Résolution de problèmes

1. Résolution de problèmes M2 Alt UE7 2011-2012

2. Résolution de problèmes • Résoudre des problèmes fait partie de l'activité mathématique • C'est dans l'action que l'on apprend : l'apprentissage se fait au moins en partie à travers les adaptations que les élèves vont devoir faire de leurs connaissances mathématiques pour les mettres en oeuvre dans les problèmes

3. Différents types de problèmes • Problèmes de découverte : pour lequel l'élève va devoir construire une nouvelle méthode ou connaissance à partir (ou contre) ce qu'il sait déjà. • Problèmes d’application • Problèmes d’approfondissement, de réinvestissement :ce type de problème nécessite de réunir conjointement plusieurs savoirs ou savoir-faire pour pouvoir le résoudre. • Problèmes d’évaluation • Problèmes ouverts ou de recherche : ce type de problème est destiné à mettre l’élève en situation de recherche et de développement de compétences d’ordre méthodologique.

4. Problèmes et opérations • Les élèves rencontrent des situations additives (pour lesquelles l'addition est un outil de résolution), avant même de savoir poser une addition ex : compléter une collection pour réaliser une collection équipotente • Souvent, résoudre un problème revient à choisir et à effectuer la ou les bonnes opérations (+, -, x, :) mais pas toujours...

5. Exemple de problème sans opération Dans un bocal opaque ily a 5 bonbons rouges, 6 bonbons bleus et 8 bonbons jaunes. Combien de bonbons dois-je tirer au maximum pour êtresûrd'enavoir au moins 2 de la mêmecouleur ? il suffit donc de prendre 4 bonbons pour être sûr d'en avoir au moins 2 de la même couleur on n'a pas fait d'opération, et pourtant les élèves répondront : 5 + 6 + 8 = 19 bonbons ! pourquoi ??

6. Le contrat didactique L’âge du Capitaine … Une expérience maintenant célèbre de l’IREM de Grenoble. On a proposé à des élèves de CE1 et CE2 le problème suivant : Sur un bateau il y a 26 moutons et 10 chèvres. Quel est l’âge du capitaine ? 76% ont donné l’âge du capitaine !

7. Le contrat didactique • Réponse de Matthieu au problème : 36 ans • Mère : tu as dix crayons dans la poche de ton short et dix crayons dans la poche de ta chemise. Quel est ton âge ? • Mat : facile ! 20 ans. • Mère : enfin Matthieu, quel âge as-tu ? • Mat : en vrai, j’ai 6 ans. • Mère : pourtant, tu as répondu que tu avais 20 ans ! • Mat : oui, mais ton problème, c’est du faux, c’est comme un conte … quand c’est du vrai, je n’ai pas besoin d’un problème pour savoir mon âge … • Père : j’ai 2000 F et Maman a 1000 F. Quel est mon âge ? • Matthieu va chercher la calculatrice dans le cartable et répond :3000 ans

8. Le contrat didactique On peut se demander ce qui motive chez les enfants le choix d’une opération : - Quel rôle jouent les mots de l'énoncé ? - Quelle est l’influence des apprentissages scolaires récents ? - Quel rôle joue la vraisemblance du résultat ? on va s'intéresser autant à l'exactitude de la solution proposée qu'à la procédure employée par l'élève : elle est révélatrice de ses connaissances

9. Procédures des élèves Un chien essaie de rattraper un renard. Le renard démarre avec 30 m d'avance sur le chien, et pendant que le chien fait un bond de 2 m, le renard, lui, fait un bond de 0,50 m. Trouve en combien de bonds le chien aura rattrapé le renard.

11. stratégie essai / erreur • elle fait partie de la démarche scientifique

12. Procédures des élèves Parmi les procédures utilisées par les élèves, certaines seront considérées comme plus expertes que d'autres, (et pas seulement en fonction de l'exactitude du résultat) : • suivant la rapidité et l'économie de la procédure • suivant les connaissances mathématiques mises en oeuvre • suivant l'interprétation et la cohérence du résultat obtenu

13. Procédures des élèves • problème : 108 coureurs prennent le départ d'une course. Il y a beaucoup d'abandons. 85 coureurs seulement terminent la course. Combien de coureurs ont abandonné ?

