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Dérivée des fonctions trigonométriques

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Dérivée des fonctions trigonométriques. Larry Gingras, professeur Adapté par Jacques Paradis, professeur. Plan de la rencontre. Angles – Rappel Définition des fonctions sinus et cosinus Identités trigonométriques Autres fonctions trigonométriques et trigonométrie du triangle rectangle

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d riv e des fonctions trigonom triques

Dérivée des fonctions trigonométriques

Larry Gingras, professeur

Adapté par Jacques Paradis, professeur

plan de la rencontre
Plan de la rencontre
  • Angles – Rappel
  • Définition des fonctions sinus et cosinus
  • Identités trigonométriques
  • Autres fonctions trigonométriques et trigonométrie du triangle rectangle
  • Dérivée des fonctions sinus et cosinus
  • Dérivée des fns tangente et cotangente
  • Dérivé des fns sécanteet cosécante
  • Applications aux taux liés
angles rappel
Angles (rappel)
  • Angle se calcule en degré ou en radian :
    • 1 radian = longueur du rayon
    • 2 radians = 360° et  radians = 180°
    • Exemples :
      • /6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?
  • Signe d’un angle :
    • Angle positif : sens anti-horaire
    • Angle négatif : sens horaire
  • Remarque : les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés en radians.

-

fonctions sinus et cosinus

P

(0 , 1)

(1 , 0)

Fonctions sinus et cosinus
  • Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien:
    • Sinus = sin = ordonnée du point P : y
    • Cosinus = cos = abscisse du point P : x
    • Exemples :
      • sin0= 0
      • cos0 = 1
      • sin(/2) = 1
      • cos(/2) = 0
      • sin(/6) = ?
      • cos((/3) = ?
identit s trigonom triques

(/2) – 

(b , a)

(a , b)

Identités trigonométriques
  • cos = sin(/2 -
  • sin = cos(/2 -
  • )
autres fonctions trigonom triques
Autres fonctions trigonométriques
  • Tangente, cotangente, sécante et cosécante
  • Trigonométrie du triangle rectangle :

c

a

b

moyen mn motechnique

hyp

opp

adj

Moyen mnémotechnique
  • S inus
  • O pposé
  • H ypothénuse
  • C osinus
  • A djacent
  • H ypothénuse
  • T angente
  • O pposé
  • A djacent

SOH CAH TOA

moyen mn motechnique1
Moyen mnémotechnique
  • Sinus
  • Cosécante
  • cosec x = 1/sin x

Si Co

sinus et cosinus

-

-/2

/2

Sinus et cosinus

On peut voir que la variation de la pente de la tangente de la fonction sinus correspond bien à la fonction cosinus

d monstration2
Démonstration

Rem: La démonstration pour cotx se fait de façon similaire

d monstration3
Démonstration

Rem: La démonstration pour cscx se fait de façon similaire

exercices
Exercices
  • Calculer f’(x) si
    • a) f(x) = sinx3
    • b) f(x) = sin3x
    • c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx
    • d)
    • e)
  • Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.
application aux taux li s exemple

5 m

Application aux taux liés (exemple)
  • Un homme est assis au bout d’un quai situé 5 m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2 m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et la surface de l’eau quand la longueur du câble entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?

z

application aux taux li s exercice

6 m

x

Application aux taux liés (exercice)
  • Une échelle de 6 m de longueur est appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de variation par rapport au temps t de l’angle  formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.
devoir
Devoir
  • Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g), 2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a.
  • Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6.
  • Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b.
  • Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b.
  • Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque: 18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).

Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s

18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.

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