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§1 不定积分的概念与性质 PowerPoint PPT Presentation


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上一页. 下一页. §1 不定积分的概念与性质. 一、原函数与不定积分的概念. 二、基本积分表. 三、不定积分的性质. 1. 1. ¢. ,. =. x. (. x. ). 因为. 所以. 是. 的原函数. 2. x. 2. x. 上一页. 下一页. 一、原函数与不定积分的概念. 定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上有定义,若. 则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数. 原函数举例. 因为 (sin x )  cos x ,. 所以 sin x 是 cos x 的原函数. 提问:

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§1 不定积分的概念与性质

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Presentation Transcript


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§1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

二、基本积分表

三、不定积分的性质


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1

1

¢

,

.

=

x

(

x

)

因为

所以

的原函数

2

x

2

x

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一、原函数与不定积分的概念

  • 定义1设函数f 与F 在区间I上有定义,若

则称F为f 在区间I上的一个原函数

  • 原函数举例

因为(sin x)cos x ,

所以sin x是cos x的原函数.

  • 提问:

  • (1)什么条件下,一个函数的原函数存在?


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( 2 )如果f (x)有原函数,一共有多少个?

( 3 )任意两个原函数之间有什么关系?

  • 几点说明:

1°原函数存在定理:连续函数一定有原函数.

2°若F'(x) = f (x),则对任意常数C, F(x)+C都是

f (x)的原函数. 如(sin x)cos x , 则 (sin x+C)cos x .

所以原函数的个数有无穷多个.

3°设G(x) 、F(x)是 f (x)的任意两个原函数.

则 G(x) - F(x) = C ( C为常数)

即 任意两个原函数之间相差一个常数

证明:(G(x) - F(x)) ′= G‘(x) -F’(x) = f (x) - f (x) = 0 所 以 G(x) - F(x) = C ( C为常数)


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  • 定义2f (x)在区间I上全体原函数成为 f 在 I上的不定积分. 记作

其中f (x)叫被积函数,f (x)dx叫做被积表达式,x 叫做积分变量,记号 “  ” 叫做积分号.

根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f (x)的不定积分,即

  • 结论:求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C.


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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则

例1求

解:


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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则

例2

解 :

合并得:


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2x的积分曲线

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  • 不定积分的几何意义

若F(x)是f (x)的一个原函数,则称F(x)的图形为f (x)的一条积分曲线,

F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的)所得积分曲线组成的曲线轴.

如图f (x)=2x的积分曲线图

结论:

函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族


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二、基本积分表


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例3

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例4


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三、不定积分的性质

  • 性质1

  • 性质2

( k为常数 k≠0)

  • 性质3

证明:

由导数的线性运算法则和不定积分的定义


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所以,有:

将性质2、性质3合并可得不定积分线性性质

例5


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例6

例7


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求不定积分

例8

注:以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算.


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