14. utilisation d'un schéma utilisation d'un schéma et du groupement par 10

15. utilisation d'un décomptage

16. utilisation d'un calcul réfléchi avec complément à la dizaine supérieure avec complément à la centaine supérieure

17. utilisation d'une opération posée addition à trou addition soustraction

18. Problèmes et opérations • on distingue 2 grandes catégories de problèmes en fonction des opérations qu'ils nécessitent : • problèmes additifs (addition et soustraction) • problèmes multiplicatifs (multiplication et division)

19. les problèmes additifs

20. A B a+b b a b - a Problèmes additifs • ADDITION • Opération, transformation = ajout • Aspect cardinal = réunion • Aspect ordinal = surcomptage SOUSTRACTION • Opération, transformation = retrait • Aspect cardinal • Aspect ordinal = décomptage ? ? A B

21. Evaluations en CE2 73% 30,5% 29,2%

22. Classification des problèmes additifs = Classification de Vergnaud • Réunion de deux collections ou composition de mesures • on peut rechercher : • la collection totale • une sous-partie de la collection connaissant le total le premier de ces deux types de problèmes est le plus simple à résoudre pour les élèves

23. Classification des problèmes additifs • Transformation d’état • dans un tel problème, on peut rechercher : • la situation finale • la transformation effectuée • la situation initiale

24. +7 ? 14 ? 14 21 +7 ? 21 Classification des problèmes additifs : trois exemples de transformations Annie avait 14 billes, elle en a gagné 7, combien en a­t­elle maintenant ? Annie avait 14 billes, elle a joué et elle en a maintenant 21. Que s’est­il passé ? Annie a gagné 7 billes, elle en a maintenant 21. Combien avait­elle de billes avant le jeu ? ces deux derniers types de problèmes sont plus difficiles à résoudre que le premier

25. Classification des problèmes additifs • Comparaison • On peut rechercher : • l’un des deux états • la relation entre les deux états • (combien X a-t-il de ± que Y ?) • c'est le type de problème qui pose le plus de difficulté aux élèves

26. Classification des problèmes additifs • Composition de transformations type de problème plus rare à l'école primaire

27. 76 ? 73% 34 85 30,5% 108 ? Des erreurs qui peuvent être liées à : Addition ou soustraction Réunion de deux collections ou composition de mesures • Aux calculs à effectuer • Au type de problème

28. Quelles sont les variables qui rendent ces problèmes plus ou moins complexes ? • On achète 3 chaises pour 45€. Combien coûte une chaise ? • On achète 3 chaises pour 45€ et 1 table pour 50€. Combien a-t-on dépensé ? • On achète 3 chaises et une table pour 95€, puis on rachète 2 chaises pour 30€. Combien coûte une chaise ? une table ? • On achète une table et 2 chaises pour 80€, puis 2 tables et 6 chaises pour 130€. Combien coûte chaque meuble ?

29. Les difficultés peuvent être relatives à : • Des facteurs « mathématiques » • Relations entre les nombres • Nombres en jeu • Grandeurs en jeu • D’autres facteurs • Place de la question • Complexité linguistique • Chronologie de l’énoncé • Nombre d’étapes pour résoudre le problème et gestion des résultats intermédiaires • Interprétation sociale/subjective de l’énoncé.

30. Des problèmes « faciles » ou non ? Posés à l’entrée en CE2 210 • Soustraction ou 210 avec ou sans unités : 59,2% • Autres réponses : 36,9% (démarche additive : 18,9%) 19 • 19 : 27,3% • Autre : 68,4%

31. et dans les manuels ? • rechercher les problèmes additifs dans les manuels de l'école élémentaire • comment sont-ils signalés ? • où sont-ils placés ? • quelles catégories de problèmes trouve-t-on ? • quelle progression entre les différents problèmes ?

32. dans les manuels : • on trouve plutôt des "problèmes" d'entraînement liés aux opérations mais pas de vrais problèmes • la progression se fait par rapport aux opérations, et aux nombres mais pas par rapport au type de problème dans la plupart des cas (réunion, transformation, comparaison ne sont pas forcément dans cet ordre voire pas tous représentés) • on trouve beaucoup plus de problèmes de transformation