La méthode d’Euler pas à pas

1. La méthode d’Euler pas à pas Au départ, il y a : - une équation différentielle du premier degré y’(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t) qu’on ne sait pas nécessairement résoudre... - une condition initiale : c’est à dire une valeur que l’on connaît : Par exemple : y(0) = y0

2. Un peu de math... Par définition, y’(t) = limDt-->0 ([y(t+Dt) - y(t)]/Dt) En physique, pour un intervalle de temps Dt suffisamment petit (mais fini et défini) : y’(t)  [y(t+Dt) - y(t)]/Dt d ’où y(t+Dt)  y(t) + y’(t).Dt on note Dy(t) =y(t +Dt) - y(t) Dy(t)  y’(t).Dt

3. A partir de là : quand le mathématicien écrit  le physicien écrit = ; mais ne perdez pas de vue que le résultat est approché ! Reprenons : Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Dy(t) = y’(t).Dt y(t +Dt) = y(t)+Dy(t) Tout cela à chaque instant t...

4. Et n’oublions pas que nous connaissons une équation différentielle du premier degré : donc...  y’(t) = fonction de y(t) Dy(t) = y’(t).Dt  y(t +Dt) = y(t)+Dy(t)  Et nous connaissons aussi une valeur de y(t) : c’est la condition initiale : y(0) = y0 

5.  Condition initiale y(0) y’(t) = fonction de y(t)  Je connais y(0), je calcule y’(0)  Dy(t) = y’(t).Dt Je fixe un Dt (petit) Je connais y’(0), je calcule Dy(0)  y(t +Dt) = y(t)+Dy(t) Je connais y(0) et Dy(0), je calcule y(0+Dt) Maintenant je connais aussi y(t1) avec t1 = 0 + Dt

6.     Je connais y(t1) je calcule y’(t1) Je connais y’(t1) je calcule Dy(t1) je calcule y(t1+Dt) Je connais y(t1) et Dy(t1) Maintenant je connais aussi y(t2) avec t2 = t1 +Dt On continue ?

7.     y(t2) Dy(t2) y’(t2) y(t2 +Dt) Maintenant je connais aussi y(t3) avec t3 = t2 +Dt Et ainsi de suite : c’est une méthode itérative

8. Le mieux est encore d’utiliser un un exemple concret La décharge d’un condensateur chargé

9. La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que uC + uR = 0 (avec les conventions du schéma)soit u C + RC duC/dt= 0

10.  Condition initiale uC(0) uC’(t) = - (1/RC).uC(t)  uC’(0)= - (1/RC).uC(0)  DuC(t) = uC’(t).Dt Je fixe un Dt (petit) DuC(0) = - (1/RC).uC(0).Dt  y(t +Dt) = y(t)+Dy(t) uC(0+Dt) = uC(0) - (1/RC).uC(0).Dt t1 = 0 + Dt uC(t1) est connu

11. Et si on voyait ça avec un tableur ? Ouvrir le fichier Excel