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Il simulated annealing (SA). Analogia con il processo di solidificazione di un metallo fuso A partire dal metallo fuso, la temperatura viene abbassata lentamente e il sistema transita da uno stato energetico al successivo fino a quando il metallo solidifica nello stato di minima energia.

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Presentation Transcript
Il simulated annealing sa
Il simulated annealing (SA)

  • Analogia con il processo di solidificazione di un metallo fuso

  • A partire dal metallo fuso, la temperatura viene abbassatalentamente e il sistema transita da uno stato energetico al successivo fino a quando il metallo solidifica nello statodi minima energia

Simulated annealing (SA)

1


Passi salienti del processo fisico
Passi salienti del processo fisico

  • il sistema viene portato alla temperatura di fusione

  • il sistema si trova in uno stato i e può transitare in uno stato j ottenuto perturbando lo stato i

  • la transizione avviene seguendo il criterio di Metropolis

  • la temperatura deve essere abbassata lentamente in modo che il solido raggiunga l’equilibrio termico ad ogni temperatura

Simulated annealing (SA)

2


Modello matematico

x

stato del sistema

f(x)

energia dello stato

parametro di controllo T

temperatura

funzione di T decrescente

raffreddamento

generatore di configurazioni x

perturbazione

criterio di Metropolis

ottimo globale

minima energia

Modello matematico

Simulated annealing (SA)

3


Physical annealing
Physical annealing

MAX

Equilibrium at temperature Tmax

STATE 1

STATE 2

STATE n0

...

Equilibrium at T1<Tmax

STATE n1

...

MINIMAL ENERGY STATE

STATE nc

...

MIN

Equilibrium at Tmin

ENERGY

MAX

MIN


Simulated annealing

Metropoliscriterion

cooling schedule starting temperature

Simulated annealing

cooling scheduleequilibrium criterion

MAX

SOLUTION 1

SOLUTION 2

SOLUTION K

...

random changesgenerator

SOLUTIONREJECTED

cooling scheduledecrement function

CONTROL PARAMETER

GLOBAL OPTIMUM

no

NEWSOLUTION

yes

LAST SOLUTION

BEST SOLUTION

SOLUTION 1

...

...

MIN

cooling schedulestop criterion

OBJECTIVE FUNCTION (average)

MIN

MAX


Teoria matematica
Teoria matematica

  • Descrizione mediante catene di Markov

  • Convergenza alla soluzione ottima con probabilità 1 per un numero infinito di transizioni

Simulated annealing (SA)

6


Realizzazione dell algoritmo
Realizzazione dell’algoritmo

  • Descrizione delle configurazioni e generatore casuale di configurazioni

  • Funzione obiettivo F e criterio di accettazione

  • Parametro di controllo T e schema di raffreddamento

Simulated annealing (SA)

7


Generazione casuale
Generazione casuale

metodo del simplesso

  • simplesso iniziale N+1 vertici

  • movimenti del simplesso

  • scarto del vertice peggiore

  • contrazione globale

Simulated annealing (SA)

8


Movimenti del simplesso
Movimenti del simplesso

Simplesso

iniziale

Riflessione

Espansione

Contrazione

Contrazione globale


Criterio di metropolis
Criterio di Metropolis

  • Generazione di un numero random r  ]0,1[ e confronto con PT{j}: se PT{j} < r la nuova configurazione viene scartata.

  • Calcolo della funzione obiettivo della nuova configurazione j e confronto con la precedente configurazione i per il calcolo della probabilità di accettazione di j:

Simulated annealing (SA)

10


Schema di raffreddamento
Schema di raffreddamento

  • Temperatura iniziale

  • Numero di passi a temperatura costante

  • Funzione di decremento

  • Criterio di arresto

    Il concetto fondamentale che guida la scelta di questi parametri è quello di quasi equilibrio

Simulated annealing (SA)

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Temperatura iniziale
Temperatura iniziale

  • Valore abbastanza alto

  • Deviazione standard vertici del simplesso

  • Rapporto di accettazione iniziale  1 (PTCS)

Simulated annealing (SA)

12


Schemi di raffreddamento
Schemi di raffreddamento

Simulated annealing (SA)

14




Criterio di arresto
Criterio di arresto

  • Valore ottimo (se noto)

  • Numero fisso di raffreddamenti

    L’algoritmo può essere completato con una ricerca deterministica a partire dall’ottimo trovato.

Simulated annealing (SA)

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Ottimizzatore codice fem

Optimization block

Evaluation block

Output

Input variables

Results

Data

Input commands

Batch commands

Ottimizzatore + codice FEM

GA/SA

f(x)

Batch script

Processor

Preprocessor

Postprocessor

Ottimizzazione e FEM


Esempio di progettazione ottimizzata heating inductor
Esempio di progettazione ottimizzataHeating Inductor

  • Trovare la posizione assiale delle spire che permette di riscaldare uniformemente un disco di grafite ad una temperatura di 1150-1200°C 20°C per un periodo di tempo prefissato

I=712 Af=4 kHzr=660 mWcm


Heating inductor problema elettromagnetico
Heating InductorProblema elettromagnetico

  • Il dominio considerato per la risoluzione del problema in ELFIN è una finestra rettangolare di 304 mm di lunghezza e 28 mm di altezza al centro della quale è posizionato il disco di grafite.

  • Le spire sono state considerate come sorgenti esterne e di conseguenza non sono state incluse nella reticolazione.

  • Il numero di macroelementi usato lungo gli assi x e y è rispettivamente 29 e 4, per un totale di 232 elementi finiti triangolari del secondo ordine e 531 nodi.

  • Grazie all’approccio utilizzato la mesh rimane fissa nonostante lo spostamento delle spire dovuto all’ottimizzazione.


Heating inductor funzione obiettivo
Heating inductorFunzione obiettivo

  • L’obiettivo della procedura di ottimizzazione è trovare la posizione verticale delle spire dell’induttore che realizza la densità di potenza desiderata.

  • Le prime due spire sono fisse a 16 mm dal disco. Le altre si possono muovere verticalmente e la loro distanza pk dal disco variare tra 16 e 41mm

  • Lo scopo è minimizzare lo scarto quadratico medio tra i valori ottenuti Pie quelli desiderati P0i in 55 nodi equidistanti posti sull’asse orizzontale del disco


Heating inductor algoritmi genetici
Heating InductorAlgoritmi Genetici

Ns= 7 bit

Lc= 70 bit

Np=100

Ng=100

n.eval.=300

Rep.: binary

(not Gray)

Sel.: tournament

with elitism


Heating inductor algoritmi genetici soluzione
Heating InductorAlgoritmi Genetici - Soluzione


Heating inductor simulated annealing
Heating InductorSimulated Annealing

60 raffreddamenti * 50 valutazioni = 3000

Schema di raffreddamento PTCS

T iniziale - PTCS

Raffreddamento -PTCS


Heating inductor simulated annealing1
Heating InductorSimulated Annealing

Numero di valutazioni richiesto = 2878


Heating inductor simulated annealing soluzione
Heating InductorSimulated Annealing - soluzione



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