entonces

        • si rz´´ > 0 entonces el ángulo debe ser (2- β)β = - β

    β = acos (ry´´/ (ry´´2 + rz´´2 )1/2)

    y si rz´´ > 0 β = - β


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