6. Series

1. 6. Series

2. Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}: Si limnzn= L, decimos que la sucesión es convergente.

3. Otro ejemplo: la sucesión converge.

4. Límite de una sucesión Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn convergeac = a + ibsii la sucesión de partes reales {xn} converge aay la sucesión de partes imaginarias {yn} converge ab. y Demostración ( ): Si |zn-c| < , con zn = xn + iyn entonces dentro de un círculo de radio ,parac = a + ib se cumple que: |xn-a| < , |yn-b| <  b+ zn b c b- x a- a+ a Por tanto la convergencia zn  c implica que xn  a, yn  b.

5. Demostración (): Igualmente, si xn  ay yn  bcuando n   , entonces para un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal que para  n> N se cumpla que: |xn-a| < /2, |yn-b| < /2 con lo que zn= xn+iynestará contenido en un cuadrado de centro c y lado . De modo que znestará contenido en un círculo de radio  y centro c. y b+ b+/2 zn b c b-/2 b- x a a- a+ a-/2 a+/2

6. Diremos que una sucesión {zn} es convergentesii: lim zn = c. Una sucesióndivergente significa que no converge. n  Ejemplos: • La sucesión {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es convergente y límite es 0. (2) La sucesión{in} = {i, -1, -i, 1,....} es divergente. (3) La sucesión {zn} con zn= (1+i)n es divergente. {zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....} (4) La sucesión {zn} con zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente. {zn} = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....} El límite cuando n es c = 2+i (y |zn-c| = |-1/n+2i/n| = 5/n <  si n > 5/)

8. La sucesión converge a i. Observa que Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:

9. Igual que hemos hecho mención a la parte real e imaginaria para la convergencia de la sucesión, podemos hablar del módulo y el argumento. Así: Sea ,donde Si ,entonces

10. Sea por ejemplo la sucesión de términos: El módulo converge a: Y el argumento a: Por tanto la sucesión converge a:

11. Series Dada una sucesión {zn}, una serieinfinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita: Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie. La sucesión de sumas: s1 = z1 s2 = z1 + z2 s3 = z1 + z2 + z3 ........ sn = z1 + z2 +....zn es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.

12. Series convergentes Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales converge, i.e.: donde s es la suma o valor de la serie y se expresa: Una serie divergente es aquella que no converge. Llamaremos resto Rnde la serie a: Si la serie converge y suma s, entonces

13. Ejercicios:Demostrar que • Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv sii u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge. (2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entonces En caso contrario, la serie diverge. (3) Que {zm}  0 es condición necesaria para la convergencia, pero no suficiente. Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +... el término 1/n  0 cuando n tiende a infinito, perola serie diverge.

14. Serie geométrica Para la serie geométrica: el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es: Observa que zn 0 cuando n   para |z| < 1, en cuyo casi Sn converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z|  1.

15. Ejemplo:es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:

17. Teorema de Cauchy para series. Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| <  para todo n > N y p =1, 2... Convergencia absoluta. Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergentesi la serie de los valores absolutos de sus términos   |zm| = |z1| + |z2| + ...... m=1 es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge, la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente. Si una serie es absolutamente convergente es convergente Ejemplo:La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.

18. ¿Es la serie convergente? Es absolutamente convergente, puesto que |ik/k2| = 1/k2 y la serie real es convergente. De modo que la serie original es convergente.

19. Comparación de series: Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que |zn|  bnpara todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge, incluso absolutamente. (Ejercicio: demostrarlo) Criterio del cociente: Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que |zn+1/zn|  q < 1 ( n > N, con un q dadopara cualquier N) la serie converge absolutamente. En cambio si |zn+1/zn|  1 ( n > N) la serie diverge. (Ejercicio: demostrarlo)

20. Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que Entonces se cumple que: • Si L < 1 la serie converge absolutamente. • Si L > 1 diverge. • Si L = 1 “no sabe, no contesta”. (Ejercicio: demostrarlo) Dado ¿Es S convergente o divergente? Converge.

21. Criterio de la raíz: Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N n|zn|  q < 1 (n < N) donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si para infinitos n se cumple que: n|zn|  1 , la serie diverge. Entonces, si una serie z1+z2+... cumple que para todo n > N lim n|zn| = L n entonces: • Si L < 1 la serie converge absolutamente • Si L > 1 diverge • Si L = 1 no podemos extraer conclusiones

22. Dado ¿Es S convergente? Como el límite es mayor que 1, la serie diverge. Ejercicio: demostrar que La serie geométrica converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.

26. Números primos (parte I)

27. ¿Qué es un número primo? Un entero mayor que uno se llama número primo si solo tiene como divisores a 1 y a él mismo. "primo" = "de base"

28. Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de las que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar. Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

30. El teorema fundamental de la aritmética El teorema fundamental de la aritmética muestra que los primos son los ladrillos básicos con los que están construidos los enteros. Dice: Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma única como el producto de primos, con los factores primos en el producto en orden de tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos).

31. ¿Cuántos primos existen? Euclides demostró que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera: (a)n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n! De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1). (b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n.

32. Ausencia aparente de un patrón regular en la secuencia de números primos Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000: Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos: 10.000.019 y 10.000.079.

33. Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de nuestra era, que existen infinitos primos y que están espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.

35. The Counting Prime Function "¿Cuántos primos menores que un número x hay?" Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9.

36. La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps arbitrariamente largos entre primos.

37. "It is evident that the primes are randomly distributed but, unfortunately we don't know what 'random' means". R.C. Vaughan

38. Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente "buen comportamiento". "Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by side with law and order". The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh

39. "For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics." Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

40. 22.0 - 19.7 = 2.3 Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al siguiente el cociente n/p(n) se incrementa aproximadamente 2.3. Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formuló la conjetura de que p(n) es aproximadamente igual a n/Lnn.

42. Legendre En 1798 Legendre publica la primera conjetura significativa sobre la forma funcional de (x), cuando en su libro Essai sur la Théorie des Nombres escribe que:

43. http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html

44. The logarithmic integral function Li(x) Zagier en su artículo dice al respecto: "within the accuracy of our picture, the two coincide exactly."

45. Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso ocurre por primera vez ¡alrededor de 10320!

47. Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas de D. N. Lehmer: primos hasta 10.006.721

48. Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm

49. El teorema de los números primos: En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron simultáneamente lo que se había sospechado durante mucho tiempo, el teorema de los números primos: El número de primos que no excede a x es asintótico a x/log x. En otras palabras, la probabilidad de que "un número x escogido al azar sea primo es 1/log x".

50. El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena aproximación a π(x) . Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) ~b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa que a(x) - b(x) sea pequeño.