AXIOMA DA ESCOLHA: Conseqüências e Discussões

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESP. EM FUDAMENTOS DA MATEMÁTICA DISCIPLINA: TÉCNICA DA COMUNICAÇÃO CIENTÍFICA PROF.: Prof. M. Sc MAURO GUTERRES BARBOSA AXIOMA DA ESCOLHA: Conseqüências e Discussões

2. AXIOMA DA ESCOLHA: Conseqüências e Discussões Pós - graduando • Laerte Silva Mendes Júnior • Luciano Gomes Neto

3. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma O que diz o Axioma da Escolha ? O enunciado mais “intuitivo”do Axioma da Escolha (AC), o qual pode ser facilmente ouvido em qualquer sala de café de qualquer instituto de matemática, possivelmente seja o seguinte:

4. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma Quando precisamos do Axioma da Escolha ? AC é necessário quando precisamos realizar “infinitas escolhas arbitrárias”. Talvez a melhor maneira de entender do que se tratam essas tais infinitas escolhas arbitrárias seja compreender bem a seguinte “alegoria”, devida a Russell.

5. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma DISCURSÕES

6. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma DISCURSÕES

7. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma DISCURSÕES

8. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma DISCURSÕES

9. MENU MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma DISCURSÕES - PERGUNTAS DISCURSÕES - PERGUNTAS A utilização do axioma da escolha nas demonstrações matemáticas é necessária quando precisamos realizar infinitas escolhas arbitrárias? Em várias áreas da matemática, existem resultados muito poderosos os quais, além de serem reconhecidos como “conseqüências do Axioma da Escolha” (no sentido de necessitarem de AE para a sua demonstração), são também resultados que possuem “força” o suficiente para demonstrar AE?

10. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma HIPÓTESE Se descartarmos o Axioma da Escolha por completo do sistema axiomático proposto por Zermelo para a teoria dos conjuntos não continuaria consolidada e convalidada a teoria dos conjuntos.

11. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma OBEJETIVOS • Expor o sistema axiomático proposto por Zermelo e explicitar alguns resultados importantes da teoria dos conjuntos; • Mostrar que mesmo de formas indiretas várias demonstrações importantes e cruciais para a matemática dependem do Axioma da Escolha; • Apesar das críticas e desconfianças de alguns matemáticos a respeito do AE eles a utilizam de forma indireta em suas demonstrações como proposições que são validadas pelo Axioma. Cabe a este trabalho identificar e ressaltar pontos que justificam tal afirmação; • Propor uma reflexão aos matemáticos sobre a importância do AE no desenvolvimento da matemática.

12. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma JUSTIFICATIVAS Nosso interesse se concentra em demonstrar que o uso do axioma da escolha está presente em várias situações “práticas” do “dia – a –dia” ou que o axioma da escolha é necessário para uma determinada conclusão, quando isso na verdade não ocorre e fazemos uso de AE mesmo sem perceber. Mais especificamente, estamos interessados em relatar que o axioma da escolha é necessário para realizar infinitas escolhas arbitrarias e que essas escolhas podem ser percebidas no paradoxo de Russell onde, por exemplo: Suponha que S seja uma família infinita de pares de sapatos e que M seja uma família infinita de pares de meias.Nesta situação será que precisa-se do AE para escolher exatamente um par de sapato de cada par de sapato pertencente a S ? E para escolher exatamente uma meia de cada par de meias pertencente a M?

13. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma METODOLOGIA – A MODALIDADE DE ANÁLISE DE CONTEÚDO Segundo Rizzini, Castro e Sartor( 1999, p 91) “... é uma técnica de investigação que tem por objetivo ir além da compreensão imediata e espontânea, ou seja, ela teria como função básica a observação mais atenta dos significados de um texto, e isso pressupõe uma construção de ligação entre as premissas de análise e os elementos que aparecem no texto. Essa atividade é,assim, essencialmente interpretativa.”

14. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma METODOLOGIA Será feito um levantamento literário sobre a história da Teoria dos Conjuntos e as indagações que até os dias de hoje provocam grandes controvérsias no meio matemático. Em seguida será realizado uma pesquisa minuciosa sobre o Axioma da Escolha que ano de 1904 Zermelo apresenta à comunidade matemática o desenvolvimento de um sistema axiomático para a teoria dos conjuntos conhecidos como o Axioma de Fraenkel-Zermelo (FZ), especificando regras para a formação de conjuntos que até então eram usados de forma intuitiva e informal Faremos comparações literárias para verificar as equivalências literárias entre O Axioma da Escolha, de Zermelo (AE), o Teorema da Boa Ordem, de Zermelo (WO), Equivalências de AC em álgebra, análise, etc.

15. MENU O que diz o Axioma da Escolha ?Quando precisamos do Axioma da Escolha ?DiscussõesHipóteseObjetivoJustificativaMetodologiacronograma CRONOGRAMA