slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 60

Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi - PowerPoint PPT Presentation


  • 119 Views
  • Uploaded on

I modelli di valutazione delle opzioni su tassi. Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi. Definizione della yield curve. Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi' - elita


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

I modelli di valutazione delle opzioni su tassi

Un approccio statistico

alla stima della yield curve

Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

definizione della yield curve
Definizione dellayield curve
  • Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount)
  • Stesso emittente
  • Stessa liquidità
  • Diversa scadenza
finalit della yield curve
Finalità della yield curve
  • Interpretazione delle aspettative degli operatori
  • Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie
    • Analisi del rischio di interesse di un portafoglio
    • Pricing di alcuni derivati
criteri per la stima
Criteri per la stima
  • Scelta del campione
  • Parsimonia
  • Rassomiglianza
  • Robustezza
soluzioni per la stima
Soluzioni per la stima
  • Metodi di mercato
  • Metodi no-arbitrage
  • Obiettivo: minimizzare l’errore
stima della continuit
Stima della continuità
  • Interpolazione statistica
  • Adattamento alla polinomiale
  • Misura dell’errore commesso
interpolazione statistica
Interpolazione statistica
  • Semplicità
  • Regressione rispetto alla vita residua, per approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo
adattamento polinomiale
Adattamento polinomiale
  • Adattamento lineare
  • Adattamento esponenziale
  • Adattamento potenza

FOGLIO

EXCEL

stima lineare esempio

2

R

Stima lineare (esempio)
  • Stimare la curva dei rendimenti utilizzando le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione

MODELLO DI STIMA

COEFFICIENTE DI

DELLA CURVA DEI RENDIMENTI

DETERMINAZIONE (

)

r

= 4,985 + 0,161t

96,25%

t

2

r

= 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t

96,36%

t

2

3

r

= 5,436

0,2209t + 0,0799 t

0,0047t

99,

44%

t

2

3

4

r

= 5,4918

0,2921t +0,106 t

-

0,0083t

+ 0,0002t

99,46%

t

stima della continuit1
Stima della continuità
  • Una volta stimata la funzione della curva è possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti
  • La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze
stima della continuit es
Stima della continuità (es.)
  • Si prenda la prima curva stimata
  • Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo
  • Si calcola il valore di t. Nel caso specifico
stima della continuit es1
Stima della continuità (es.)
  • Si sostituisce il valore i t alla funzione di stima
  • Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate
stima della continuit es2
Stima della continuità (es.)
  • Nel caso delle funzioni stimate, fino al quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti
stima logaritmica
Stima logaritmica
  • Per ottenere migliori risultati in termini di stima è possibile operare mediante logaritmi
  • La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica
modello di bradley crane
Modello di Bradley-Crane
  • Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimenti
modello cohen kramer waugh
Modello Cohen-Kramer-Waugh
  • Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua

FOGLIO

EXCEL

modello cohen kramer waugh1
Modello Cohen-Kramer-Waugh
  • Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].
difetti dei modelli
Difetti dei modelli
  • L’esistenza di flussi eterogenei
  • I fattori di imposizione fiscale
  • Le tipologie degli emittenti
  • Misura del TRES
modello di echols elliot
Modello di Echols-Elliot
  • Echols ed Elliot propongono una funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole
  • dove i indica il titolo i-esimo e C è l\'ammontare della sua cedola
modello di echols elliot1
Modello di Echols-Elliot
  • Il modello stimato sull’esempio

( =96,85) permette di ottenere i risultati seguenti

il metodo tres duration
Il metodo TRES/duration
  • La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola
  • Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza
altri modelli tres duration
Altri modelli TRES/duration
  • Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua
  • Bradley e Crane
  • Cohen, Kramer e Waugh
difetti dei modelli tres duration
Difetti dei modelliTRES/duration
  • La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso
  • Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES
  • Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti
calcolo tassi spot
Calcolo tassi spot
  • Rendimenti di titoli zero-coupon
  • Problema della stima in assenza di titoli senza cedola
  • Metodo del coupon stripping
calcolo tassi spot es
Calcolo tassi spot (es.)
  • Formula di calcolo
calcolo tassi spot es2
Calcolo tassi spot (es.)
  • Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente
stima struttura continua
Stima struttura continua
  • Una volta calcolati i tassi spot, è possibile stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti
  • Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva
stima struttura continua1
Stima struttura continua
  • Si ipotizzi di volere stimare la curva dai seguenti tassi spot
il modello degli splines
Il modello degli splines
  • Una soluzione ampiamente utilizzata è quella degli spline
  • Si tratta di un insieme di funzioni polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità
il modello degli splines1
Il modello degli splines
  • I benefici sono:
    • il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui
    • i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile
    • l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria
il modello degli splines2
Il modello degli splines
  • I problemi sono:
    • occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi
    • se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting)
    • se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato
il limite dei modelli di stima
Il limite dei modelli di stima
  • Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze
  • Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)
il modello matriciale
Il modello matriciale
  • Il modello matriciale permette di interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato
il modello matriciale1
Il modello matriciale
  • Partendo dalla matrice F degli m flussi degli n titoli
  • Si deve risolvere il sistema
  • dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto
il modello matriciale2
Il modello matriciale
  • Per verificare l’affidabilità di questo modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula
il modello matriciale3
Il modello matriciale
  • Ripartiamo dall’esempio dei titoli zero coupon
il modello matriciale4
Il modello matriciale
  • Le matrici del modello sono le seguenti
il modello matriciale5
Il modello matriciale
  • Occorre quindi risolvere il sistema lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto
il modello matriciale6
Il modello matriciale
  • Per ottenere il valore di v(1) si deve anzitutto risolvere il determinante della matrice
il modello matriciale7
Il modello matriciale
  • Quindi occorre calcolare il determinante della matrice F
il modello matriciale8
Il modello matriciale
  • A questo punto si risolve il rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno
il modello matriciale9
Il modello matriciale
  • Per ottenere il rendimento del titolo senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente
il modello matriciale10
Il modello matriciale
  • In modo del tutto analogo, il valore di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice
il modello matriciale11
Il modello matriciale
  • Rapportando il determinante riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene
il modello matriciale12
Il modello matriciale
  • Il rendimento del titolo a due anni si ottiene nel modo seguente
il modello matriciale13
Il modello matriciale
  • La bontà del modello è confermata dalla coincidenza dei rendimenti originari
il modello matriciale14
Il modello matriciale
  • Si consideri un esempio concreto
il modello matriciale15

Flussi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4,5

4,5

104,5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3,75

3,75

3,75

3,75

103,75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

3

3

3

3

103

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

105,25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

106,25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

6

6

6

6

6

6

6

106

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

103,125

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

106

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

105,75

0

0

0

0

0

0

0

0

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

104,5

0

0

0

0

0

0

0

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

104,25

0

0

0

0

0

0

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

105,25

0

0

0

0

0

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

105,25

0

0

0

0

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

105,25

0

0

0

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

104,75

0

0

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

103,875

0

Il modello matriciale

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

103,375

il modello matriciale16
Il modello matriciale
  • Il determinante della prima matrice è il seguente
il modello matriciale17
Il modello matriciale
  • Il determinante della matrice F è il seguente
il modello matriciale18
Il modello matriciale
  • Il fattore di sconto v(0,5) si individua rapportando i due determinanti
  • mentre il rendimento è dato da
il modello matriciale19
Il modello matriciale
  • Il risultato completo è riprodotto di seguito
il modello matriciale20
Il modello matriciale
  • La rappresentazione grafica delle curve mostra le differenze
limite del modello matriciale
Limite del modello matriciale
  • Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice
ad