D riv e des fonctions trigonom triques
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Dérivée des fonctions trigonométriques. Larry Gingras, professeur Adapté par Jacques Paradis, professeur. Plan de la rencontre. Angles – Rappel Définition des fonctions sinus et cosinus Identités trigonométriques Autres fonctions trigonométriques et trigonométrie du triangle rectangle

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Dérivée des fonctions trigonométriques

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Presentation Transcript


D riv e des fonctions trigonom triques

Dérivée des fonctions trigonométriques

Larry Gingras, professeur

Adapté par Jacques Paradis, professeur


Plan de la rencontre

Plan de la rencontre

  • Angles – Rappel

  • Définition des fonctions sinus et cosinus

  • Identités trigonométriques

  • Autres fonctions trigonométriques et trigonométrie du triangle rectangle

  • Dérivée des fonctions sinus et cosinus

  • Dérivée des fns tangente et cotangente

  • Dérivé des fns sécanteet cosécante

  • Applications aux taux liés


Angles rappel

Angles (rappel)

  • Angle se calcule en degré ou en radian :

    • 1 radian = longueur du rayon

    • 2 radians = 360° et  radians = 180°

    • Exemples :

      • /6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?

  • Signe d’un angle :

    • Angle positif : sens anti-horaire

    • Angle négatif : sens horaire

  • Remarque : les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés en radians.

-


Fonctions sinus et cosinus

P

(0 , 1)

(1 , 0)

Fonctions sinus et cosinus

  • Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien:

    • Sinus = sin = ordonnée du point P : y

    • Cosinus = cos = abscisse du point P : x

    • Exemples :

      • sin0= 0

      • cos0 = 1

      • sin(/2) = 1

      • cos(/2) = 0

      • sin(/6) = ?

      • cos((/3) = ?


Identit s trigonom triques

(/2) – 

(b , a)

(a , b)

Identités trigonométriques

  • cos = sin(/2 -

  • sin = cos(/2 -

  • )


Autres fonctions trigonom triques

Autres fonctions trigonométriques

  • Tangente, cotangente, sécante et cosécante

  • Trigonométrie du triangle rectangle :

c

a

b


Moyen mn motechnique

hyp

opp

adj

Moyen mnémotechnique

  • S inus

  • O pposé

  • H ypothénuse

  • C osinus

  • A djacent

  • H ypothénuse

  • T angente

  • O pposé

  • A djacent

SOH CAH TOA


Moyen mn motechnique1

Moyen mnémotechnique

  • Sinus

  • Cosécante

  • cosec x = 1/sin x

Si Co


Limites 1de 2

Limites (1de 2)


Limites 2de 2

Limites (2de 2)


D riv e de la fonction sinus

-

Dérivée de la fonction sinus


D monstration

Démonstration


D riv e de la fonction cosinus

-/2

/2

Dérivée de la fonction cosinus


D monstration1

(/2) – x

(b , a)

(a , b)

x

Démonstration


Sinus et cosinus

-

-/2

/2

Sinus et cosinus

On peut voir que la variation de la pente de la tangente de la fonction sinus correspond bien à la fonction cosinus


D riv e de tan x et cot x

-/2

/2

-

Dérivée de tan x et cot x


D monstration2

Démonstration

Rem: La démonstration pour cotx se fait de façon similaire


D riv e de sec x et csc x

-/2

/2

-

Dérivée de secx et csc x


D monstration3

Démonstration

Rem: La démonstration pour cscx se fait de façon similaire


R sum

Résumé


Exemples trouver la d riv e de

Exemples : Trouver la dérivée de :

  • 1)

  • 2)

  • 3)


Exercices

Exercices

  • Calculer f’(x) si

    • a) f(x) = sinx3

    • b) f(x) = sin3x

    • c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx

    • d)

    • e)

  • Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.


Application aux taux li s exemple

5 m

Application aux taux liés (exemple)

  • Un homme est assis au bout d’un quai situé 5 m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2 m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et la surface de l’eau quand la longueur du câble entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?

z


Application aux taux li s exercice

6 m

x

Application aux taux liés (exercice)

  • Une échelle de 6 m de longueur est appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de variation par rapport au temps t de l’angle  formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.


Devoir

Devoir

  • Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g), 2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a.

  • Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6.

  • Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b.

  • Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b.

  • Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque: 18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).

    Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s

    18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.


Exemple 1

Exemple 1


Exemple 2

Exemple 2


Exemple 3

Exemple 3


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