1 / 12

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera. gdzie danymi są h stała uniwersalna Plancka m masa cząstki V(r) jej energia potencjalna i wynikiem obliczeń jest {α, ω (α), ψ α (r)}, zbiór rozwiązań indeksowanych przez α (tzw. liczba kwantowa wskazująca stan α) dla energii ω i funkcji falowej ψ.

elsu
Download Presentation

Równanie Schrödingera

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Równanie Schrödingera gdzie danymi są • h stała uniwersalna Plancka • m masa cząstki • V(r) jej energia potencjalna i wynikiem obliczeń jest • {α, ω(α), ψα(r)}, zbiór rozwiązań indeksowanych przez α (tzw. liczba kwantowa wskazująca stan α) dla energiiω i funkcji falowej ψ.

  2. Równanie Schrödingera jest podstawowym narzędziem mechaniki kwantowej. Komplet to równanie Schrödingera na szukane: energię ω i funkcję falową ψ(r), oraz 5 warunków (stanowiących integralną część metody) które musi spełnia funkcja falowa ψ: (1)ψ ma być funkcją ciągłą, (2)o ciągłych pochodnych, (3)jednoznaczna, (4)ograniczona i (5)unormowana Natomiast informacją wejściową dla RS (które jest równaniem ruchu jak II zasada dynamiki Newtona) jest energia potencjalna V(r) (lub siła F jak dla F=ma)

  3. Od 1 atomu (gaz) do wielu atomów (ciecz, ciało stałe) gaz V(atom)=V(gaz) ciecz, c. stałe V(c.stałe)=inne

  4. Pasma energii: Δω << T << W 1 atom  gaz=N atomów  kryształ=N atomów ω(α)=energia  to samo ω(α)  pasmo: 0<ω<W 1 linia, W=0  1 linia wielokrotna  N linii, N=1024, W>0 Ciało stałe tworzą atomy ułożone ciasno, stąd inne V(r) niż w atomie. Wynik to: 1)rozszczepienie=rozrzut poziomów ω, W=1eV=104 K, stąd Δω=W/N=10-20 K, energia NIEMAL ciągła 2)większa szerokość W dla pasm o wyższych energiach 3)ciecz Fermiego=widmo niemal ciągłe + zakaz Pauliego 4)energia Fermiego, zamrożenie czy ruchliwość elektronów 5)przewodniki i izolatory, zachodzenie pasm

  5. ZAKAZ Pauliego: fermiony i bozony stan układu: α=(n,l,m,s) energia: ω(n,l) Uwaga: np. dla α=(2,1,-1,1/2), β=(2,1,+1,-1/2), pomimo że α i β są różne, to ω(α)= ω(β) i dlatego zakaz Pauliego brzmi poprawnie n(α)=0,1 (błędnie ω(α)=0,1). Gdy zakaz Pauliego: nie obowiązuje, n(α)=0,1,2,3,... obowiązuje, n(α)=0,1 to bozony fermiony np. fotony np. elektrony

  6. Od 1 atomu (gaz) do wielu atomów (ciecz, ciało stałe) ...na przykładzie rozkładu n=5 cząstek FERMIONY ω x energia Fermiego x stan wzbudzony x x BOZONY ... x x x stan wzbudzony x x x 0 stan podstawowy x x xxxxx x xx temperatura T 0 T>0 0 T>0 zakaz Pauliego tak nie

  7. Zachodzenie pasm - czyli dlaczego magnez jest metalem 11Na=1s22s2p63s1 (f=1/2=50%) ==> spodziewany metal tak 12Mg=1s22s2p63s2 (f=2/2=100%) ==> izolator, ??? pasmo 3p pasmo 3s pasmo 3s pasmo 3s 11Na 12Mg 12Mg 3s13s23s1,4p0,6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

  8. Zachodzenie pasm Przykład: (atom) magnez 12Mg=1s22s2p63s2 (f=2/2) atomy (gaz) c. stałe (kryształ) 3p 3s 3p 3s 11Na=3s13s1 12Mg=3s23s1,6p0,4Na Mg

  9. Metale, izolatory i półprzewodniki Mechanizm przewodnictwa σ(T), izolator to σ=0 metal metal półprzewodnik 0 ==== 0 - ===> + T=0 T>0 T>0 0 0 - ====> + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx <====> x x x x x x x x 0 x x x x 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

  10. Model silnego wiązania, pasma Model silnego wiązania (TBM=Tight Binding Model) to b. dobry przykład dla wyjaśnienia koncepcji pasm. TBM to przybliżone, analityczne rozwiązanie dla potencjału V(r) w krysztale, który jest stosunkowo bliski potencjałowi atomowemu. Atom (pasmo=poziom, W=0)  TBM(pasmo, W>0)  model elektronów swobodnych(pasmo Wnieskończoność). Idea: periodyczny potencjał V(r) w krysztale zawsze daje energię ω electronu postaci ω(kx,ky,kz), gdzie kx,ky,kz to tzw. wektor falowy o dyskretnych wartościach, co czyni energię ω również dyskretną. Np. dla 26Fe=3d7.24s0.8, możemy stosować TBM dla elektronów 3d. Dla elektronów walencyjnych 4s, alternatywny model elektronów swobodnych, V(r)=const, jest bardziej właściwy.

  11. Model silnego wiązania, pasma ...jest obliczoną dla tetragonalnej struktury krystalograficznej energią TBM dla parametrów (tx,ty,tz) bezpośrednio związanych z odległościami (ax,ay,az) między najbliższymi sąsiadami wzdłuż osi krystalograficznych (x,y,z), t ~ a–5. (Wykładnik 5 dla np. stanów 3d.) Z powyższego wzoru wynika szerokość pasma W=4(tx+ty+tz). Oczywiście t 0 jest limitem atomowym dla którego otrzymujemy poziom energiiω=ω0, W=0, zamiast pasma. Najczęściej dobieramy parametr ω0 tak, aby dno pasma k=0 opowiadało energii ω=0. Wówczas ω0=2(tx+ty+tz).

  12. Model silnego wiązania, pasma Często występuje przypadek małej liczby N elektronów (np. półprzewodniki) które zatem zajmują niskie poziomy energii w pobliżu dna pasma k=0. Dla ilustracji rozpatrzmy np. tx=ty=tz. Stosując przybliżenie mamy a stąd Kwadratowa zależność ω(k) jest charakterystyczna dla modelu elektronów swobodnych, Zatem dla modelu TBM możemy zidentyfikować tzw. masę efektywną m*, zamiast parametru t. Np. dla Si: me=0,31m, mh=0,38m. Pamiętamy a=F/m.

More Related