§
Download
1 / 8

Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. - PowerPoint PPT Presentation


  • 190 Views
  • Uploaded on

§ 2. Последовательность. Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. x 1 ; x 2 ; x 3 ; …; x n ;… или { x n }. ОПР. 8* x n = f ( n ). ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной  сверху, если ∃ M <+∞, ∀ n x n ≤ M

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. ' - eliza


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

§ 2. Последовательность

Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел.

x1; x2; x3; …; xn;… или {xn}

ОПР. 8*xn= f(n)

  • ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной сверху, если ∃M <+∞, ∀nxn ≤ M

  • снизу , если ∃m>−∞, ∀nxn≥m

    ограниченной, если она ограничена сверху и снизу


10 x n n

Опр. 10. Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если

Пишут:

Доказать:


11 x n

Опр. 11. Последовательность {xn} называется бесконечно большой (б.б), если Пишут:

xn =n2

xn

C=100

100

50

C=9

n

11

6

8

4

2


12 x n

Опр. 12. Последовательность {xn} называется бесконечно малой(б.м.п), если то есть, если

Опр. 13. Последовательность {xn} называется постоянной, если все ее члены равны одному и тому же числу


Свойства б.м. и б.б. последовательностей

  • Б.м.п. ограничена ДОКАЗАТЬ

  • Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть б. м. п. ДОКАЗАТЬ

    Следствие а) Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

    б) Произведение конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

  • Сумма и разность б. м. п. есть так же б. м. п.ДОКАЗАТЬ

  • Если б. б. п., то б.м.п. и наоборот. ДОКАЗАТЬ

  • Если {xn} – постоянная и {xn} – б.м.п., то xn =0 ДОКАЗАТЬ

  • Сумма и произведение б. б. п. есть так же б. б. п.

  • Еслипоследовательность {xn} ограниченная и отделимая от нуля (начиная с некоторого номера Nxn >K≠0), а {yn}– б. б. п., то их произведение б. б. п.

  • Если {xn} – б. б. п. и ∀nимеет место неравенство xn< yn, то {yn} – б. б. п.

  • Сумма б. б. разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка


Сходящиеся последовательности последовательностей

Опр. 14. Если существует конечный предел последовательности {xn}, то она называется сходящейся

Свойства сходящихся последовательностей

  • Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел. ДОКАЗАТЬ

  • Если , то xn =a+αn (αn– б.м.п) ДОКАЗАТЬ

  • Если {xn} сходится, то онаограничена. ДОКАЗАТЬ

    ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится

    СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится

  • Если и xn≠0 и l≠0, то – ограниченная последовательность

  • Пусть тогда

    ДОКАЗАТЬ


Предельный переход в неравенствах

  • Пусть , тогда если xn≤ yn, то l1≤l2

  • «Теорема о двух полицейских»Если ∃N∀n >N:а) б)то существует предел

    Теорема 2. (Критерий сходимости Коши)

    Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

    ДОКАЗАТЬ


Предел монотонной последовательности

Опр. 15. Последовательность {xn} называется

- возрастающей, если ∀nxn< xn+1; обозначают (↑)

  • неубывающей, если ∀nxn≤xn+1; (↑)

  • убывающей, если ∀nxn> xn+1; (↓)

  • невозрастающей, если ∀nxnxn+1; (↓)

    Опр. 16. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными

    Т. 3. Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)

    Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ). ДОКАЗАТЬ


ad