I modelli di valutazione delle opzioni su tassi
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Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi PowerPoint PPT Presentation


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I modelli di valutazione delle opzioni su tassi. Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi. Definizione della yield curve. Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza.

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Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

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Presentation Transcript


I modelli di valutazione delle opzioni su tassi

Un approccio statistico

alla stima della yield curve

Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi


Definizione dellayield curve

  • Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount)

  • Stesso emittente

  • Stessa liquidità

  • Diversa scadenza


Finalità della yield curve

  • Interpretazione delle aspettative degli operatori

  • Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie

    • Analisi del rischio di interesse di un portafoglio

    • Pricing di alcuni derivati


Criteri per la stima

  • Scelta del campione

  • Parsimonia

  • Rassomiglianza

  • Robustezza


Soluzioni per la stima

  • Metodi di mercato

  • Metodi no-arbitrage

  • Obiettivo: minimizzare l’errore


Modelli statistici (es. I)


Modello TRES/vita residua


Stima della continuità

  • Interpolazione statistica

  • Adattamento alla polinomiale

  • Misura dell’errore commesso


Interpolazione statistica

  • Semplicità

  • Regressione rispetto alla vita residua, per approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo


Adattamento polinomiale

  • Adattamento lineare

  • Adattamento esponenziale

  • Adattamento potenza

FOGLIO

EXCEL


2

R

Stima lineare (esempio)

  • Stimare la curva dei rendimenti utilizzando le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione

MODELLO DI STIMA

COEFFICIENTE DI

DELLA CURVA DEI RENDIMENTI

DETERMINAZIONE (

)

r

= 4,985 + 0,161t

96,25%

t

2

r

= 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t

96,36%

t

2

3

r

= 5,436

0,2209t + 0,0799 t

0,0047t

99,

44%

t

2

3

4

r

= 5,4918

0,2921t +0,106 t

-

0,0083t

+ 0,0002t

99,46%

t


Stima della continuità

  • Una volta stimata la funzione della curva è possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti

  • La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze


Stima della continuità (es.)

  • Si prenda la prima curva stimata

  • Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo

  • Si calcola il valore di t. Nel caso specifico


Stima della continuità (es.)

  • Si sostituisce il valore i t alla funzione di stima

  • Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate


Stima della continuità (es.)

  • Nel caso delle funzioni stimate, fino al quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti


Stima logaritmica

  • Per ottenere migliori risultati in termini di stima è possibile operare mediante logaritmi

  • La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica


Modello di Bradley-Crane

  • Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimenti


Modello Cohen-Kramer-Waugh

  • Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua

FOGLIO

EXCEL


Modello Cohen-Kramer-Waugh

  • Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].


Difetti dei modelli

  • L’esistenza di flussi eterogenei

  • I fattori di imposizione fiscale

  • Le tipologie degli emittenti

  • Misura del TRES


Modello di Echols-Elliot

  • Echols ed Elliot propongono una funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole

  • dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola


Modello di Echols-Elliot

  • Il modello stimato sull’esempio

    ( =96,85) permette di ottenere i risultati seguenti


Il metodo TRES/duration

  • La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola

  • Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza


Interpolazione statistica


Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration


Altri modelli TRES/duration

  • Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua

  • Bradley e Crane

  • Cohen, Kramer e Waugh


Difetti dei modelliTRES/duration

  • La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso

  • Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES

  • Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti


Calcolo tassi spot

  • Rendimenti di titoli zero-coupon

  • Problema della stima in assenza di titoli senza cedola

  • Metodo del coupon stripping


Calcolo tassi spot (es.)

  • Formula di calcolo


Calcolo tassi spot (es.)


Calcolo tassi spot (es.)

  • Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente


Calcolo tassi spot (es.)


Stima struttura continua

  • Una volta calcolati i tassi spot, è possibile stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti

  • Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva


Stima struttura continua

  • Si ipotizzi di volere stimare la curva dai seguenti tassi spot


Il modello degli splines

  • Una soluzione ampiamente utilizzata è quella degli spline

  • Si tratta di un insieme di funzioni polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità


Il modello degli splines

  • I benefici sono:

    • il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui

    • i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile

    • l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria


Il modello degli splines

  • I problemi sono:

    • occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi

    • se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting)

    • se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato


Il limite dei modelli di stima

  • Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze

  • Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)


Il modello matriciale

  • Il modello matriciale permette di interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato


Il modello matriciale

  • Partendo dalla matrice F degli m flussi degli n titoli

  • Si deve risolvere il sistema

  • dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto


Il modello matriciale

  • Per verificare l’affidabilità di questo modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula


Il modello matriciale

  • Ripartiamo dall’esempio dei titoli zero coupon


Il modello matriciale

  • Le matrici del modello sono le seguenti


Il modello matriciale

  • Occorre quindi risolvere il sistema lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto


Il modello matriciale

  • Per ottenere il valore di v(1) si deve anzitutto risolvere il determinante della matrice


Il modello matriciale

  • Quindi occorre calcolare il determinante della matrice F


Il modello matriciale

  • A questo punto si risolve il rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno


Il modello matriciale

  • Per ottenere il rendimento del titolo senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente


Il modello matriciale

  • In modo del tutto analogo, il valore di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice


Il modello matriciale

  • Rapportando il determinante riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene


Il modello matriciale

  • Il rendimento del titolo a due anni si ottiene nel modo seguente


Il modello matriciale

  • La bontà del modello è confermata dalla coincidenza dei rendimenti originari


Il modello matriciale

  • Si consideri un esempio concreto


Flussi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

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0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4,5

4,5

104,5

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0

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0

0

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0

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0

0

0

0

0

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0

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0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

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0

0

3,75

3,75

3,75

3,75

103,75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

3

3

3

3

103

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

5,25

105,25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

6,25

106,25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

6

6

6

6

6

6

6

106

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

3,125

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3,125

3,125

103,125

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0

0

0

0

0

0

0

0

6

6

6

6

6

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6

6

6

6

106

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0

0

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0

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5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

5,75

105,75

0

0

0

0

0

0

0

0

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

104,5

0

0

0

0

0

0

0

4,25

4,25

4,25

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4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

104,25

0

0

0

0

0

0

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

4,25

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4,25

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105,25

0

0

0

0

0

5,25

5,25

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5,25

5,25

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105,25

0

0

0

0

5,25

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5,25

5,25

5,25

5,25

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5,25

5,25

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5,25

5,25

5,25

105,25

0

0

0

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

4,75

104,75

0

0

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

3,875

103,875

0

Il modello matriciale

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

3,375

103,375


Il modello matriciale

  • Il determinante della prima matrice è il seguente


Il modello matriciale

  • Il determinante della matrice F è il seguente


Il modello matriciale

  • Il fattore di sconto v(0,5) si individua rapportando i due determinanti

  • mentre il rendimento è dato da


Il modello matriciale

  • Il risultato completo è riprodotto di seguito


Il modello matriciale

  • La rappresentazione grafica delle curve mostra le differenze


Limite del modello matriciale

  • Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice


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